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U N IVERSIDADE DE VIGO

Tema 2: Teoría de juegos estáticos

Economía Industrial 3º Grado en Economía

Tema 2: Teoría de juegos estáticos 2.1. Juegos en forma normal y en forma extensiva. 2.2. Estrategia estrictamente dominada. 2.3. Eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. 2.4 Equilibrio de Nash en estrategias puras. Bibliografía: Gibbons, cap. 1 (1992)

3º Grado en Economía

Economia Industrial

2

Nociones básicas de teoría de juegos ¿Qué es un juego? Una representación formal de una situación dónde las decisiones son interdependientes. Recordar que un juego: • Es una representación, no es la situación misma. • Es formal, es decir, considera elementos matemáticos que van a ser utilizados con reglas precisas.

Para representar un juego formalmente debemos conocer cuatro cosas: 1. Los jugadores. 2. Las reglas del juego: a. Quién mueve y cuándo. b. Qué saben los jugadores cuando mueven. c. Qué pueden hacer cada vez que les corresponde mover (qué acciones están disponibles).

3. Los resultados posibles del juego para cada combinación posible de acciones. 4. Las preferencias de los jugadores sobre cada posible resultado del juego. Universidade de Vigo

Nociones básicas de teoría de juegos • Formas de representar un juego: Forma normal y forma extensiva. Todo juego puede representarse de una u otra forma. Sin embargo, los juegos estáticos (juegos en que cada jugador mueve sin conocer qué jugó el resto de los participantes) suelen representarse en forma normal y los juegos dinámicos en forma extensiva. • Jugadores racionales: supondremos que un jugador siempre: i. Conoce el juego (conoce 1 a 4). ii. Sabe que el resto de los jugadores conoce el juego y que él sabe que ellos saben, y así sucesivamente. i) y ii) son de conocimiento común. La pregunta central es: ¿qué resultado podemos esperar si el juego y la racionalidad de los jugadores es de conocimiento común?

Universidade de Vigo

Tipos de juegos • Juegos estáticos con información completa • Estrategias puras • Estrategias mixtas • Juegos dinámicos con información completa  Con información perfecta  Con información imperfecta  Juegos repetidos • Juegos estáticos con información incompleta • Juegos dinámicos con información incompleta Universidade de Vigo

Juegos estáticos con información completa  Estático (decisión simultánea): cuando cualquier jugador elige su estrategia no conoce la estrategia elegida por su rival.  Información completa: la función de ganancia de cada jugador es conocida por todos los jugadores.  La representación de un juego en forma normal especifica: 

Los jugadores en el juego.



Las estrategias de que dispone cada jugador.



La ganancia de cada jugador en cada combinación posible de estrategias.

 Sean  n jugadores: (1,2,…,n)  Si: espacio de estrategias del jugador i; si: estrategia (si ϵ Si).  (s1,…, sn): combinación de estrategias.  ui: función de ganancia del jugador i.  ui(s1, …, sn): ganancia del jugador i si los jugadores eligen la combinación de estrategias (s1,…, sn). Universidade de Vigo

Juegos estáticos con información completa  Definición: La representación en forma normal de un juego con n jugadores especifica los espacios de estrategias de los jugadores S1,…,Sn, y sus funciones de ganancias u1,…,un. Denotamos este juego con: G={S1,…,Sn; u1,…,un}.  Definición: En el juego en forma normal G, sean si’ y si’’ posibles estrategias del jugador i. La estrategia si’ está estrictamente dominada por la estrategia si’’, si para cada combinación posible de estrategias de los restantes jugadores, la ganancia de i por utilizar si’ es estrictamente menor que la ganancia de i por utilizar si’’: ui(s1,…,si-1,si’, si+1,…,sn) < ui(s1,…,si-1,si’’, si+1,…,sn) para cada (s1,…,si-1, si+1,…,sn) que puede ser construida a partir de los espacios de estrategias de los otros jugadores S1,…, Si-1 ,Si+1,…, Sn. Universidade de Vigo

Juegos estáticos con información completa  Ejemplo: el dilema del prisionero Preso 2 Preso 1

Negar

Confesar

Negar

-1,-1

-9,0

Confesar

0,-9

-6,-6

 Para el preso i, la estrategia negar está dominada por la de confesar: para cada estrategia que el jugador j puede elegir, la ganancia del preso i es menor si niega que si confiesa. Ejemplo: Juego de la BBC “Split or Steal” https://www.youtube.com/watch?v=p3Uos2fzIJ0 https://www.youtube.com/watch?v=WpwH0DitTsI

Universidade de Vigo

Proceso de eliminación de estrategia estrictamente dominadas Jugador 2 Izquierda

Centro

Derecha

Alta

1,0

1,2

0,1

Baja

0,3

0,1

2,0

Jugador 1

 Para el jugador 1, ni alta ni baja están estrictamente dominadas. Sin embargo, para el jugador 2, derecha está estrictamente dominada por centro, por lo que un jugador racional no elegirá derecha.  Así, si el jugador 1 sabe que el jugador 2 es racional, puede eliminar derecha del espacio de estrategias del jugador 2, y el proceso continúa hasta alcanzar el equilibrio. Jugador 2

Jugador 1

Jugador 2

Izquierda

Centro

Alta

1,0

1,2

Baja

0,3

0,1

Jugador 1

Universidade de Vigo

Alta

Izquierda

Centro

1,0

1,2

¿Qué ocurre si no hay estrategias estrictamente dominadas?

Jugador 2

Jugador 1

Izquierda

Centro

Derecha

Alta

0,4

4,0

5,3

Media

4,0

0,4

5,3

Baja

3,5

3,5

6,6

 En este juego no hay estrategias estrictamente dominadas para ser eliminadas. El proceso no permite ninguna predicción sobre el desarrollo del juego.

Universidade de Vigo

Equilibrio de Nash  Definición: En el juego en forma normal G={S1,…, Sn; u1,…,un}, las estrategias (s1*,…, sn*) forma un equilibrio de Nash cuando, para cada jugador i, si*, es su mejor respuesta (o al menos una de ellas) a las estrategias de los otros (n-1󰇜 jugadores, (s1*,…, si-1*, si+1*,…,sn*):

ui󰇛s1*,…,si-1*,si*, si1*,…,sn*󰇜  ui󰇛s1*,…,si-1*,si, si1*,…,sn*󰇜 para cada posible estrategia si en Si; esto es, si* es una solución de

Max 󰇝si󰇞 ui󰇛s1*,…,si-1*,si, si1*,…,sn*󰇜  Si una combinación de estrategias no es equilibrio de Nash, al menos un jugador tendrá un incentivo para desviarse.

Universidade de Vigo

Cálculo de equilibrio de Nash Jugador 2

Jugador 1

Izquierda

Centro

Derecha

Alta

0,4

4,0

5,3

Media

4,0

0,4

5,3

Baja

3,5

3,5

6,6

Equilibrio de Nash: (Baja, Derecha). Preso 2

Preso 1

Negar

Confesar

Negar

-1,-1

-9,0

Confesar

0,-9

-6,-6

Equilibrio de Nash: (Confesar,Confesar) Universidade de Vigo

Relación entre equilibrio de Nash y estrategias estrictamente dominadas

 Resultado: Si la combinación de estrategias (s1*,…, sn*) constituyen un equilibrio de Nash, sobreviven a la eliminación iterativa de las estrategias estrictamente dominadas, pero pueden existir estrategias que sobrevivan a la eliminación de estrategias estrictamente dominadas que no formen parte de ningún equilibrio de Nash. Ver ejemplo anterior.

Universidade de Vigo

'Golden Balls' concurso de la BBC

Un entretenido ejemplo del programa Split or Steal, inspirado en el dilema del prisionero. Partiendo de un bote de dinero, dos concursantes escogen si compartir (“Split”) o robar “Steal” (quedarse con todo el dinero). En caso que los dos escojan “robar”, nadie se lleva el dinero. Si los dos escogen “compartir”, se reparte a medias. Si uno escoge “robar” y el otro “compartir”, el que ha elegido “robar” se lleva todo el bote y el otro se queda sin nada. En todos los programas hay una discusión previa a la elección en la que se intenta convencer al otro de la honestidad de uno. https://www.youtube.com/watch?v=WpwH0DitTsI https://www.youtube.com/watch?v=p3Uos2fzIJ0 Universidade de Vigo

'Golden Balls' concurso de la BBC

JUGADOR 2

JUGADOR 1

 

Split

Steal

Split

6800, 6800

0 , 13600

Steal

13600, 0

0,0

Equilibrios de Nash: (Steal, Split); (Split, Steal); (Steal, Steal) Estrategia Split débilmente dominada para ambos. Equilibrio más probable (Steal, Steal) si no hubiera interacción previa. Universidade de Vigo

Existencia y multiplicidad de equilibrios de Nash  Nash (1950) demostró que cualquier juego finito (por ejemplo, un juego en el que el número de jugadores y los conjuntos de estrategias sean finitos) existe al menos un equilibrio de Nash (este equilibrio puede incluir estrategias mixtas).  Pero un juego puede tener múltiples equilibrios de Nash. Ejemplo: la batalla de los sexos Paco Cristina

Ópera

Boxeo

Ópera

2,1

0,0

Boxeo

0,0

1,2

 Equilibrios de Nash: (O,O); (B,B)

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