Teoria_Mètode_Variacional PDF

Preview

Summary

...

Description

.

Teoria: M` etode Variacional Notem que la teoria pertorbativa que hem desenvolupat anteriorment en les classes de teoria, no ens ´es de gran ajuda si no coneixem d’entrada les solucions exactes al problema amb un hamiltoni`a similar a l’original. El m`etode variacional que es presenta en aquest pdf, ´es for¸ca u ´til per estimar l’energia de l’estat fonamental E0 , sense con`eixer tals solucions exactes. La idea ´es considerar un estat de prova, |˜0Í, que s’assembli a l’estat propi amb energia E0 , |0Í (la dificultat d’aquest m`etode, b`asicament consisteix en escollir b´e l’estat de prova, ja que en principi, no en tenim ni idea de com ´es |0Í). Llavors, si definim ˜ ˜ ¯ = È0|H |0Í H ˜ ˜0Í È0|

(0.1)

(on hem tingut en compte la possibilitat de que l’estat de prova |˜0Í, no estigui normalitzat), es verifica el seg¨ uent: ¯ Ø E0 . H (0.2) Aix`o significa que podem obtenir una fita superior al nivell de m´ınima energia E0 , considerant diferents tipus d’estats prova |˜0Í. Demostrem que aix`o ´es aix´ı. A priori, no coneixem els estats propis de l’hamiltoni`a H, per`o suposem que l’estat |˜0Í es pot desenvolupar de la seg¨ uent manera: |˜0Í =

∞ ÿ

Èk|˜0Í|kÍ,

(0.3)

k=0

on |kÍ ´es un estat propi exacte d’H: H|kÍ = Ek |kÍ. Introduint (0.3) en (0.1), la desigualtat (0.2) sorgeix de la seg¨ uent igualtat trivial: Ek = Ek ≠ E0 + E0 . Se segueix que ∞ ÿ

¯ = H

∞ ÿ

˜ 2 Ek |Èk|0Í|

k=0 ∞ ÿ k=0

= |Èk|0˜Í|2

∞ ÿ

|Èk|˜0Í|2 (Ek ≠ E0 + E0 )

k=0 ∞ ÿ

= |Èk|˜0Í|2

k=0

|Èk|0˜Í|2 (Ek ≠ E0 )

k=0 ∞ ÿ

+ E0 Ø E0 ,

(0.4)

|Èk|0˜Í|2

k=0

on s’ha considerat que la resta Ek ≠ E0 ´es positiva. Evidentment, si feim |˜0Í = |0Í tenim la ∞ |Èk|0Í|2 E = E i q∞ |Èk|0Í|2 = 1. ¯ = E0 , ja que qk=0 igualtat: H k 0 k=0 Aquest m`etode ´es for¸ca potent per estimar l’estat fonamental, per`o no diu res de quant ¯ respecte E0 . La u ¯ ´es major o igual que E0 . Com ja he difereix H ´nica cosa que ens diu ´es que H comentat anteriorment, el m`etode variacional tampoc ens diu quin ´es el tipus d’estat de prova que cal utilitzar per fer l’estimaci´o, sin´o que ens hem de servir de la nostra intu¨ıci´o f´ısica. A la pr`actica, el que un sol fer ´es caracteritzar l’estat de prova per un o m´es par`ametres λi , i calcular ¯ com una funci´o dels λi . Llavors sols es tracta de veure quin o quins valors de λi minimitzen H ¯ i per aix`o imposem: ∂ H/∂λ ¯ H, i = 0. Si aquesta manera de procedir l’aplicam a un estat de prova que ja t´e la forma funcional de l’estat fonamental exacte, obtindrem el vertader nivell de m´ınima energia. Veiem-ne alguns exemples. 1

.

Volem estimar el nivell fonamental d’una part´ıcula en un pou infinit d’amplada 2a. El problema ve caracteritzat pel seg¨ uent potencial: V (x) =

I

0, per |x| < a Œ, per |x| > a

(0.5)

Del curs de f´ısica qu`antica, sabem que les solucions exactes a aquest problema, s´on πx 1 ψ0 (x) = Èx|0Í = Ô cos a 2a 3

4

,

E0 =

~2 π 2 ; 8ma2

(0.6)

encara que per aplicar aquest m`etode, com ja he dit, les solucions exactes s´on irrellevants i en general no les coneixerem. El que si sabem ´es que la funci´o d’ona ha de fer-se zero a x = ±a (aquesta ´es una condici´o de contorn del sistema), i la funci´ o m´es simple que verifica aix` o ´es una par`abola. Sembla raonable, doncs, proposar: ψ0˜(x) = Èx|˜0Í = a2 ≠ x2 . En aquest cas no hem introdu¨ıt cap par`ametre respecte el qual minimitzar. Calculem ¯H,

¯ = H

≠

~2 2m

⁄ +a ≠a

(a2 ≠ x2 )

⁄ +a ≠a

2

d2 2 (a ≠ x2 )dx dx2

= ... =

2 2

(a ≠ x ) dx

10 ~2 π 2 ¥ 1.0132E0 ; π 2 8ma2

(0.7)

on he considerat el seg¨ uent: ˜ H |0Í ˜ = Ș0| H |˜0Í = È0| =

⁄ +Œ

⁄⁄ +Œ

ψ˜0ú(x)dx

≠Œ

≠Œ

⁄ +Œ ≠Œ

˜ xÍÈx|H |xÕ ÍÈxÕ |˜0ÍdxdxÕ È0|

(0.8)

Èx|H|x Íψ0˜(xÕ )dxÕ . Õ

Si no especifiquem la forma de l’H, l’expressi´o anterior no es pot simplificar m´es. Aix´ı i tot, pels casos que ens surten sovint, hamiltonians del tipus H = P 2 /(2m) + V (X), sempre acabem tenint ˜ H |0˜Í = È0|

⁄ +Œ ≠Œ

ψ ú˜0 (x)

C

1 d ≠i~ dx 2m 3

42

D

+ V (x) ψ˜0 (x)dx.

(0.9)

Com es pot apreciar, amb una funci´ o de prova tant simple com ho ´es la que hem utilitzat, s’estima for¸ca b´e el nivell fonamental. Aix´ı i tot, podem arribar a un resultat m´es exacte si utilitzem una funci´o de prova de la forma: ψ˜0 (x) = |a|λ ≠ |x|λ , essent λ el par` ametre respecte el

qual minimitzarem. Procedint exactement com ho hem fet abans, s’arriba a: 2 2 ¯ = 2(λ + 1)(2λ + 1) π ~ © f(λ)E0 . H 8ma2 π 2 (2λ ≠ 1)

(0.10)

¯ ´es m´ınim. Es troba que f Õ (λ) ´es zero per Imposant f Õ (λ) = 0, trobem per quin valor de λ, H Ô Ô λ± = (1 ± 6)/2, i f (λ) t´e un m´ınim a λ+ = (1 + 6)/2 ¥ 1.7247, no molt lluny de λ = 2, considerat al principi. Mitjan¸cant aquest procediment, la cota encara ´es millor, Ô ¯ m´ın. = f(λ+ )E0 = 5 + 2 6E0 ¥ 1.0030E0 . (0.11) H π2

2

.

En el llibre del Ll. Garrido & J.M. Pons, aix´ı com al Griffiths, s’hi poden trobar altres exemples. Aix´ı mateix, el m`etode variacional tamb´e ens serveix per estimar els nivells d’energia corresponents als primers estats excitats. El que cal fer llavors ´es treballar amb un estat de prova, ortogonal a l’estat fonamental exacte (si es coneix), o aproximat (que harem pogut calcular amb el mateix m`etode variacional).

3...