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Apuntes de Ampliación de Matemáticas1 Ejercicios resueltosEjercicio 1 En cada uno de los siguientes casos a)A={(x,y)∈R 2 :− 1 <x< 1 ,− 1 <y< 1 }. b)A={(x,y)∈R 2 : 1<x 2 +y 2 < 4 }. c)A={(x,y)∈R 2 :y> 0 }. se pide: i) Determinar la frontera del conjunt...

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Apuntes de Ampliación de Matemáticas

1.6

Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 En cada uno de los siguientes casos

a) A = {(x, y) ∈ R2 : −1 < x < 1, −1 < y < 1}.

b) A = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 4}.

c) A = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}.

se pide:

i) Determinar la frontera del conjunto A. ii) Probar que el conjunto A es abierto iii) Dado X0 ∈ A, determinar un valor r > 0 tal que Br (X0 ) ⊂ A. S OLUCIÓN : a) La frontera de A está formada por los lados del cuadrado representado en la figura 1.12.(a). Fr(A) ={(x, 1) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1} ∪ {(x, −1) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1}

∪ {(1, y) ∈ R2 : −1 ≤ y ≤ 1} ∪ {(−1, y) ∈ R2 : −1 ≤ y ≤ 1}.

Por tanto, A es un conjunto abierto ya que no contiene puntos de la frontera, o equivalentemente A ∩ Fr(A) = 0. / Sea X0 = (x0 , y0 ) ∈ A. Para determinar un valor der de tal manera que Br (X0 ) ⊂ A, calculamos la mínima distancia de X0 a los puntos que están en la Fr(A). Notaremos a esta mínima distancia por d(X0 , Fr(A)). En nuestro caso, d(X0 , Fr(A)) = m´ın{1 − x0 , 1 + x0 , 1 − y0 , 1 + y0 } > 0. Entonces podemos tomar cualquier valor r tal que 0 < r < d(X0 , Fr(A)). En particular, si tomamos 1 1 r = d(X0 , Fr(A)) = m´ın{1 − x0 , 1 + x0 , 1 − y0 , 1 + y0 }, 2 2 podemos asegurar que Br (X0 ) ⊂ A (ver figura ??). 1.6 Ejercicios resueltos

79

Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez

1

y0 y0

x0

-1

1 x0

1

2

-1

(a)

(b)

y0

x0 (c)

Figura 1.12: Representación del conjunto A en el ejercicio 1.1.

80

Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables

Apuntes de Ampliación de Matemáticas

b) La frontera de A está formada por las circunferencias de centro(0, 0) y radios 1 y 2, respectivamente; es decir, Fr(A) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4}.

Dado que estas circunferencias no pertenecen al conjunto A , se tiene que A ∩ Fr(A) = 0/ y, por tanto, A es un conjunto abierto. Sea X q0 = (x0 , y0 ) ∈ A. La distancia de este punto al origen de coordenadas es d=

x02 + y02 , luego



d(X0 , Fr(A)) = m´ın 2 −

q

x02 + y02 ,

q

x02 + y02 − 1

Por tanto, si tomamos   q q 1 2 2 2 2 r = m´ın 2 − x0 + y0 , x 0 + y0 − 1 , 2



> 0.

entonces Br (X0 ) ⊂ A (ver figura 1.12.(b)).

c) La frontera de A está formada por el eje OX , es decir, Fr(A) = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}.

Dado que los puntos del eje OX no pertenecen al conjunto A, se tiene que A ∩ Fr(A) = 0/ y, por tanto, A es un conjunto abierto.

Dado X0 = (x0 , y0 ) ∈ A, se tiene que d(X0 , Fr(A)) = y0 > 0, por lo que si  tomamos r = 12 y0 , entonces Br (X0 ) ⊂ A (ver figura 1.12.(c)). Ejercicio 1.2 En cada uno de los siguientes casos,

a) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1}.

b) A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y2 ≤ 1}.

c) A = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 4}.

d) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 2, x ≥ 1, y ≤ 1}. e) A = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ y2 , x2 + y2 ≤ 1}.

f) A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 , −1 < x < 1}.

g) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 0}. 1.6 Ejercicios resueltos

81

Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez

se pide: i) Representar el conjunto A de R2 . ii) Indicar si A es abierto, cerrado, acotado, compacto y convexo. S OLUCIÓN : La representación de cada conjunto se encuentra en la figura 1.13. a) La frontera de A viene dada por Fr(A) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}. A es cerrado ya que Fr(A) ⊂ A.

Dado que se trata del exterior de la circunferencia, A no es acotado. A no es compacto, porque no es acotado. El conjunto A es conexo. Dos puntos cualesquiera de A pueden unirse mediante una curva continua. A no es convexo ya que, por ejemplo, los puntos (2, 2) y (−2, −2) pertenecen a A pero el segmento que los une no está contenido en A. b) La frontera de A viene dada por Fr(A) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} ∪ {(0, 0)}. Dado que Fr(A) 6⊂ A, el conjunto A no es cerrado. A tampoco es abierto ya que A ∩ Fr(A) 6= 0. /

A es acotado, ya que A ⊂ B1 (0, 0).

A no es compacto, porque no es cerrado. A es conexo. Dos puntos cualesquiera de A pueden unirse mediante una curva continua. A no es convexo ya que, por ejemplo, los puntos (0, 1) y (−1, 0) pertenecen a A y, sin embargo, el segmento que los une no está contenido en A.

c) La frontera de A viene dada por Fr(A) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4}. A es abierto, porque A ∩ Fr(A) = 0. / 82

Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables

Apuntes de Ampliación de Matemáticas

2

x

+ 2

y

 1

2

x

+ 2

y

 1 1

1

(a)

(b)

2

x

+ 2

y

 4

2

x

+ 2

y

2



1

1

1

2

(c)

(d)

1

2



x

y

x2

x2 +

y2 

y

1

-1

(e)

(f)

Figura 1.13: Representación del conjunto A en el ejercicio 1.2. 1.6 Ejercicios resueltos

83

Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez

A no es cerrado, ya que Fr(A) 6⊂ A. A es acotado, ya que A ⊂ B2 (0, 0).

A no es compacto, porque no es cerrado.

A es conexo. Dos puntos cualesquiera de A pueden unirse mediante una curva continua. A no es convexo ya que, por ejemplo, los puntos ( 32 , 0) y (− 32 , 0) pertenecen a A, pero el segmento que los une no está contenido en A. d) La ecuación x2 + y2 = 2x representa una circunferencia de centro(1, 0) y radio 1. La frontera del conjunto A vendrá dada por: Fr(A) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, x ≥ 1}

∪ {(x, 1) ∈ R2 : x ≥ 1} ∪ {(1, y) ∈ R2 : y ≤ −2}.

Por tanto,

A no es abierto, porque A ∩ Fr(A) 6= 0. / A es cerrado, ya que Fr(A) ⊂ A.

A no es acotado.

A no es compacto, porque no es acotado. A es conexo. Dos puntos cualesquiera de A pueden unirse mediante una curva continua. A no es convexo ya que, por ejemplo, los puntos (1, 1) y (−1, 1) pertenecen a A y, sin embargo, el segmento que los une no está contenido en A. e) Calculamos la abscisa del punto de intersección de la circunferenciax2 + y2 = 1 y la parábola y2 = x, ( √ x2 + y2 = 1 1+ 5 2 . ⇒ x + x = 1 ⇒ x = 2 y2 = x Por tanto, la frontera del conjunto A (ver figura 1.13.(e)) vendrá dada por:   √ 1 2 2 2 Fr(A) = (x, y) ∈ R : x + y = 1, −1 ≤ x ≤ (−1 + 5) 2   √ [ 1 2 2 (x, y) ∈ R : y = x, 0 ≤ x ≤ (−1 + 5) . 2 84

Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables

Apuntes de Ampliación de Matemáticas

Luego, A no es abierto, porque A ∩ Fr(A) 6= 0. / A es cerrado, ya que Fr(A) ⊂ A.

A es acotado porque A ⊂ B1 (0, 0).

A es compacto, porque ser cerrado y acotado. A es conexo. Dos puntos cualesquiera de A pueden unirse mediante una curva continua. A no es convexo ya que, por ejemplo, los puntos ( 12 , 1) y (− 12 , 1) pertenecen a A, pero el segmento que los une no está contenido en A. f) La frontera del conjunto A viene dada por Fr(A) = {(x, y) ∈ R2 : y = x2 , −1 ≤ x ≤ 1}

∪ {(1, y) ∈ R2 : y ≥ 1} ∪ {(−1, y) ∈ R2 : y ≥ 1}

A no es abierto, porque A ∩ Fr(A) 6= 0. / A no es cerrado, ya que Fr(A) 6⊂ A. A no es acotado.

A no es compacto, porque no es acotado. A es convexo. Dados dos puntos cualesquiera de A el segmento que los une está contenido en A. g) A = 0, / luego A es abierto, cerrado, acotado, compacto y convexo.



Ejercicio 1.3 Decidir sobre la existencia de los siguientes límites. En caso afirma-

tivo, calcularlos a) b) c)

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2 +y2 . x2 +y2 +1−1

√

3 3 l´ım x2 +y2 . (x,y)→(0,0) x +y

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2 +y2 . x+y

1.6 Ejercicios resueltos

85

Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez

d) e)

1

l´ım

(1 + x2 y2 )x2 +y 2 .

l´ım

sen(xy) . x

(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

S OLUCIÓN : a) Hacemos el cambio a coordenadas polares   ρ2 x2 + y2 x = ρ cos θ . p l´ım = = l´ım p y = ρ sen θ ρ→0 (x,y)→(0,0) ρ2 + 1 − 1 x2 + y2 + 1 − 1

Observemos que la función obtenida no depende de θ , luego el límite podrá calcularse directamente como una función de una variable. Aplicando la regla de l’Hôpital se tiene   p 2ρ 0 ρ2 p = = Indet = l´ım ρ = l´ım 2 1 + ρ 2 = 2. l´ım ρ→0 ρ→0 √ ρ→0 0 ρ2 + 1 − 1 2 1+ρ

Por tanto,

l´ım

x2 + y2

(x,y)→(0,0)

p

x2 + y2 + 1 − 1

= 2.

b) Hacemos el cambio a coordenadas polares   x3 + y3 x = ρ cos θ l´ım = l´ım ρ (cos3 θ + sen3 θ ) = 0. = ρ→0 y = ρ sen θ (x,y)→(0,0) x2 + y2 El límite obtenido es independiente de θ . Además, observamos que |F(ρ , θ ) − L| = ρ | cos3 θ + sen3 θ | = Ψ (ρ )Φ(θ ), donde Ψ (ρ ) = ρ y Φ(θ ) = | cos3 θ + sen3 θ |. Puesto que I)

II)

l´ım Ψ (ρ ) = 0, y

ρ→0

Φ(θ ) = | cos3 θ + sen3 θ | ≤ 2 (está acotada),

el resultado 1.3.14 nos asegura que existe el límite, siendo x3 + y3 = 0. 2 2 (x,y)→(0,0) x + y l´ım

86

Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables

Apuntes de Ampliación de Matemáticas

c) Si calculamos el límite siguiendo la dirección dada por la recta y = x, se tiene x2 + y2 2x2 = l´ım = l´ım x = 0. x→0 x→0 2x (x,y)→(0,0) x + y l´ım

y =x

En cambio, si calculamos el límite siguiendo la parábola y = x2 − x, obtenemos   x2 + y2 = l´ım x2 − 2x + 2 = 2. x→0 (x,y)→(0,0) x + y l´ım

y=x2 −x

Por tanto, concluimos que no existe el límite. d) Teniendo en cuenta la igualdad AB = eB log A ,

con A > 0,

se tiene que 1

(1 + x2 y2 ) x2 +y 2 = eh ,

l´ım

(x,y)→(0,0)

h=

log(1 + x2 y2 ) . (x,y)→(0,0) x2 + y2 l´ım

Para calcular este límite utilizamos que log(1 + x) ∼ x

para x → 0.

En nuestro caso, (x, y) → (0, 0) ⇒ x2 y2 → 0 ⇒ log(1 + x2 y2 ) ∼ x2 y2 , luego h=

l´ım

(x,y)→(0,0)

log(1 + x2 y2 ) x2 y2 = l´ = ı m x2 + y2 (x,y)→(0,0) x2 + y2

= l´ım ρ 2 cos2 θ sen2 θ = 0.



x = ρ cos θ y = ρ sen θ



ρ→0

El límite obtenido es independiente de θ . Además, observamos que |F(ρ , θ ) − L| = ρ 2 cos2 θ sen2 θ = (ρ Ψ )Φ(θ ), donde Ψ (ρ ) = ρ 2 y Φ(θ ) = cos2 θ sen2 θ . Puesto que 1.6 Ejercicios resueltos

87

Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez I) II)

(ρ ) = l´ ım ρ 2 = 0, y l´ım Ψ ρ→0

ρ→0

Φ(θ ) = cos2 θ sen2 θ ≤ 1 (está acotada),

el resultado 1.3.14 nos asegura que existe el límite, siendo x2 y2 = 0. 2 2 (x,y)→(0,0) x + y l´ım

(1.35)

Por tanto, 1

(1 + x2 y2 ) x2 +y 2 = eh = e0 = 1.

l´ım

(x,y)→(0,0)

e) Teniendo en cuenta que senx ∼ x para x → 0, se tiene (x, y) → (0, 0) ⇒ xy → 0 ⇒ sen(xy) ∼ xy. l´ım

Por tanto,

(x,y)→(0,0)

xy sen(xy) = l´ım = l´ım y = 0. x (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x



Ejercicio 1.4 Calcular los siguientes límites, en caso de que existan:

a) b) c) d)

l´ım

x3 sen(y2 −4) (y+2)sen x

l´ım

(1−cos y)sen x x2 +y2

l´ım

√x+y

l´ım

√x +y

(x,y)→(0,−2) (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

x2 +y2

3

4

x2 +y2

S OLUCIÓN : a) Teniendo en cuenta que senx ∼ x para x → 0, se tiene (x, y) → (0, −2) ⇒ y2 − 4 → 0 ⇒ sen(y2 − 4) ∼ y2 − 4. 88

Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables

Apuntes de Ampliación de Matemáticas

Por tanto, x3 sen(y2 − 4) x3 (y2 − 4) = l´ım (x,y)→(0,−2) (y + 2) sen x (x,y)→(0,−2) (y + 2)x l´ım

= =

x2 (y + 2)(y − 2) (y + 2 ) (x,y)→(0,−2) l´ım

l´ım

(x,y)→(0,−2)

x2 (y − 2) = 0.

b) Teniendo en cuenta que sen x ∼ x para x → 0 y que 1 − cos x ∼ 21x2 para x → 0, se tiene   xy2 (1 − cos y) sen x x = ρ cos θ = l´ım l´ım = x2 + y2 y = ρ sen θ (x,y)→(0,0) 2(x2 + y2 ) (x,y)→(0,0) 1 = l´ım ρ cos θ sen2 θ = 0. ρ→0 2 El límite obtenido es independiente de θ . Además, observamos que 1 |F(ρ , θ ) − L| = ρ | cos θ | sen2 θ = Ψ (ρ )Φ(θ ), 2 donde Ψ (ρ ) = I) II)

1

2

ρ y Φ(θ ) = | cos θ | sen2 θ . Puesto que

(ρ ) = l´ ım 12 ρ = 0, y l´ım Ψ

ρ→0

ρ→0

Φ(θ ) = | cos θ | sen2 θ ≤ 1 (está acotada),

el resultado 1.3.14 nos asegura que existe el límite, siendo l´ım

(x,y)→(0,0)

(1 − cos y) sen x = 0. x2 + y2

c) Haciendo el cambio a coordenadas polares, se tiene x+y ρ (cos θ + sen θ ) p = l´ım = cos θ + sen θ . 2 2 ρ (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x +y l´ım

Como el límite obtenido depende de θ , concluimos que no existe el límite. 1.6 Ejercicios resueltos

89

Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez

d) Hacemos el cambio a coordenadas polares   x = ρ cos θ x3 + y4 p l´ım = = l´ım ρ 2 (cos3 θ + ρ sen4 θ ) = 0. y = ρ sen θ ρ→0 (x,y)→(0,0) x2 + y2 El límite obtenido es independiente de θ . Además, teniendo en cuenta que ρ → 0, se cumple que I)

II)

|F(ρ , θ ) − L| = ρ 2 | cos3 θ + ρ sen4 θ | ≤ ρ 2 (1 + ρ ) = Ψ (ρ ), (ρ ) = l´ ım ρ 2 (1 + ρ ) = 0. l´ım Ψ ρ→0

ρ→0

Aplicando el resultado 1.3.12 concluimos que existe el límite, siendo x3 + y4 p = 0. (x,y)→(0,0) x2 + y2 l´ım



Ejercicio 1.5 Estudiar la continuidad de la función

f (x, y) =

x2 y2 , log(1 + x2 + y2 )

si (x, y) 6= (0, 0),

f (0 , 0 ) = 0 .

S OLUCIÓN : Observemos que la función f es continua en cualquier punto de R2 \ {(0, 0)}. Para estudiar la continuidad en el punto (0, 0) hemos de analizar si l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = f (0, 0).

Para calcular este límite usamos que log(1 + x) ∼ x para x ∼ 0. En nuestro caso, (x, y) → (0, 0) ⇒ x2 + y2 → 0 ⇒ log(1 + x2 + y2 ) ∼ x2 + y2 . Por tanto, x2 y2 x2 y2 (1.35) = l´ım = 0 = f (0, 0). 2 2 2 (x,y)→(0,0) log(1 + x + y ) (x,y)→(0,0) x + y2 l´ım

Por tanto, f es continua en el punto (0, 0) y, en consecuencia, f es continua en R2 . 

90

Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables

Apuntes de Ampliación de Matemáticas

Ejercicio 1.6 Calcular la matriz derivada en los puntos que se indican para cada

una de las funciones siguientes a) f : R3 → R2 , f (x, y, z) = (x sen z, x sen y cos z), en el punto (1, 0, π).

b) f : R → R3 , f (t ) = (2t 2 ,t 2 + 1, log t ), en el punto t = 1. c) f : R2 → R2 , f (r, θ ) = (r cos θ , r sen θ ), en (0, 2π).

d) f : R3 → R3, f (r, θ , φ ) = (r cosθ sen φ , r sen θ sen φ , r cos φ ), en el punto (0, π2 , π). S OLUCIÓN : a) Las funciones componentes de la función f son f 1 (x, y, z) = x sen z,

f 2 (x, y, z) = x sen y cos z,

por tanto, ∂ f1 ∂x ∂ f2 ∂x

D f (x, y, z) = =



En particular,

∂ f1 ∂y ∂ f2 ∂y

∂ f1 ∂z ∂ f2 ∂z

!

 sen z 0 x cos z . sen y cos z x cos y cos z −x sen y sen z

sen z 0 x cos z sen y cos z x cos y cos z −x sen y sen z   0 0 −1 = . 0 −1 0

D f (1, 0, π) =





(1,0,π)

b) Las funciones componentes de la función f son f 1 (t ) = 2t 2 ,

f 2 (t ) = t 2 + 1,

f 3 (t) = log t.

Por tanto,

D f (t) =





∂ f1  ∂∂ft   2  ∂t  ∂ f3 ∂t

1.6 Ejercicios resueltos

      4  4t  4 2t   2t   ⇒ D f (1) =   =  2 . =     1 1 1 t t t=1 91

Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez

c) Las funciones componentes de la función f son f 1 (r, θ ) = r cos θ ,

f 2 (r, θ ) = r sen θ .

Por tanto, ∂ f1 ∂r ∂ f2 ∂r

D f (r, θ ) =

∂ f1 ∂θ ∂ f2 ∂θ

!

=

cos θ sen θ

−r sen θ r cos θ

!

.

En particular,  π D f 0, = 2

cos θ sen θ

−r sen θ r cos θ

!%

! 0 0 . = 1 0 π)

(0, 2

d) Las funciones componentes de f son f 1 (r, θ , φ ) = r cosθ sen φ ,

f 2 (r, θ , φ ) = r sen θ sen φ ,

f 3 (r, θ , φ ) = r cos φ . Por tanto,

D f (r, θ , φ )

 ∂ f1

∂r  ∂ f2 =  ∂r ∂ f3 ∂r

cos θ sen φ  = sen θ sen φ cos φ 

En particular,

∂ f1 ∂θ ∂ f2 ∂θ ∂ f3 ∂θ

∂ f1  ∂φ ∂ f2   ∂φ  ∂ f3 ∂φ

−r sen θ sen φ r cos θ sen φ 0

  0 0 0  π  D f 0, , π =  0 0 0  . 2 −1 0 0

92

r cos θ cos φ



 r sen θ cos φ  . −r sen φ



Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables

Apuntes de Ampliación de Matemáticas

2 ∂f ∂f Ejercicio 1.7 Para f (x, y) = xex y , hallar ∂ x , ∂ y y evaluarlas en el punto (1, ln 2).

S OLUCIÓN : ∂f 2 2 2 ∂f (1, ln 2) = 2 (1 + 2 ln 2) , = ex y + 2x2 yex y = ex y (1 + 2x2 y) ⇒ ∂x ∂x ∂f 2 ∂f (1, ln 2) = 2. = x3 ex y ⇒ ∂y ∂y

 y

Ejercicio 1.8 Si u = z sen x

Calcular

∂u ∂r

y

∂ u. ∂s



donde x = 3r2 + 2s, y = 4r − s2 , z = 2r2 − 3s2.

S OLUCIÓN : Aplicando la regla de la cadena se tiene ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z + + = ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r   y  y yz z y , = −6r 2 cos + 4 cos + 4r sen x x x x x ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z = + + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s   y  y yz y z = −2 2 cos − 2s cos − 6s sen . x x x x x



Ejercicio 1.9 Hallar ∂∂ ws , ∂∂wt cuando s = 1 y t = 2π para la función dada por

w = xy + yz + xz, siendo x = s cos t, y = s sen t, z = t . S OLUCIÓN : En primer lugar, observemos que para s = 1 y t = 2π, se tiene que x = 1, y = 0, z = 2π. 1.6 Ejercicios resueltos

93

Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez

Aplicando la regla de la cadena se obtiene ∂w ∂w∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = (y + z) cost + (x + z) sent, = + + ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂s ∂w ∂w∂x ∂w∂y ∂w∂z = −s(y + z) sent + s(x + z) cost + x + y. = + + ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂t Finalmente, sustituyendo se llega a ∂w (1, 2π) = 2π, ∂s

∂w (1, 2π) = 2(π + 1). ∂t



Ejercicio 1.10 Transformar la expresión

∂ 2z ∂ 2z − = 0, ∂ x2 ∂ y2 mediante el cambio de variable x + y = u, x − y = v. S OLUCIÓN : Aplicando la regla de la cadena se tiene ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z = + = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z = + = − . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂v Ahora calculamos las derivadas parciales de segundo orden:   ...