Termodinamica - APUNTES DE TERMMODINAMICA DCB FI UNAM PDF

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APUNTES DE TERMMODINAMICA DCB FI UNAM
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FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

CUADERNO DE EJERCICIOS DE PRINCIPIOS DE TERMODINÁMICA Y ELECTROMAGNETISMO MARTÍN BÁRCENAS ESCOBAR RIGEL GÁMEZ LEAL AGUSTÍN HERNÁNDEZ QUINTERO DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE FÍSICA Y QUÍMICA

PRÓLOGO Se puede afirmar que el trabajo de un ingeniero es la solución de problemas que aquejan a la sociedad con base en sólidos antecedentes en física, química y matemáticas. Para que ello se pueda lograr es necesario que el estudiante de ingeniería posea, entre otras cosas, habilidades en la resolución de problemas.

Este Cuaderno de Ejercicios de Principios de Termodinámica y Electromagnetismo pretende dotar al alumno de ingeniería ejercicios de la asignatura con resolución, con el objetivo de que pueda aplicar los conceptos vistos en clase y en el laboratorio, para que con ello, adquiera habilidad en la resolución de problemas. Se elaboró tomando como base ejercicios de exámenes colegiados de la asignatura, los cuales se conformaron a partir de propuestas de profesores entusiastas de la asignatura, propuestas que fueron revisadas, adaptadas, integradas y resueltas debidamente. Esta obra se integra con ejercicios de los temas correspondientes al temario vigente de la asignatura. Para cada tema se presentan varios ejercicios con su resolución con el fin de que el alumno verifique la forma de resolverlo y pueda comprobar si obtuvo la respuesta correcta, en caso contrario se recomienda que revise su resolución y si no logra encontrar el error se sugiere que lo consulte con su profesor o utilice el servicio de asesoría. Finalmente queremos expresar nuestro deseo de conocer la opinión de profesores y alumnos que puedan enriquecer el contenido de esta obra. Cualquier comentario, crítica o sugerencia será tomada con agrado con el fin de enriquecer este material, el cual, estamos seguros redundará en beneficio de la comunidad universitaria. Ing. Martín Bárcenas Escobar. M. en I. Rigel Gámez Leal. Ing. Agustín Hernández Quintero. México, D. F., abril de 2012.

ÍNDICE

página

Tema I. Conceptos fundamentales

4

Tema II. Primera ley de la termodinámica

20

Tema III. Segunda ley de la termodinámica

46

Tema IV. Ciclos termodinámicos

64

Tema V. Electromagnetismo

78

Tema VI. Circuitos eléctricos en corriente directa

98

Tema VII. Circuitos eléctricos en corriente alterna

111

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

TEMA I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Ejercicios resueltos 1. En un tanque, de base circular y radio de 4.5 [dm], completamente lleno, se tienen dos sustancias en su fase líquida de distintas densidades (1 = 1.5 y 2 = 0.5). La densidad resultante de la mezcla es 800 [kg/m3]. Sabiendo que el volumen del tanque es de 200 litros, determine los volúmenes, en el SI, de cada líquido. Considere que agua = 103 [kg/m3]. VT = 200 [] = 0.2 [m3] ; 1 = 1 agua = (1.5) (103 [kg/m3]) = 1500 [kg/m3] , 2 = 2 agua = (0.5) (103 [kg/m3]) = 500 [kg/m3] ; m = 800 [kg/m3]  = m/V m = V VT = V1 + V2 …… (1) ; mT = m1 +m2 , mVT = 1 V1 + 2 V2 …… (2) Despejando de (1): V2= VT – V1 y sustituyendo en (2): m VT = 1 V1 + 2 (VT – V1) V ( -  ) V1 = T m 2 1 -  2

(0.2 m 3 ) (800 - 500) [kg/m 3 ] = 0.06 [m3]; 3  (1500 500) [kg/m ] V2 = (0.2  0.06) [m3] = 0.14 [m3]

V1 =

V1 = 0.06 [m3] V2 = 0.14 [m3]

2. Se tiene un tanque de forma rectangular, con aire en su interior con un manómetro conectado (A) el cual indica una lectura de 85 [kPa], como se muestra en la figura. Dentro de dicho tanque hay otro tanque cilíndrico el cual contiene un gas y tiene conectado otro medidor de presión (B). Afuera hay un barómetro (C) cuyo líquido es mercurio, que indica una altura hbar = 56 [cm]. Determine: a) La presión absoluta del aire que está en el tanque rectangular. b) La presión absoluta del gas contenido en el tanque cilíndrico. Indique también si el medidor de presión B funciona como manómetro o como vacuómetro. c) La lectura, en [Pa] que indicaría el medidor B si el tanque cilíndrico se sacara del tanque rectangular. Indique si en este caso, el medidor B funciona como manómetro o como vacuómetro. g = 9.78 [m/s2] Hg = 132 959 [N/m3] hbar = 56 [cm] PA = 85 [kPa]  = 8 [dm] agua 103 [kg/m3] aceite = 0.68 4 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

a) P atm = Hg g h bar =  Hg h bar = (132 959 [N/m3] )(0.56 [m] ) = 74 457[Pa] ; PA= P aire – P atm ; Paire = P A + P atm = ( 85 000 + 74 457 ) [Pa] ; P aire = 159 457 [Pa] b) P aire = P a ; P g – P a =  ac g (z g – z a) P g = P a – ac agua g (z g – z a) ; za=0; z g=  P g = P a – ac agua g  Pg = (159 457 [Pa] ) – (0.68) (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.8 [m] ) ; Pgas = 154 136.68 [Pa] Como P g < P a , B funciona como vacuómetro. c) P B = P g – P atm ; Como P g > P atm

P B = (154 136.68 – 74 457) [Pa] ; P B = 79 679.68 [Pa] B funcionaría como manómetro.

3. Un tanque cilíndrico para agua ( = 103 [kg/m3]), abierto a la atmósfera en su parte superior, contiene accidentalmente solo mercurio (Hg = 13.595). En el fondo tiene conectado un manómetro que indica el nivel del líquido e indica “lleno”. Dicho tanque tiene una altura de 85 [cm] en su llenado normal y 40 [cm] de diámetro. Considerando que: la presión ambiente del lugar es 77 [kPa], g = 9.78 [m/s2] y Tamb = 25 [°C], determine para el mercurio contenido en el tanque: a) La altura que ocupa. b) Su peso. a) Si está lleno de agua: Pman f = 8 313 [Pa];

Pman f = a g za ;

Si el contenido es mercurio: entonces zHg =

Pman f = (103 [kg/m3] ) ( 9.78 [m/s2] ) (0.85 [m] )

Pman f = Hg g zHg ;

zHg =

P man f  Hg  ag

,

8 313[Pa ] = 0.0625 [m] (13.595[1] )(10 3[kg / m 3 ] ) (9.78[ m / s 2 )

 b) | W | = m g ; VHg = ¼  2 zHg = ¼  (0.4 [m] )2 (0.0625 [m] ) = 7.85693 [m3] m = Hg VHg = (13 595 [kg/m3] ) (7.85693 [m3] ) = 106.8141 [kg] ;   | W | = 1 044.6424 [N] | W | = ( 106.8141 [kg] ) ( 9.78 [m/s2] )

4. El diámetro interno de un tubo en “U”, es de 10 [mm] y contiene mercurio (Hg = 13.622). En la rama del lado derecho se vierten 20 [cm3] de agua y se espera a que se estabilice el sistema, quedando como se indica en la figura. ¿Cuál es la diferencia de alturas (z), en el SI, entre los dos fluidos en sus superficies libres? 5 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

agua = 103 [kg/m3] g = 9.78 [m/s2]

Pman y = a g La

Px = Py ; Va = ¼  d 2 La ;

4 Va ; d 2

La =

La =



4 2  10

5

m   = 0.2546 [m]

 0.01m 

3 2

Pman y = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.2546 [m] ) = 2 490.46 [Pa] Pman x = Hg g LHg = Hg a g LHg ; LHg = 0.0187 [m] ;

LHg =

Pman x  Hg  a g

La = LHg + z ;

=

2 490.46 Pa 

13.62210 3 kg / m 3 9.78m / s 2  

z = La  LHg = (0.2546 [m] )  (0.187 [m] ) z = 0.2359[m]

5. En un recipiente de base cilíndrica, de 1.2 [m] de altura y 80 [cm] de diámetro, se depositan dos líquidos inmiscibles, como se indica en la figura. La presión atmosférica del lugar es 77 000 [Pa], determine a qué profundidad (z), medida a partir de la superficie libre (z0), la presión absoluta es igual al doble de la presión atmosférica. 1 = 680 [kg/m3] 2 = 13 600 [kg/m3] g = 9.78 [m/s2] Tamb = 22 [°C]  = 20 [cm] d = 80 [cm]

Sea S un punto en la superficie libre del líquido 1 y A un punto entre los dos líquidos, entonces: PA – PS = ρ1 g (zA  zS);

PA = PS + ρ1 g (zA  zS); 6

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

zA =  , zS = 0 ; PA = (77 000 [Pa] ) + (680 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.2 [m] ) = 78 330.08 [Pa] ; como PA < 2 Patm, el punto buscado (x) está debajo de A. PA – PX = ρ2 g (zA  zX); zX = (0.2 [m] ) 

zX = zA 

PA  PX , 2g

(78 330.08  154 000)[Pa] = 0.7689 [m] (13 600 [kg / m 3 ]) (9.78 [m / s 2 ])

6. En el laboratorio de esta asignatura, unos alumnos midieron la presión manométrica (Pman) en función de la profundidad (z) en un líquido en reposo, obteniendo la tabla que se muestra. Si la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2] y la presión atmosférica es 56 [cm de Hg], determine, en el SI, para el líquido utilizado: a) Su densidad relativa. b) Su volumen si la masa de dicho líquido es 1.6 [kg]. z [cm] Pman [Pa] 0 0 5 390 10 780 15 1 165 dP   ; con el método de los cuadrados mínimos, tenemos dz que el modelo matemático de Pman = f (z) es:

a) Pman = m z + b ,

m=γ=ρg, m=

Pman [Pa] = 7 770 [Pa/m] z [m] + 1 [Pa];  7 770 [Pa / m] ρ=   794.4785[kg / m 3] ; g 9.78 [m / s2 ]

γ = 7 770 [Pa/m] , entonces  δL = L ref

794.4785[kg / m 3 ] δL =  0.7945[1] 103[kg / m3 ]

b) ρL =

mL ; VL

VL =

mL 1.6 [kg]  = 0.002 [m3]  L 794.4785 [kg / m 3 ]

7 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

7. Un submarino contiene aire a una presión tal que permite que la tripulación respire en forma adecuada; se sumerge a una profundidad de 70 [m] como se ilustra. Si hbar = 750 [mm], g = 9.81 [m/s2], la presión atmosférica del lugar es 101 000 [Pa] y la densidad del agua de mar es 1050 [kg/m3], determine: a) La presión absoluta del aire dentro del submarino. b) La lectura del medidor de presión A e indique si es un manómetro, un vacuómetro o un barómetro.

A

a) PS = ρHg g hbar = PS = (13 600 [kg/m3] ) (9.81 [m/s2] ) (0.75 [m] ) = 100 062 [Pa] b) PA – Patm = – ρa de m g (zA – z0) , PA = Patm – ρa de m g (zA – z0) 3 PA = (101 000 [Pa] ) – (1 050 [kg/m ] ) (9.81 [m/s2] ) (–70 + 0) [m] = 822 035 [Pa] Como PS < PA el medidor A funciona como vacuómetro y su lectura sería:

LA = PA – PS = (822 035 – 100 062) [Pa] = 721 973 [Pa]

8. En la figura se muestra un tanque que contiene un líquido y, además, aire a presión vacuométrica de 17 000 [Pa], en la parte superior derecha tiene conectado un manómetro, como se muestra en la figura. Sabiendo que la presión absoluta en el fondo del recipiente es 62 438 [Pa] y que la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2], determine: a) La diferencia de alturas del líquido manométrico, es decir z. b) El módulo del peso específico del líquido contenido en el tanque. Indique si esta propiedad es intensiva o extensiva. Patm = 77 000 [Pa] L = 25 [cm] Hg = 13 600 [kg/m3]

a) Pa – Pb = – ρHg g (za – zb) ;

Pb = Patm

Pa  Pb  Hgg Pabs a = Patm – Pvac a = (77 000 [Pa] ) – (17 000 [Pa] ) = 60 000 [Pa] Pa – Pb = – ρHg g (Δz) = – ρHg g Δz ;

z 

8 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

z 



 60 000  77 000  Pa 

 13 600 kg / m  3

 9.78  m / s   2

= 0.1278 [m]

b) [Pa – Pf ]abs = – L (za – zf) = – L ( L – 0) = – L L ; P  P  60 000  62 438  Pa L = a f  = 9 752 [N/m3] L  0.25 [m]

propiedad intensiva

9. Un manómetro diferencial que utiliza agua se encuentra en la pared lateral de un tanque e indica una diferencia de niveles (z) de 295 [mm] como se indica en la figura. Si un barómetro local indica 750 [mm de Hg] y la aceleración gravitatoria del lugar es 9.8 [m/s2], determine en el SI: a) La presión absoluta del gas contenido en el tanque. b) La diferencia de niveles que se tendría si en vez de agua se utilizara aceite ( = 0.86) como fluido manométrico.

Hg = 13 600 [kg/m3] agua = 103 [kg/m3] aceite = 0.86 [1] a) Patm = Hg g hbar = (13 600 [kg/m3] ) (9.8 [m/s2] ) (0.75 [m] ) = 99 960 [Pa] ; Pgas  Patm =  agua g (zg  za ) ,

Pgas = Patm  agua g (zg  za ) ,

Pgas = (99 960 [Pa] )  (103 [kg/m3] ) (9.8 [m/s2] ) (0.295  0 ) [m] , P abs gas = 97 069 [Pa] b) Pgas  Patm =  aceite g (zg n  za n ) ,

z n =

Pgas  Patm  aceiteaguag

=

Pgas  Patm =  aceite agua g (z n ) ,

(97 069  99 960)[Pa] = 0.343 [m] = 34.3 [cm]  (0.86)(103 [kg / m3 ])(9.8[m / s 2 ])

10. Se tiene un tanque cilíndrico con agua abierto a la atmósfera en su parte superior, con un tubo conectado en el fondo; accidentalmente cae aceite por el tubo quedando como se indica en la figura. Determine: a) La presión absoluta en el fondo del tanque cilíndrico, es decir en el punto f. b) La altura de aceite (zac).

9 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

Patm = 77 000 [Pa] aceite = 0.68 d = 40 [cm] L = 80 [cm] g = 9.78 [m/s2]  = 30 [°] agua = 103 [kg/m3] a) Pf = ρa g L + Patm; Pf = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.8 [m] ) + (77 000 [Pa] ) Pf = 84 824 [Pa] b) PA = PB ; Pabs A = ρa g (½ L) + Patm = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (½) (0.8 [m] ) + (77 000 [Pa] ) Pabs A = 80 912 [Pa] = Pabs B

PB – PC = – ρac g (zB – zC)

PB – PC = – ac ρa g (zB – zC); PB – PC = – ac ρa g (– zac); PC = Patm , entonces  80 912  77 000  [Pa] P P = 0.5882 [m] zac  B atm  ac a g 0.68  (103 [kg / m3 ] ) 9.78 [m / s 2]





11. Se sabe que la presión absoluta más grande en el fondo del mar es de 1.1  108 [Pa]. Una persona propone medir todas las alturas (Z) con respecto a ese punto. Considere que la densidad del aire de la atmósfera es 1 [kg/m3], que la del agua de mar es 1 030 [kg/m3], suponga además que ambas densidades son constantes y que la aceleración gravitatoria también lo es (g = 9.8 [m/s2] ). Con base en esta referencia propuesta (Z), determine la altura: a) Del nivel del mar, es decir, donde la presión es 101.325 [kPa]. Exprese el resultado en [km]. b) En la cual la presión absoluta es 90 000 [Pa], exprese el resultado en [km]. Pabs f = 1.1  10 8 [Pa] , Pn – Pf = – ρag mar g (Zn – Zf); Zf = 0 Pn – Pf = – ρag mar g (Zn)





101 325 1.1 108 [Pa] Pn  Pf Zn  = 10 887.5248 [m]  ag marg  1 030 [kg / m 3] 9.8 [m / s 2]







Zn = 10.8875 [km] b) Px = 90 000 [Pa] ,

Pn – Px =  ρaire g (Zn  Zx);

Zn  Zx =

Pn  Px ;  aire g 10

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

Zx = Zn 

101 325  90 000 [Pa] Pn  Px = 12 043.1323 [m] = (10 887.52 [m] )  aire g  1[kg / m 3] 9.8 [m / s 2]







Zx = 12.0431 [km] 12. Un balín de hierro, de 2 [cm] de diámetro se coloca dentro de un tanque cúbico lleno con agua como se muestra en la figura. Si la densidad del hierro es 7 900 [kg/m3] y la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2], determine: a) La magnitud de la fuerza de empuje que experimenta el balín. b) El trabajo desarrollado para desplazar el balín 6 [m] hacia el fondo del tanque.

ma ; ma = ρa Va Va Sea Va = Vagua = Vfluido desalojado ; Vb = Vbalín; Femp = ρa Vb g

a) Femp = Wfluido desalojado = ma g;

ρa =

Femp = (103 [kg/m3] ) (4/3) (0.01 [m] )3 (9.78 [m/s2] ) = 0.041 [N]  3 3 2 b) Wb = mb g = ρb Vb g = (7 900 [kg/m ] ) (4/3) (0.01 [m] ) (9.78 [m/s ] )

Wb= 0.3236 [N]; calculando la magnitud de la fuerza resultante: FR = Wb  Femp = ( 0.3236 0.041 ) [N] = 0.2826 [N] ; entonces el trabajo desarrollado por la fuerza resultante es: 2   2   W  F 1 2   R .d   FR d  cos  ; 1

  0 ; {1W2} = FR  = (0.2826 [N] ) ( 6 [m] ) = 1.6956 [J]

1

13. Una alpinista lleva un barómetro que marca 95 000 [Pa] en su campamento base. Durante la escalada toma dos lecturas adicionales: 91 300 [Pa] a 315 [m] y 88 150 [Pa] a 581 [m], ambas alturas con respecto al nivel del campamento base. Estime la densidad del aire a partir del modelo matemático que relaciona las variables involucradas, utilizando la totalidad de las lecturas realizadas. Considere que la densidad media del aire es constante y desprecie el efecto de la altitud sobre la aceleración gravitatoria local de 9.8 [m/s2]. Con la información proporcionada se puede establecer un modelo matemático que relacione a las variables Pabs = f (z). Utilizando el método de los cuadrados mínimos, tenemos:

z [m] Pabs [Pa] 0 95 000 315 91 300 581 88 150 11

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

m =  11.7887 [Pa/m],

b = 95 004 [Pa]

entonces, el modelo matemático lineal que relaciona a la presión absoluta en función de la altura es: Pabs [Pa] =  11.7887 [Pa/m] z [m] + 95 004 [Pa] ; de acuerdo con la ecuación de gradiente de presión, el significado físico de la pendiente es m =  aire g =  aire , por lo que:

ρaire =

aire , g

ρaire =

11.7887 [Pa / m] = 1.2029 [kg/m3] 9.8[m / s 2]

14. Un cuarto hermético a una presión absoluta de 2 veces la presión atmosférica se le ha conectado un manómetro A. En el interior de este cuarto presurizado se introdujo un tanque cilíndrico el cual contiene un gas y tiene conectado un vacuómetro (B) que indica una lectura de 0.8 [bar]. Considerando que la presión atmosférica del lugar es 1 [bar], determine: a) La presión absoluta del gas contenido en el tanque cilíndrico en [bar]. b) La lectura que indica el manómetro A. a) Pabs gas = Pabs cuarto  LB Pabs gas = 2 [bar]  0.8 [bar] ,

Pabs gas = 1.2 [bar]

b) LA = Pcuarto – Patm = 2 [bar] – 1 [bar] ,

LA = 1 [bar]

5. En la figura se muestra un recipiente que contiene varios fluidos a 20 [°C]. Si la presión vacuométrica en el punto B es 19 951.2 [Pa] y la aceleración gravitatoria del lugar es g = 9.78 [m/s2], determine: a) La densidad del fluido desconocido. b) La presión manométrica en el punto D. a) Pman B =  19 951.2 [Pa] ,

Pman A = 0 [Pa]

Pman B  Pman A =  L g ( zB  zA ) ,

ρ  ρ 

b) PC = PB ;

 

󰇛  󰇜

󰇛.󰇜󰇛󰇜 

󰇡.  󰇢󰇛.󰇜 

= 13 600 [kg/m3]

Pman D  Pman C =  L g ( zD  zC )

Pman D = (  19 951.2 Pa )  (103 [kg/m3] ) ( 9.78 [m/s2] ) ( 0  0.4 ) m =  16 039.2 [Pa]

12 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

Ejercicios propuestos 1. En un recipiente esférico cuyo diámetro es de 50 [cm] se tienen confinados 200 [g] de helio a 77 [kPa]. Calcule el volumen específico en [m3/kg] del gas. Respuesta: v = 0.3272 [m3/kg] 2. ¿Cuánto pesa, en [N], el aire contenido en un recinto de 8 [m] de ancho, 12 [m] de largo y 6 [m] de alto? Considere que la densidad del aire con respecto al agua es de 1.29310 3, para el agua 103 [kg/m3] y que el sistema se encuentra a nivel del mar. Respuesta W = 7 306.174 [N] 3. Se tienen 633 [m] de un fluido A  A  0....