This assignment is about vector, curved surface PDF

Preview

Summary

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCMTRƯỜNG ĐH BÁCH KHOANĂM HỌC 2020 - 2021BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2Khoa Khoa học Ứng DụngĐề tài: 10Nhóm 10Giảng viên hướng dẫn: Th TRẦN NGỌC DIỄMThủ Đức, Ngày 15 tháng 5 năm 2021STT Họ tên SV MSSV Công việc được phân chia1 Lai Cẩm Tài 2014407 Phương pháp tìm pháp vector2 Ngu...

Description

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA NĂM HỌC 2020 - 2021

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 Khoa Khoa học Ứng Dụng Đề tài: 10 Nhóm 10

Giảng viên hướng dẫn: Th.S TRẦN NGỌC DIỄM Thủ Đức, Ngày 15 tháng 5 năm 2021

STT

Họ tên SV

MSSV

Công việc được phân chia

1

Lai Cẩm Tài

2014407

Phương pháp tìm pháp vector

2

Nguyễn Chí Sang

2014349

Tìm cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số

3

Từ Lịch Thanh Tâm

2014444

Tìm cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số

4

Lê Vũ Hoàng Anh

2010851

Soạn báo cáo Word, làm bt phần 1-4

5

Nguyễn Trần Thiện Ân

2010889

Tìm cách viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho dạng tham số.

6

Lê Ngọc Quang

2014325

Tìm cách viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho dạng tham số.

7

Trương Khải Nguyên

2011716

Tìm cơ sở lí thuyết về tham số hóa mặt cong

8

Lê Văn Nam

2013819

Phương pháp tìm pháp vector

9

Trần Quốc Thái

2010616

Tìm cơ sở lí thuyết về tham số hóa mặt cong

10

Nguyễn Phúc Khang

2011367

Soạn báo cáo Word, làm bt phần 15-20

Đề tài 10: Cơ sở lí thuyết: Tìm hiểu về tham số hóa mặt cong, cách tìm vectơ và viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho dạng tham số, cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số, cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số.

Bài tập: Bài tập 1-4, 15-20 phần 15.6

Mục lục. Phần Lý thuyết. ................................................................................... 2 THAM SỐ HOÁ MẶT CONG......................................................... 2 Cơ sở lí thuyết ................................................................................ 2 Tham số hoá mặt cong ................................................................... 3 CÁCH TÌM PHÁP VÉCTƠ ............................................................. 4 Định nghĩa vectơ pháp tuyến: ........................................................ 4 Cách tìm véctơ pháp tuyến của mặt cong ...................................... 5 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾT DIỆN CỦA MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ............................................................................ 7 Cơ sở lí thuyết ................................................................................ 7 Các ví dụ ........................................................................................ 9 TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ ........... 10 Cơ sở lí thuyết .............................................................................. 10 Các ví dụ ...................................................................................... 12 Phần Bài Tập ..................................................................................... 13 Bài tập 1-4: chỉ ra hình dạng đồ thị(a)-(d) phù hợp với các phương trình sau. ......................................................................... 13 Bài tập 15-20: tìm các véctơ biểu diễn cho các mặt sau. ............ 15 Tài liệu tham khảo ............................................................................. 17 KẾT THÚC BÀI BÁO CÁO............................................................. 18

2

Phần Lý thuyết. THAM SỐ HOÁ MẶT CONG Cơ sở lí thuyết Định nghĩa hàm nhiều biến

Định nghĩa: Cho D ∈ ℝ𝑛 . Ánh xạ 𝑓 → 𝐷 → ℝ hay 𝑥 = (𝑥1 , . . . 𝑥𝑛 ) ⟶ 𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥1 , . . . 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ được gọi là hàm số trên D (với D: tập xác định, 𝑓 :hàm số; 𝑥 : biến

số)

Lưu ý: biến số có n thành phần, mỗi thành phần xem như một biến độc lập (cho

nên hàm số trên ℝ𝑛 hay được gọi là hàm nhiều biến).

Hàm ba biến là hàm nhiều biến có số thành phần của biến là 3(tức n=3).

Định nghĩa mặt cong

Giả sử U là một miền liên thông trong mặt phẳng 𝑢, 𝑣 (tức là không tồn tại hai

tập mở rời nhau mà hợp của chúng chứa U đồng thời mỗi tập đều chứa điểm của U), và là tập hợp của hữu hạn hoặc vô hạn điểm được miền con đồng phôi với hình tròn

đơn vị; X(𝑢, 𝑣) là một ánh xạ liên tục từ U vào ℝ3 sao cho thu hẹp của nó trên mỗi miền con là một đồng phôi. Khi ấy, tập ảnh

S = {𝑋 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑋 = 𝑋(𝑢, 𝑣) ∈ U}

được gọi là mặt cong. Mặt cong trong không gian có thể được xác định ở dạng tường minh: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ G ⊂ ℝ2 hoặc là y = 𝑓(𝑥, 𝑧) ∀(𝑥, 𝑧) ∈ G1 ⊂ ℝ2 hay là

x = 𝑓(y, 𝑧) ∀(y, 𝑧) ∈ G2 ⊂ ℝ2 .

Mặt cong trong không gian còn có thể được xác định ở dạng ấn bởi phương

trình: F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

Tuy nhiên, không phải bất kì mặt cong nào cũng có thể được xác định bằng hai

dạng trên. Một ví dụ điển hình cho vấn đề này là mặt helicoid (mặt xoắn ốc). Chúng ta

có thể thấy rằng với một điểm (𝑥, 𝑦) trên mặt phẳng thì 𝑥, 𝑦 đều sẽ có hơn một hình

3

chiếu lên mặt helicoid, vì vậy mà mặt cong này không thể là đồ thị của một hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Hình A1: Helicoid-mặt xoắn ốc-không phải là đồ thị 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Tham số hoá mặt cong Ý nghĩa:

Như cách chúng ta thấy dễ hơn khi biểu diễn một đường cong trên một mặt phẳng và không gian bằng ảnh của một đường thẳng dưới hàm véctơ r so với việc biểu diễn nó dưới đồ thị của hàm, chúng ta sẽ thấy một trường hợp tương tự như vậy cho các mặt cong. Thay vì sử dụng một tham số, chúng ta sẽ sử dụng hai tham số và khảo sát một mặt cong trong không gian như là ảnh của các vùng xác định trong mặt phẳng.

Phương pháp tham số hoá mặt cong

Cho: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥 (𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

là một hàm véctơ xác định cho mọi điểm 𝑢, 𝑣 trong miền xác định D của mặt phẳng

(𝑢, 𝑣). Tập hợp của tất cả các điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) trong không gian ℝ3 thỏa phương trình

𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) tham số { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) với 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

(u , v )

được biểu diễn bởi véctơ r.

nằm trong miền D được gọi là tham số hóa mặt cong

4

Do đó, khi (𝑢, 𝑣) nằm trong miền xác định D, đầu của véctơ 𝐫(𝑢, 𝑣) sẽ quét qua mọi điểm trong mặt cong S. Hay nói cách khác, r là ánh xạ của các điểm (𝑢, 𝑣) trong miền xác định lên một điểm 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣) trên mặt cong S sao cho miền xác định D được biến dạng thành mặt S.

CÁCH TÌM PHÁP VÉCTƠ Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Trong hình học, pháp tuyến (hay trực giao) là một đối tượng như đường thẳng, tia hoặc véctơ vuông góc với một đối tượng nhất định. Ví dụ: trong không gian hai chờng pháp tuyến của một đường cong tại một điểm nhất định là đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. Còn trong không gian ba chiều ,đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm được gọi là pháp vectơ của mặt cong tại điểm đó. Hình B1: Véctơ pháp tuyến của mặt cong

Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài bằng một (một vectơ pháp tuyến đơn vị) hoặc không. Dấu đại số của nó có thể biểu thị hai phía của bề mặt (bên trong hoặc bên ngoài).

5

Cách tìm véctơ pháp tuyến của mặt cong 1. Công thức của vectơ pháp tuyến:

Công thức pháp véctơ đơn vị của một mặt mức F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 có dạng 𝑛󰇍 = ±

∇𝐹

|∇𝐹|

󰇍󰇍 = (cos , cos , cos ) hay 𝑛

(trong đó ,, lần lượt là góc tạo bởi nửa dương 3 trục Ox, Oy, Oz với pháp véctơ). Lưu ý: Dấu cộng hay trừ tùy thuộc vào yêu cầu của đề bài.

𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) Nếu phương trình tham số của mặt cong là { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣), khi đó pháp véctơ 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) đơn vị của mặt cong có công thức là: 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑢 × 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐫′𝑣 𝐫′ 𝑛󰇍 = ± 󰇍󰇍󰇍󰇍 × 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 |𝐫′ 𝐫′ | 𝑢

𝑣

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍𝑢 = (𝑥′𝑢 , 𝑦′𝑢 , 𝑧′𝑢 ) và 𝐫′ 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍𝑣 = (𝑥′𝑣 , 𝑦′𝑣 , 𝑧′𝑣 ) (trong đó: 𝐫′

Công thức của hàm véctơ:

Ta có: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥 (𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

Khi 𝐫 đạo hàm theo 𝑢 và theo 𝑣 ta có công thức như sau:

𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + (𝑢 , 𝑣 )𝐤 𝜕𝑢 0 0 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + (𝑢 , 𝑣 )𝐤 𝐫𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 ) = 𝜕𝑣 0 0 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) =

Công thức hàm véctơ pháp tuyến:

𝑛 = 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) × 𝐫v (𝑢0 , 𝑣0 )

Ta chiếu mặt cong (S) lên mặt phẳng(UV), khi đó véctơ 𝐫 tạo thành 2

véctơ con là 𝐫󰇍󰇍𝑢 và 𝐫󰇍󰇍𝑣 cùng nằm trên một mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại điểm M(U0,V0).

Ta dùng tích có hướng cho hai véctơ 𝐫󰇍󰇍𝑢 và 󰇍󰇍𝐫󰇍𝑣 thì sẽ tạo ra một véctơ mới

vuông góc với hai véctơ 𝐫󰇍󰇍𝑢 và 𝐫󰇍󰇍𝑣 và cũng chính là véctơ pháp tuyến của mặt cong (S) tại điểm M(U0,V0).

6

Hình B1: Hình chiều hàm số r lên miền D của mặt S

2. Phương pháp tìm véctơ pháp tuyến cho dạng tham số : Khi đề bài cho ta một hàm véctơ:

𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥 (𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

Ta đạo hàm r theo 𝑢 và 𝑣:

𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + (𝑢 , 𝑣 )𝐤 𝜕𝑢 0 0 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + (𝑢 , 𝑣 )𝐤 𝐫𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 ) = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 0 0

𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) =

Sau đó ta sử dụng tích có hướng giữa hai hàm véctơ trên để tìm ra hàm vecto pháp tuyến:

I.

𝑛 = 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) × 𝐫v (𝑢0 , 𝑣0 )

Các ví dụ

VD B.1: Tìm pháp véctơ đơn vị tại điểm 𝑀(1,1,0) của mặt trụ 𝑧 = 1 − 𝑥 2 Giải

Ở đây ta có một véctơ pháp tuyến tại điểm 𝑀 là: (−𝑧′𝑥 , −𝑧′𝑦 , 1) = (2𝑥, 0,1) = (2,0,1)

⇒ pháp véctơ đơn vị tại điểm 𝑀 là: 𝑛󰇍 = ±

(2,0,1)

√22

+

02

+

12

=±

1

√5

(2,0,1)

7

Ở đây, do ta lấy phía dưới tức 𝑧 < 0 nên ta chọn dấu trừ. Vậy 𝑛󰇍 = −

1

√5

(2,0,1)

VD B.2: Tìm pháp véctơ đơn vị phía dưới mặt nón 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 tại điểm 𝑀(1, −1, √2). Giải

Ta có thể tham số hóa mặt nón với 𝐫 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) =(𝑢 cos𝑣, 𝑢 sin𝑣, 𝑢) trong đó 𝜋 𝜋 𝑢 ≥ 0 và − 2 ≤ 𝑣 ≤ 2

𝐫𝑢 = (cos𝑣, sin𝑣, 1) 󰇍󰇍󰇍 Khi đó { 𝐫󰇍󰇍󰇍𝑣 = (−𝑢 sin𝑣, 𝑢 cos𝑣, 0)

và 󰇍𝐫󰇍𝑢 × 𝐫󰇍󰇍󰇍𝑣 = (−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣) .Khi đó:

󰇍𝑛 = ± =±

1 (−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢) (−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢) =± |(−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢)| √2 1

√2

(−

√2 √2 , 1) , 2 2

với (𝑢, 𝑣) = (√2, 4 ) . Do vậy phía dưới mặt nón, tức là z < 0 nên ta chọn dấu trừ. Vậy 𝑛󰇍 = −

1

√2

𝜋

(−

√2 √2 , , 1) 2 2

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾT DIỆN CỦA MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ Cơ sở lí thuyết 1. Mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S từ phương trình tham số cho trước Cho phương trình:

𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

tại điểm P0 ứng với 𝑢 = 𝑢0 , 𝑣 = 𝑣0 .

8

Nếu ta cố định 𝑢 = 𝑢0 thì 𝐫( 𝑢0 , 𝑣) xác định một đường cong C1 ⊂ S trong

không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P0 có véctơ chỉ phương là 𝐫𝑣 =

∂𝑥

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 +

∂y

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +

∂z

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐤.

Tương tự như vậy, nếu ta cố định 𝑣 = 𝑣0 thì 𝐫( 𝑢0 , 𝑣) xác định một đường

cong C2 ⊂ S trong không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P0 có véc tơ chỉ phương là

𝐫u =

∂𝑥

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 +

∂y

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +

∂z

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐤.

Lấy tích có hướng của 𝐫u và 𝐫𝑣 ta được véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp

diện của mặt cong S tại điểm P0 . Nếu tại P0, 𝐫u × 𝐫𝑣 ≠ 0 thì ta nói mặt cong S là trơn

tại P0.

Lưu ý: Đường thẳng đi qua P0 và vuông góc với tiếp diện của S tại P0 được gọi

là pháp tuyến của mặt S tại P0. Nó nhận véctơ N = 𝐫u × 𝐫𝑣 làm véctơ chỉ phương.

2. Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)

Trường hợp đặc biệt, mặt cong S cho bởi phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) thì S có 𝑥=𝑢 một tham số hóa tự nhiên là { 𝑦 = 𝑣 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

9

Khi đó, 𝐫𝑢 = (1,0, 𝑧′𝑢 ), 𝐫𝑣 = (1,0, 𝑧′𝑣 ) và do đó, véctơ pháp tuyến của mặt cong S tại P là 𝐫u ∧ 𝐫𝑣 = |

𝐢1 𝐣0 𝑧′ 𝐤 𝑢 0 1

𝑧′𝑣

| = (−𝑧′𝑢 , −𝑧′𝑣 , 1) = (−𝑧′𝑥 , −𝑧′𝑦 , 1).

Do đó, phương trình tiếp diện tại 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) là

𝑧 − 𝑧0 = 𝑧′𝑥 (𝑀). (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑧′𝑦 (𝑀). (𝑦 − 𝑦0 )

(1.6)

3. Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

Nếu mặt cong S xác định bởi phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 và M(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) là

một điểm chính quy của S thì nó xác định một hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)và các đạo hàm 𝑧′𝑥 , 𝑧′𝑦 được tính theo công thức

𝑧′𝑥 = −

𝑓′𝑥

𝑓′𝑧

𝑧′𝑦 = −

,

𝑓′𝑦

𝑓′𝑧

,

Áp dụng công thức (1.6) ta được • Phương trình tiếp diện tại M 𝑧 − 𝑧0 = −

(𝑥 − 𝑥0 ) − 𝑓′𝑦 (𝑀) (𝑦 − 𝑦0 ) 𝑓′ (𝑀) 𝑓′ (𝑀)

𝑓′𝑥 (𝑀) 𝑧

𝑧

(***)

• Phương trình pháp tuyến tại M (𝑑): 𝑓′

(𝑥−𝑥0 ) 𝑥 (𝑀)

=

(𝑦−𝑦0 )

𝑓′𝑦 (𝑀)

=

𝑧−𝑧0

𝑓′𝑧 (𝑀)

(***)

Các ví dụ

Vd:. Viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số 𝑥 =

𝑢2 , 𝑦 = 𝑣 2 , 𝑧 = 𝑢 + 2𝑣 tại điểm (1, 1, 3).

Giải

Ta có: 𝐫u =

∂𝑥

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 +

∂y

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +

∂z

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐤.

10

𝐫𝑣 =

∂𝑥

∂𝑣

𝐢 𝐣 Do đó, 𝐫u ∧ 𝐫𝑣 = | 2𝑢 0 0 2𝑣 trị 𝑢 = 𝑣 = 1 nên 𝐫u ∧ 𝐫𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 +

∂y

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +

∂z

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐤.

𝐤 1 | = −2𝑣𝐢 − 4𝑢𝐣 + 4𝑢𝑣𝐤. Điểm (1, 1, 3) ứng với giá 2 = (−2, −4, 4) . Vậy phương trình tiếp diện là:

−2(𝑥 − 1) − 4(𝑦 − 1) + 4(𝑧 − 3) = 0 ⇔ 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0.

TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ Cơ sở lí thuyết 1. Khái niệm mặt cong Mặt cong trong không gian có thể xác định ở dạng ẩn bởi phương trình chung: F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 Ví dụ: Phương trình 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 − 1 = 0 xác định mặt cong trong không

gian là một mặt cầu có bán kính bằng 1, tâm đặt tại gốc tọa độ O(0,0,0). Ngoài ra, mặt cong còn có thể xác định tổng quát ở dạng tham số : 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

;

(𝑢, 𝑣) ∈ 𝐻 ⊂ 𝑹2

Để đơn giản hơn người ta thường cho phương trình tham số dưới dạng: 𝑥=𝑥 (𝑥, 𝑦) ∈ D ⊂ 𝐑2 ; { 𝑦=𝑦 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)

2. Cách tính diện tích mặt cong

11

Hình D1: mặt cong S bị chia nhỏ thàbh những mặt 𝑆𝑖𝑗

Chia mặt cong S thành nhiều mặt cong nhỏ Sij có diện tích là ∆Sij và gọi Dij là

hình chiếu của Sij xuống mặt phẳng O𝑥𝑦. Trong mỗi mặt cong Sij ta lấy ngẫu nhiên

điểm Mij chiếu xuống O𝑥𝑦 ta được điểm Pij. Từ đó ta viết phương trình mặt phẳng tiếp

diện với mặt cong S tại Mij (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 , 𝑧𝑖𝑗 ):

𝑧 − 𝑧𝑖𝑗 = 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )(𝑥 − 𝑥𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )(𝑦 − 𝑦𝑖𝑗 )

(với 𝑧𝑖𝑗 = 𝑓(𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )). Từ phương trình tiếp diện trên ta có pháp véctơ 𝑛󰇍 =

(−𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ), −𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ), 1). Ta lại có 𝑘󰇍 = (0,0,1) là pháp véc tơ của mặt phẳng O𝑥𝑦 nên góc 𝛾𝑖𝑗 giữa mặt phẳng tiếp diện và mặt phẳng O𝑥𝑦 được tính như sau: 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗 =

󰇍 >| |< 𝑛󰇍 , 𝑘 = ‖𝑛󰇍‖. ‖𝑘󰇍 ‖

1

√1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )2 2

⇒Diện tích hình chiếu Dij của Sij được tính theo công thức: ∆D = ∆S.𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗 ⇒ ∆S𝑖𝑗 =

∆𝐷𝑖𝑗

𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗

= √1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )2 . ∆𝐷𝑖𝑗 2

12

Cộng tất cả các ∆S lại với nhau ta được diện tích của mặt cong S là tổng Reimmen của hàm hai biến: 𝑚

𝑛

S ≈ ∑ ∑ √1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗)2 ∆𝐷𝑖𝑗 2

𝑖=1 𝑗=1

Theo định nghĩa tích phân kép ta sẽ được: .

S = ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 )2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

Các ví dụ

VD D.1 : Tính diện tích của phần mặt cong 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 = 2 nằm trong hình nón 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 Giải

Ta có : z = ±√2 − 𝑥 2 − 𝑦2 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)

⇒ 𝑓′𝑥 =

, 𝑓′𝑦 =

∓𝑥

√2−𝑥 2 − 𝑦 2 .

∓𝑦

√2−𝑥 2 − 𝑦 2

𝑆 = 2 ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 2

𝐷(𝑥,𝑦)

Đổi biến sang tọa độ cực : 𝑥 = 𝑟 cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin𝜑, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2

Ta có miền 𝐷 = {(𝑟, 𝜑) ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}

⇒ S = 2 ∫0 𝑑𝜑 ∫0 √1 + 2𝜋

1

𝑟2

2 − 𝑟2

𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋(2 − √2 )

VD D.2 : Tính diện tích của phần mặt 𝑧 = 𝑥𝑦 nằm trong hình trụ 𝑥 + 𝑦2 = 1 2

Ta có : 𝑧 = 𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

⇒ 𝑓′𝑥 = 𝑦

,

𝑓′𝑦 = 𝑥

Giải

.

𝑆 = 2 ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 ) 𝐷(𝑥,𝑦)

2

𝑑𝑥𝑑𝑦

13

Đổi biến sang tọa độ cực : 𝑥 = 𝑟 cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin𝜑, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 Ta có miền D = {(𝑟, 𝜑) ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

𝜋

2

𝑣à 𝜋 ≤ 𝜑 ≤

⇒ 𝑆 = 2 ∫02 𝑑𝜑 ∫0 √1 + (𝑟 sin𝜑)2 + (𝑟 cos𝜑)2 𝑟𝑑𝑟 = 1

Phần Bài Tập

2𝜋 3

3𝜋 2

}

(√2 − 1)

Bài tập 1-4: chỉ ra hình dạng đồ thị(a)-(d) phù hợp với các phương

trình sau.

1. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 2 cos 𝑢𝐢 + 2 sin 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤

2. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢𝐤

3. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢2 𝐤 4. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑣𝐤

Giải 1. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 2 cos 𝑢𝐢 + 2 sin 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤 Đặt: 𝑥 = 2 cos 𝑢;

𝑦 = 2 sin 𝑢;

Ta có: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 22 (cos2 𝑢 + sin2 𝑢) = 4

𝑧=𝑣

14

Phương trình trên không chứa z, không có điều kiện cho 𝑣 => 𝑣 ∈ (−∞; +∞) Vậy mặt cong r là hình trụ tròn có bán kính bằng 2 và chiều cao vô hạn. => Hình (b). 2. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢𝐤 Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣;

𝑦 = 𝑢 sin 𝑣;

𝑧=𝑢

Ta có: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑢2 (cos2 𝑣 + sin2 𝑣) = 𝑢2 = 𝑧 2

=> Mặt cong có hình dạng là mặt nón 2 phía => Hình (c).

3. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢2 𝐤 Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣;

𝑦 = 𝑢 sin 𝑣;

Ta có: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑢2 (cos2 𝑣 + sin2 𝑣) = 𝑢2 = 𝑧

𝑧=𝑢

=> Mặt paraboloid elliptic => Hình (a).

4. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑣𝐤 Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos ,

*Cố định 𝑢 = 𝑢0

𝑦 = 𝑢 sin 𝑣,

𝑧=𝑣

Gọi T là hình chiếu của r lên mặt phẳng Oxy

=> T là đường tròn 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑢0 2

Với mỗi giá trị của 𝑣 ta chỉ có duy nhất 1 bộ giá trị 𝑥, 𝑦, 𝑧 tương ứng. => Hình (d).

15

Bài tập 15-20: tìm các véctơ biểu diễn cho các mặt sau.

15. Mặt phẳng đi qua điểm (2, 1, −3) và chứa các véctơ 2𝐢 + 𝐣 − 𝐤 và 𝐢 − 2𝐣 − 𝐤

16. Mặt phẳng 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 6

17. Nửa dưới của mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 = 1

18. Nửa trên của mặt ellpisoid 9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 36𝑧 2 = 36

19. Một phần của hình trụ 𝑥 2 + 𝑦2 = 4, cắt bởi các mặt 𝑧 = −1và 𝑧 =3

20. Một phần của hình trụ 9𝑦2 + 4𝑧 2 = 36, cắt bởi các mặt 𝑥 = 0 và 𝑥 = 3

Giải 15. 𝑎 = 2𝐢 + 𝐣 − 𝐤,b = 𝐢 − 2𝐣 − 𝐤

=> véctơ pháp tuyến 𝑛󰇍 (−3,1, −5)

Mặt phẳng đi qua điểm (2, 1, −3), có vtpt 𝑛󰇍 (−3,1, −5) là: −3x + y − 5z − 10 = 0

Ta có 𝐫 = 𝐫0 + 𝑢𝑎 + 𝑣b = −3i + j − 5k + u(2𝐢 + 𝐣 − 𝐤) + 𝐯(𝐢 − 2𝐣 − 𝐤) = (−3 + 2𝑢 + 𝑣)𝐢 + (1 + 𝑢 − 2𝑣)𝐣 + (−5 − 𝑢 − 𝑣)𝐤

16. ...