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Summary of vectorial euclidean affine space ...

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Tema 6

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Espacio af´ın

1.

´ Algebra Lineal y Geometr´ıa, Curso 2015-2016 Caja Profesor: Miguel Sanchez ´ ✫

Primeras definiciones

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~ Definici´ on 1 Un espacio af ´ın es un conjunto A junto con un espacio vectorial V = A ~ sobre el cuerpo K = R ´o C (llamado espacio director) y una aplicaci´on ϕ : A × A → A, −−→ (P, Q) 7→ P Q que cumpla: −→ ~ Q 7→ − P Q, es biyectiva. (A1) Para cada P ∈ A, la aplicaci´on ϕP : A → A, −−→ −− → −→ (A2) Para cada P, Q, R ∈ A, P Q + QR = P R.

La dimensi´ on n de A se define como la dimensi´ on de ~A. − −→ A menudo se le llama al par (P, Q) ∈ A × A vector ligado de origen P y extremo Q y a P Q su correspondiente vector libre. Cuando no haya posibilidad de confusi´ on, abusaremos de la nomenclatura llamando espacio af´ın a A (en lugar de a la terna formada por A, A~ y la −−→ ~ Obs´ervese adem´ as que escribiremos siempre P Q en lugar de la aplicaci´ on ϕ : A × A → A) notaci´ on m´as aparatosa ϕ(P, Q). ~ existe un u ´ nico P ∈ A tal que Observaci´ on. Fijado un punto O ∈ A, para cada v ∈ A, − −→ OP = v. Esto se escribir´ a: P =O+v pero el signo + debe interpretarse, m´ as que como una “suma¸como una notaci´ on (o bien como ~ → A). En una ley de composici´ on externa de A sobre V , esto es, una aplicaci´ on A × A cualquier caso, obs´ ervese que del axioma (A2) se sigue una propiedad pseudoasociativa, a saber: P + (v + w) = (P + v) + w. Proposici´ on 1 Sea A un espacio af´ın. − −→ olo si, P = Q. 1. P Q = 0 si, y s´ − −→ − −→ 2. P Q = −QP .

−−→ −→ −→ −→ 3. Identidad af´ın del paralelogramo: Si P Q = RS, entonces P R = QS. −−−−−−−−−−−−→ − −→ 4. (P + v ), (Q + w) = P Q + (w − v).

− −→ − − → − −→ ´ on Demostraci´ on. 1. (⇐). Usese P P = P P + P P por el axioma (A2). (⇒). Por la implicaci´ −1 −1 anterior, ϕ P (P ) = 0(= ϕ P (Q)) por lo que P = Q se deduce de la inyectividad de ϕP impuesta por (A1). − −→ − −→ − −→ 2. P Q + QP = P P = 0, la u ´ ltima igualdad por el punto anterior. −→ − −→ − −→ −→ − −→ −→ 3. P R = P Q + QR = RS + QR = QS. 1

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✷

−−−−−−−−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→ −−→ −−−−−−→ − −→ 4. (P + v)(Q + w) = (P + v)P +P (Q + w) = − P (P + v)+P Q+Q(Q + w) = −v+ P Q+w.

Como un ejemplo obvio, todo espacio vectorial V puede verse un espacio af´ın, con A = − −→ −− → ~ ϕ : A×A → V, P Q = Q − P (ahora el signo + en Q = P + P Q puede considerarse V (= A)), no s´ olo como notaci´on, sino tambi´en como la suma en V ). Tambi´en se puede dotar de estructura de espacio af´ın a cualquier plano Π de R3 , aunque no pase por el origen (o, con m´ as generalidad, al conjunto de soluciones de cualquier sistema lineal compatible no homog´ eneo de ecuaciones). Para eso se toma como conjunto de puntos ~ = Π′ , donde Π′ es el plano vectorial paralelo A = Π y se considera como espacio director A ′ a Π que pasa por el origen (Π es un subespacio vectorial de R3 y, por tanto, un espacio − −→ vectorial). Dados P, Q ∈ Π, se define entonces P Q = Q − P . (Este ejemplo se formula con m´ as precisi´on considerando R3 como espacio af´ın y a Π como un subespacio af´ın en el sentido de la siguiente secci´ on). 1

2.

Subespacios afines

Definici´ on 2 Sea A un espacio af´ın. Un subespacio af ´ın (o subvariedad lineal) S es un subconjunto (no vac´ıo) de A para el que existe un punto P ∈ S, tal que el conjunto − −→ ~ el cual se denominar´ S~ = {P Q : Q ∈ S } es un subespacio vectorial de A, a (sub)espacio ~ Si dim S = 1, lo llamaremos recta director de S. Escribiremos entonces S = P + S. af´ın. Si dim S = 2, lo llamaremos plano af´ın. Si dim S = n − 1 (y n < ∞), lo llamaremos hiperplano af´ın. De la siguiente proposici´ on se seguir´ a que el punto P que se escoja resulta irrelevante tanto para comprobar si S es un subespacio af´ın como, en caso afirmativo, calcular su espacio ~ director S. Proposici´ on 2 Sea A un espacio af´ın. ~ entonces P + W = {p + w : w ∈ W } 1. Dados P ∈ A y un subespacio vectorial W de A, es un subespacio af´ın de espacio vectorial director W . Si W ′ es un subconjunto de A~ y P + W = P + W ′ entonces W = W ′ (en particular, fijado P , el subespacio director es u ´nico). 1

Como un ejemplo proviniente de la F´ısica, al espacio f´ısico ordinario E se le asigna una estructura de espacio af´ın de dimensi´on 3. Para ello, se postula que, desde un punto de vista operacional, se puede dotar, usando construcciones con paralelogramos, una suma de vectores ligados con el mismo origen, esto es, tiene sentido escribir (P, Q) + (P, R) = (P, S) donde S se calcula construyendo f´ısicamente un paralelogramo con v´ ertices P, Q, R (siendo S su cuarto v´ ertice); asimismo se construye un producto por escalares reales de un modo natural (haci´ endolo primero para naturales y enteros y extendi´ endolo luego a racionales e irracionales). A continuaci´ on, se establece la relaci´ on de equipolencia entre vectores ligados mediante (P, Q) ∼ (P ′ , Q′ ) ′ ′ si y s´ olo si (P, Q) + (P, P ) = (P, Q ). Se postula entonces que ´esta es una relaci´ on de equivalencia y que su ~ o espacio vectorial de los vectores libres del espacio ordinario, hereda de manera natural espacio cociente E, las operaciones y estructura de espacio vectorial. Esto u ´ltimo significa que, por ejemplo, la suma de dos de tales clases [(P, Q)], [(R, S)] se define tomando vectores ligados que representen ambas clases con el mismo origen (digamos, T , esto es, tomando (T, Q′ ) ∈ [(P, Q)] y (T, S′ ) ∈ [(R, S)]) y definiendo la suma de clases a partir de la suma de esos representantes ([(P, Q)]+ [(R, S)] = [(T, Q′ ) + (T, S ′ )]), la cual se postula que est´ a bien definida (esto es, resulta independiente del origen T ∈ E escogido) y, por tanto, hereda las propiedades necesarias para la estructura de espacio vectorial.

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2. Si ~S es un subespacio vectorial de A~ y P ′ ∈ P +S~ entonces P ′ + S~ = P + S~ (en particular, tanto la definici´ on de subespacio af´ın como el subespacio director son independientes del punto P escogido). ~ T = Q + T~ dos subespacios afines de A. Entonces: 3. Sean S = P + S, − −→ S ⊂ T ⇔ S~ ⊂ T~ y P Q ∈ ~T . Demostraci´ on. 1. Inmediato de las definiciones. −−→ acilmente ambas inclusiones. 2. Necesariamente P P ′ ∈ S~ ∩ S~′ , lo que produce f´ − − → 3. (⇒) Claramente P Q ∈ T~ , y escribiendo T = P + ~T , la inclusi´ on resulta inmediata. − −→ ~ (⇐) Como P Q ∈ T necesariamente P ∈ T y el resultado es entonces inmediato. ✷ Ejercicio 1 Sean S = P + ~S, T = Q + T~ dos subespacios afines de A. Entonces: −→ ~ ~ = T~ y − 1. S = T ⇔ S P Q ∈ S. 2. En el caso dimT < ∞, si S ⊂ T y dim S = dim T ⇒ S = T .

3.

Independencia af´ın y sistemas de referencia

−−−→ −−−→ Sean k+1 puntos {P0 , P1 , . . . , Pk }, k ≥ 0, de un espacio af´ın A, y sea ~S = L{P0 , P1 , . . . , P0 , Pk }. Lema 1 el subespacio af´ın P0 + S~ verifica: ~ contiene todos los puntos {P0 , P1 , . . . , Pk }. 1. P0 + S ~ 2. Cualquier otro subespacio af´ın T que contenga a {P0 , P1 , . . . , Pk } contiene a P0 + S. −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−−−→ −−−−→ −−−→ 3. L{ P0 P1 , . . . , P0 Pk } = L{ Pi P0 , Pi P2 . . . , Pi Pi−1 , Pi Pi+1 . . . , Pi , Pk } para todo i = 1, . . . , k .

−−→ 4. Si {P0 Pi : i = 2, . . . , k} es linealmente independiente, entonces, para cada j ∈ {1, . . . , k}, −−→ el conjunto {Pj Pi /i ∈ {0, . . . , k}\{j}} es linealmente independiente. Demostraci´ on. 1. Inmediato. 2. Inmediato (recu´ erdese la Proposici´on 2). 3. V´ease la Observaci´ on debajo de la Proposici´on 2. 4. Inmediato del punto anterior. ✷ Observaci´ on. La primera y segunda propiedad anteriores se pueden resumir diciendo que ~ es el menor subespacio af´ın que contiene {P0 , P1 , . . . , Pk }. A este subespacio se le suele P0 + S denotar < P0 , P1 , . . . , Pk >. Definici´ on 3 Sea A un espacio af´ın. Un conjunto de k + 1 puntos de A, {P0 , . . . , Pk }, se −−→ dice que es af´ınmente independientes si los vectores { P0 Pi : i = 1, . . . , k} son linealmente independientes. En caso contrario, el conjunto es af´ınmente independiente. Ejercicio 2 Sean P, Q ∈ A. Demostrar: Si P 6= Q, entonces < P, Q > es un subespacio af´ın de dimensi´on 1, salvo que P = Q, y es el u ´ nico subespacio af´ın de dimensi´ on 1 que los contiene. Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa

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< P, Q >=< Q, P >. Si R ∈< P, Q > es distinto de P y de Q ⇒ < P, R >=< P, Q >. −→ − −→ Si A, B, C ∈< P, Q > ⇒ AC,AB son linealmente dependientes.

Observaci´ on. El u ´ ltimo punto del Lema 1 asegura la consistencia de la definici´on 3, al ser el subespacio obtenido independiente del punto escogido como P0 . En particular, si la dimensi´on n de A es finita y se tienen n + 1 puntos independientes, fijado uno de ellos se genera una base del espacio vectorial director, lo que motiva la siguiente definici´ on. Definici´ on 4 Sea A un espacio af´ın con dim A = n(< ∞). Llamaremos sistema de referencia af´ın R a un conjunto ordenado (O, P1 , . . . , Pn ) de n + 1 puntos af´ınmente independientes o, equivalentemente, al par que denotaremos (O, B), formado por el primer punto O ~ relacionados por la (llamado origen de coordenadas) y la base B = (v1 , . . . , vn ) de A, igualdad Pi = O + vi , i = 1, . . . , n. Para cada punto Q ∈ A, a la u ´ nica n-upla de escalares   λ1 n −−→ X −−→  ..  λi OPi OQ = PR =  .  ∈ Rn tal que i=1 λn se le llama coordenadas afines de Q respecto del sistema de referencia R.

As´ı, resultados conocidos de soluciones de sistemas (no necesariamente homogeneos) de ecuaciones lineales pueden reformularse f´ acilmente en el ambiente m´ as general de espacios afines como sigue. Proposici´ on 3 Ecuaciones de un subespacio af´ın. Se considera un sistema de referencia af´ın R = (O, P1 , . . . , Pn ) de un espacio af´ın A. 1. Dada una matriz M ∈ Mm×n (R) con m < n y rango(M ) = m, y un vector (columna) b ∈ Rm , existe un u ´nico subespacio af´ın S = {P ∈ A : M PR = b}; adem´ as, dim S = n − m. 2. Dado un subespacio af´ın S de A, con dim S = k, existen una matriz M ∈ Mm×n (R) con m = n−k < n y rango(M ) = m, y un vector b ∈ Rm tales que S = {P ∈ A : M PR = b}. 3. En cualquiera de los dos casos anteriores, las ecuaciones impl´ıcitas del subespacio di−− → − −→ rector, respecto de la base (OP 1 , . . . ,OP n ) son M PR = 0.

4.

Intersecci´ on y suma de subespacios afines

Proposici´ on 4 Si S, T son subespacios afines de A y S ∩ T 6= Ø, entonces S ∩ T es un −−−→ ~ ~ subespacio af´ın de A, con S ∩ T = S ∩ T. ~ ) = P + (S ~ ∩ T~ ) (al u ´ ltima Demostraci´ on. Sea P ∈ S ∩ T ⇒ S ∩ T = (P + ~S) ∩ (P + T igualdad de comprobaci´ on inmediata). ✷ Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa

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Luego la intersecci´ on de dos subespacios afines, o es vac´ıa (lo que resultaba imposible para subespacios vectoriales), o es un subespacio af´ın (obs´ervese que en la definic´ on de espacio af´ın est´ a implicito que no puede ser vac´ıo, aunque s´ı pueda tener dimensi´ on 0). ¿Cu´ando es S ∩ T 6= Ø? Lema 2 Si S, T son subespacios afines de A, equivalen: 1. S ∩ T 6= Ø

−−→ ~. 2. Para todo P ∈ S, Q ∈ T se tiene P Q ∈ S~ + T −− → ~ ~ 3. Existen P ∈ S, Q ∈ T tales que P Q ∈ S + T.

−−→ −→ −→ ~. Demostraci´ on. (1 ⇒ 2) Dado R ∈ S ∩ T , se sigue P Q = P R + RS ∈ S~ + T −− → ~ y v ∈ T~ , definimos R = P + u ∈ S. Como (2 ⇒ 3) Escribiendo P Q = u + v con u ∈ S − −→ R = P + (P Q − v) = Q − v, entonces R ∈ T . ✷ La Proposici´ on 4 y su demostraci´on se extienden sin dificultad a intersecciones de un conjunto arbitrario de subespacios afines con intersecci´ on de todos ellos no vac´ıa. Con m´ as precisi´ on, se tiene el siguiente ejercicio. Ejercicio 3 Sea {Sα : α ∈ I} un conjunto arbitrario de subespacios afines de A (I es cualquier conjunto no vac´ıo de ´ındices) tal que ∩α∈I Sα = 6 ∅. Entonces ∩α∈I Sα es un subespacio af´ın de subespacio director ∩α∈IS~α. As´ı, generalizando la definici´on de subespacio generado por un n´ umeor finito de puntos, dado cualquier subconjunto no vac´ıo C ⊂ A el subespacio af´ın generado por C (que se denota < C >) es el menor subespacio af´ın que contiene a C, esto es, la intersecci´ on de todos los subespacios afines de A que contienen C . En particular, si S y S ′ son dos subespacios afines, su suma S + S ′ se define como el subespacio af´ın generado por S ∪ S ′ . O, si se prefiere: Definici´ on 5 Sean S, T subespacios afines de A. Se define la suma de S y T como S + T := ∩α∈I Lα, donde la intersecci´ on se hace en todos los subespacios afines de A que contienen a S ∪ T (esto es, S + T es el menor subespacio af´ın de A que contiene a S y a T ). Obs´ervese que la anterior definici´ on tiene sentido porque siempre existe un subespacio af´ın de A (el propio A) que contiene a S ∪T . Desde el punto de vista pr´ actico, la siguiente proposici´ on caracteriza estos subespacios. Proposici´ on 5 Si S, T son subespacios afines de A, entonces S + T es un subespacio af´ın de −→ −−−→ ~ + L({− A, con espacio vectorial director: S + T = S~ + T P Q}), donde P ∈ S y Q ∈ T . Demostraci´ on. Sea P ∈ S y Q ∈ T . El resultado se sgue si comprobamos que2 − −→ S + T = P + ( ~S + T~ + L({P Q}).

(1)

2 Con independencia del Ejercicio 3, se demuestra as´ı que S + T sea un subespacio af´ın escribi´endolo como un punto suyo m´ a s un espacio director.

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− −→ ~+T ~ + L({P ~ as´ı que Claramente, P ∈ S ⊂ S + T , y S Q} es subespacio vectorial de V = A, basta comprobar (1) por doble inclusi´ on. − −→ ~ ~ ⊆ P +( S+ T +L({P Q}) es un subespacio af´ın de A, que contiene a S (porque S = P + ~S ⊂ − −→ − −→ −→ ~ +T ~ + L({P ~+T ~ + L({− P + (S Q})) y a T (porque T = Q + ~T = P + T~ + P Q ⊂ P + (S P Q})). −→ ~+T ~ + L({− P Q}) contiene a S + T . Por tanto, P + (S ~ + ⊇ Sea L un subespacio af´ın de A que contiene a S ∪ T . Queda ver que P + ( ~S + T − −→ − − → ~ + T~ + L({P Q}) ⊂ ~L, lo cual es L({P Q}) ⊂ L: Como P ∈ S ⊂ L, basta comprobar que S evidente. ✷ Corolario 1 Si S, T son subespacios afines de A, entonces: 1. Si S ∩ T = Ø ⇒ dim(S + T ) = dim( ~S + T~ ) + 1 (= dim ~S + dim T~ − dim( ~S ∩ ~T ) + 1) 2. Si S ∩ T 6= Ø ⇒ dim(S + T ) = dim( ~S + T~ ) (= dim S + dim T − dim(S ∩ T )). (la u ´ltima igualdad de cada caso en dimensi´ on finita). Demostraci´ on. Para el apartado 1, supongamos que S ∩ T = Ø. Por el Lema 2, existen P ∈ S − −→ ~ ~ y Q ∈ T tales que P Q ∈ / S + T . Por tanto, −−−→ (Prop. 5) −→ ~ +T ~ + L({− ~ + T~ ) + 1. dim(S + T ) = dim S + T = dim[ S P Q})] = dim( S Para el apartado 2, esc´ ojase P = Q y raz´onese an´ alogamente. ✷

5.

Paralelismo

Definici´ on 6 Sea A un espacio af´ın. Sean S y S ′ dos subespacios afines de A. Se dice que S es paralelo a S ′ si el subespacio director de S est´a incluido en el subespacio director de S ′ . Si los subespacios directores son iguales, se dice que S y S ′ son paralelos y se escribe S kS ′ . Si ni S es paralelo a S ′ ni S ′ es paralelo a S, diremos que los subespacios son secantes (o se cortan) si S ∩ S ′ 6= ∅ y que se cruzan en caso contrario. Proposici´ on 6 Sea A un espacio af´ın. Sean S y S ′ dos subespacios afines de A. 1. Si S es paralelo a S ′ , entonces o bien S ⊂ S ′ o bien S ∩ S ′ = ∅. 2. Si SkS ′ , entonces o bien S = S ′ o bien S ∩ S ′ = ∅. 3. (Quinto postulado de Euclides). Sea P ∈ A\S. Entonces, existe un u ´nico subespacio af´ın S ′ que pasa por P tal que S kS ′ . Demostraci´ on. 1. Apl´ıquese la Proposici´ on 2, punto 3. 2. Apl´ıquese el apartado anterior dos veces. 3. Inmediato. ✷ El resto de esta secci´ on se puede completar como un ejercicio sencillo para demostrar un teorema cl´ asico. Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa

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Definici´ on 7 Sean A1 , A2 , A3 ∈ A tres puntos que caen sobre una misma recta af´ın tales ´n simple (A1 A2 A3 ) ∈ K se define como el u ´ nico escalar tal que que A1 6= A2 . La razo −−−→ −−−→ A1 A3 = (A1 A2 A3 ) A1 A2 . Lema 3 En un espacio af´ın de dimensi´ on n(< ∞), todo hiperplano (de dimensi´ on n − 1) y toda recta no paralela al hiperplano se cortan exactamente en un punto. Teorema 4 (de Thales de las paralelas). Sea A un espacio af´ın de dimensi´ on finita, y sean H1 , H2 y H3 tres hiperplanos distintos y paralelos. Sean r1 y r2 dos rectas no paralelas a H1 con los puntos de intersecci´ on {Ai } = r1 ∩ Hi , Bi = r2 ∩ Hi , i = 1, 2, 3. Entonces, (A1 A2 A3 ) = (B1 B2 B3 ) Nota: en el ambiente algebraico introducido, la demostraci´ on de este teorema cl´asico (uno de −−−→ los dos tradicionalmente atribuidos a Thales) se reduce a probar B1 + (A1 A2 A3 ) B1 B2 ∈ H3 .

6.

Aplicaciones afines

6.1.

Propiedades generales

Lema 4 Sean A, A′ dos espacios afines, con espacios vectoriales asociados V, V ′ . Sea f : A → A′ una aplicaci´ on. Fijado P ∈ A, definimos fP : V → V ′ mediante −−−−−−−−−−→ − → fP (v) = f (P )f (P + v),

∀v ∈ V.

− → − → − → Si fP es lineal entonces fP = fQ , ∀Q ∈ A.

(2)

Demostraci´ on. Primero observemos que de (2) se deducen − → f (P + v) = f (P ) + fP (v), −→ −−−−−−→ − →− fP (P Q) = f (P )f (Q),

∀v ∈ V.

(3)

∀P, Q ∈ A.

(4)

Ahora podemos probar el lema. Sea v ∈ V .  −−−−−−→  − − −→ → − → (3) f (P ) + f (P )f (Q) + fQ (v) = f (Q) + fQ (v) = f (Q + v) = f (P + P Q + v)

− −−−−−−→ − →  → − − →  (4) − →− (⋆) −→ −→ = f (P ) + fP ( P Q + v) = f (P ) + fP (P Q) + fP (v) = f (P ) + f (P )f (Q) + fP (v)  −−−−−−→ − → = f (P ) + f (P )f (Q) + fP (v).

(3)

− → donde en (⋆) hemos usado que fP es lineal.

✷

Definici´ on 8 Sean A, A′ dos espacios afines, con espacios vectoriales asociados V, V ′ . Una − → aplicaci´ on f : A → A′ se dice af´ın si existe P ∈ A tal que fP : V → V ′ es lineal. Por el lema − → on lineal asociada a f , y se anterior, podemos denotar fP = f~. A f~ se le llama la aplicaci´ cumplen −−−−−−−−−−→ f~(v) = f (P )f (P + v), ∀v ∈ V. (5) Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa

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Tema 6: Espacio af´ın f (P + v) = f (P ) + f~(v), ∀v ∈ V. −−−−−−→ − −→ f~( P Q) = f (P )f (Q), ∀P, Q ∈ A.

(6) (7)

En el caso de que f sea biyectiva, diremos que f es un isomorfismo af´ın y que A, A′ son (af´ınmente) isomorfos. Si adem´ as, A = A′ , f es una afinidad. Lema 5 Dada una aplicaci´ on lineal F : V → V ′ y dos puntos P ∈ A, P ′ ∈ A′ , existe una u ´nica aplicaci´ on af´ın f : A → A′ tal que f (P ) = P ′ y f~ = F . −−→ − −→ Demostraci´ on. f (Q) = f (P + P Q) = P ′ + F (P Q).

✷

Ejercicio 5 Como resumen de las propiedades anteriores, justif´ıquese: (1) Dos aplicaciones afines f1 , f2 : A → A′ son iguales si y s´olo si: (a) f~1 = f~2 y (b) coinciden en un punto, esto es, f1 (P ) = f2 (P ) para alg´ un P ∈ A. (2) Si A tiene dimensi´ on n, fijados n + 1 puntos independientes P0 , . . . , Pn ∈ A y n + 1 puntos cualesquiera P 0′ , . . . , Pn′ ∈ A′ existe una u ´ nica aplicaci´ on af´ın f : A → A′ tal que ′ para i = 0, . . . , n. f (Pi ) = Pi Algunos ejemplos de aplicaciones afines: 1. Si A es el espacio af´ın naturalmente asociado a un espacio vectorial, entonces: Toda aplicaci´ on lineal es af´ın. Una aplicaci´ on af´ın de A en A es lineal si y s´ olo si lleva 0 en 0. 2. Las constantes son aplicaciones afines (con f~ = 0). − → 3. Las traslaciones Tv : A → A, Tv (P ) = P +v son aplicaciones afines (Tv = 1V ) biyectivas, con (Tv )−1 = T−v , forman un grupo con la composici´ on, no tienen puntos fijos (salvo cuando v = 0, que es Tv = 1A ), y toda traslaci´ on est´a determinada por la imagen de un s´ olo punto. −−→ −−→ 4. Las homotecias HP,λ : A → A, HP,λ (P ) = P + λP Q son aplicaciones afines (HP,λ = λ1V ). A P ∈ A se le llama el centro y a λ ∈ R − {0} la raz´ on de la homotecia. Son biyectivas, con (HP,λ )−1 = HP,1/λ . Las homotecias con el mismo centro, junto c...