Tirgul 11(19-1-2020)Moodle PDF

Preview

Summary

Download Tirgul 11(19-1-2020)Moodle PDF

Description

‫תרגול ‪11‬‬

‫משוואות דיפרנציאליות רגילות‬ ‫משוואות דיפרנציאליות הן משוואות בהן הנעלם שאנחנו מחפשים הוא פונקציה )במשתנה‬ ‫אחד(־ ובמשוואה מוצגות הנגזרות של הפונקציה יחד עם המשתנה של הפונקציה‪ .‬המטרה‬ ‫שלנו תהיה למצוא את הפונקציה בצורה מפורשת‪.‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬רוב המשוואות הדיפרנציאליות לא פתירות‪ .‬בצורה מדויקת ־ משוואה‬ ‫דיפרנציאלית מקיימת ‪F (x, f (x), f ′ (x), ..., f (n) (x)) = 0‬־ קשר פונקציונלי בין פונקציה‬ ‫של משתנה יחיד )‪ f (x‬ובין הנגזרות שלה‪.‬‬ ‫הערות‬

‫‪ .1‬המטרה בכל שאלה היא למצוא פונקציה )‪ y(x‬המקיימת את המשוואה‪.‬‬

‫‪ .2‬לאחר מציאת פונקציה )‪ ,y(x‬כדאי להציב במשוואה ולראות כי היא אכן מקיימת‬ ‫אותה )ולרוב הרבה יותר קל לגזור מאשר לעשות אינטגרציה(‪.‬‬ ‫‪ .3‬כאשר מופיע בשאלה תנאי התחלה‪ ,‬הפיתרון הסופי הוא ללא קבוע )יש למצוא את‬ ‫הקבוע בעזרת תנאי ההתחלה(‪.‬‬ ‫שיטות לפיתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות‬ ‫הפרדת משתנים‬

‫מתי? נבחר להשתמש בהם בכל מקרה בו ניתן להציג את המשוואה‬

‫הדיפרנציאלית באופן הבא ־ ‪) f (y)dy = g(x)dx‬תמיד נסמן‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬

‫= ‪ .(y ′‬אם זה מתקיים‪,‬‬

‫אז קיבלנו ביטוי המאפיין אינטגרל בשני הצדדים ־ לכן נפעיל אינטגרל על שני האגפים‬ ‫ונקבל־ ‪.F (y) = F (x) + C‬‬ ‫בכל אחד מהאינטגרלים קיבלנו קבוע ־ והעברנו אותו לצד של ‪) x‬אפשר לחשוב על ‪C‬‬ ‫כעל ההפרש בין הקבוע שקיבלנו עבור האינטגרל של ‪ x‬ובין הקבוע שקיבלנו עבור האינטגרל‬ ‫‪1‬‬

‫של ‪.(y‬‬ ‫דוגמא‬

‫פתרו את המשוואה הבאה‪2xy + y ′ = 0 :‬‬

‫פיתרון‬

‫נעביר אגפים‪.y ′ = −2xy ,‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬

‫נסמן‬

‫= ‪y′‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪= −2x , dx‬‬ ‫נקבל‪= −2xy :‬‬

‫‪= −2xdx‬‬

‫‪1 dy‬‬ ‫‪y dx‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y‬‬

‫נפעיל אינטגרל על ‪ 2‬האגפים ־‬ ‫‪ln(y) + c y = −x2 + c x‬‬ ‫‪ln(y) = −x2 + C‬‬ ‫‪+C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.y = e−x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫דוגמא‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫= ‪y′‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬

‫=‬

‫‪ydy = xdx‬‬ ‫‪y 2 = x2 + C‬‬ ‫√‬ ‫‪y = ± x2 + C‬‬ ‫דוגמא‬

‫‪y′ = y2‬‬

‫‪= y2‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪= dx‬‬

‫‪1 dy‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪− y1 = x + C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.y = − x+C‬‬

‫דוגמא‬

‫‪xyy ′ = y 2 − 1‬‬

‫נפריד משתנים ונקבל‪:‬‬ ‫‪yy′‬‬ ‫‪y 2 −1‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫)נרצה ש־ ‪ y ′‬יימצא במונה(‬

‫נוציא אינטגרל על שני האגפים ־‬

‫‪2‬‬

R R

y dy y 2 −1

=

R 1

2

2y dy y 2 −1

1 dx x

= ln|x| + c 1

= 21ln|y 2 − 1| + c 2 (c = c 1 − c 2 ‫)נסמן‬ ‫נקבל‬

ln|x| + c = 21 ln|y 2 − 1| = ln(y 2 − 1)0.5 ‫ על שני האגפים ונקבל ־‬e ‫נפעיל‬ p |xc| = |y 2 − 1| c 2 x2 = |y 2 − 1| √ √ y1 = 1 − kx2 , y2 = − 1 − kx2 p

1 − y 2 + yy ′ = 0

‫דוגמא‬

.dx ‫ אבל עדיין יש‬x ‫נשים לב שכאן אין‬ ‫נעביר אגפים ונקבל‬ p yy ′ = − 1 − y 2 ′

√yy

= −1 √ = − 1 − x2 ‫ניזכר שמתקיים‬ 1−y 2

R

√ x 1−x2

:‫נוציא אינטגרל משני האגפים ונקבל‬ p − 1 − y 2 = −x + c (x − c)2 = 1 − y 2 y 2 = 1 − (x − c)2 p .y = ± 1 − (x − c)2 y ′ = yln(y) = 0 dy dx

‫דוגמא‬

= yln(y)

1 dy yln(y)

= dx

ln(ln(y)) = x + C ln(y) = ex+C X+C

.y = ee

3

x

= eCe

‫הגדרה‬

‫הסדר של מד"ר הוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר שלה־ פיתרון יחיד למשוואה זו‬

‫ייקבע לפי מספר תנאי התחלה השווים לסדר המשוואה‪ .‬כלומר‪ ,‬למשוואה ‪ f ′′ = f‬יש‬ ‫פיתרון יחיד עם ‪ 2‬תנאי התחלה‪ .‬למשוואה ‪ f ′ = f‬יש פיתרון יחיד עם תנאי התחלה‬ ‫אחד‪ .‬עבור משוואה מסדר ראשון נדרוש תנאי התחלה יחיד והיאלמעשה משוואה מהצורה‬ ‫‪.F (x, f (x), f ′ (x)) = 0‬‬ ‫משוואות הומוגניות‬

‫משוואה הומוגנית היא משוואה מהצורה ) ‪ y ′ = f ( yx‬כלומר הנגזרת‬

‫היא פונקציה של הביטוי ‪. xy‬‬ ‫על מנת לפתור משוואה הומוגנית‪ ,‬נציב‬

‫)‪y(x‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪ ,v(x‬ואז‪y ′ = f (v(x)) ,‬‬

‫מתוך ההגדרה של )‪:v(x‬‬ ‫)‪y = xv(x‬‬ ‫)‪y ′ = v(x) + xv′ (x‬‬ ‫)‪f (v(x)) = v(x) + xv′ (x‬‬ ‫)‪f (v(x))−v(x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪= x1 dx‬‬

‫= )‪v′ (x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪f (v)−v‬‬

‫אז נקבל )‪,v′ (x)x+v(x) = f (v‬‬

‫)‪f (v)−v (x‬‬ ‫‪x‬‬

‫= ‪ v′‬וקיבלנו משוואה פרידה שהיא פונקציה‬

‫של ‪ v‬ופותרים באותו אופן‪.‬‬ ‫דוגמא‬

‫‪ x2 y ′ = y 2 + 2xy‬עם תנאי התחלה ‪.y(1) = 1‬‬

‫פיתרון ) ‪= ( xy )2 + 2x( yx‬‬

‫‪y 2 +2xy‬‬ ‫‪x2‬‬

‫= ‪ y ′‬וזו משוואה הומוגנית‪.‬‬

‫נפעל לפי ההצבה ־‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫= ‪,v‬‬

‫‪y ′ = v′ x + v‬‬ ‫נציב במשוואה המקורית‪:‬‬ ‫‪x2 y ′ = y 2 + 2xy‬‬ ‫‪x2 (v′ x + v) = v2 x2 + 2vx2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫= ‪,v‬‬

‫‪v 2 +2v−v‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪a(v+1)+bv‬‬ ‫)‪v(v+2‬‬

‫=‬

‫‪b‬‬ ‫‪v+1‬‬

‫= ‪= x1 dx ,v′‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪dv‬‬ ‫‪v 2 +v‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dv. av‬‬ ‫)‪v(v+1‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪a = 1, b = −1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− v+1‬‬ ‫‪dv = x1dx‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪v‬‬

‫‪R‬‬

‫)‪ln(v) − ln(v + 1) = ln(x) − ln(c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪c‬‬

‫=‬

‫‪v‬‬ ‫‪v+1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪c‬‬

‫=‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪c‬‬

‫=‬

‫‪y‬‬ ‫‪y+x‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪+‬‬

‫‪xy‬‬ ‫‪c‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪y(1) = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬

‫=‬

‫= ‪.c = 2 ,1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y+x‬‬

‫‪2y = yx + x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2−x‬‬

‫=‪y‬‬

‫מד"ר לינאריות מסדר ראשון‬

‫המשוואה הלינארית מסדר ראשון היא המשוואה‪:‬‬

‫)‪y ′ + p(x) · y = q(x‬‬ ‫עבור משוואה הומוגנית מתקיים ‪ q(x) = 0‬ועבור אי הומוגנית ‪.q(x) 6= 0‬‬ ‫פיתרון המשוואה ההומוגנית ‪= −p(x) y ′ (x) + p(x)y (x) = 0‬‬

‫)‪y ′ (x‬‬ ‫)‪y(x‬‬

‫נשים לב שניתן לפתור על־ידי הפרדת משתנים באופן הבא־‬ ‫נפעיל אינטגרל על שני האגפים ונקבל‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ln|y| = − p(x)dx + c‬‬ ‫‪p(x)dx‬‬

‫‪R‬‬

‫‪y(x) = ce−‬‬

‫זה הפיתרון של המשוואה ההומוגנית‪.‬‬ ‫את המשוואה הלא הומוגנית ניתן לפתור על־ידי מציאת גורם אינטגרציה ־ פונקציה‬ ‫)‪m(x‬‬ ‫המקיימת ‪.m(x)(y ′ (x) + p(x)y(x)) = (m(x)y(x))′‬‬ ‫נחשב את הנגזרת‪:‬‬ ‫)‪.m(x)(y ′ (x) + p(x)y(x)) = (m(x)y(x))′ = m′ (x)y(x) + m(x)y ′ (x‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪m(x)y ′ (x) + m(x)p(x)y (x) = m′ (x)y(x) + m(x)y ′ (x‬‬ ‫)‪m(x)p(x)y(x) = m′ (x)y(x‬‬ ‫נחלק בפונקציה ונקבל‪:‬‬ ‫)‪m′ (x‬‬ ‫)‪m(x‬‬

‫= )‪p(x‬‬

‫נפעיל אינטגרל ונקבל‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ln(m(x)) = p(x) + C‬‬ ‫‪p(x)dx‬‬

‫‪R‬‬

‫‪.m(x) = Ce‬‬

‫במקרה זה מספיק למצוא פונקציה ספציפית ולא משפחה‪ ,‬כך שנוכל להשמיט את הקבוע‬ ‫ונקבל‬ ‫‪p(x)dx‬‬

‫‪R‬‬

‫‪.m(x) = e‬‬

‫כעת נסתכל על המשוואה‪:‬‬ ‫‪.m(x)(y ′ (x) + p(x)y(x)) = (m(x)y(x))′‬‬ ‫שאותה )‪ m(x‬מקיימת‪.‬‬ ‫נציב )‪y ′ + p(x) · y = q(x‬‬ ‫ונקבל‬ ‫‪m(x)g(x) = (m(x)y(x))′‬‬ ‫נפעיל אינטגרל על שני האגפים ונקבל‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)‪m(x)y(x) = m(x)g(x‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m(t)g (t) + C‬‬ ‫)‪ y(x) = m(x‬עבור‬ ‫‪x‬‬

‫‪p(x)dx‬‬

‫‪R‬‬

‫‪.m(x) = e‬‬

‫ההנחה כאן היא ש־‪ p‬ו־‪ q‬פונקציות רציפות ולכן יש להם פונקציות קדומות והביטוי‬ ‫מוגדר‪.‬‬ ‫זה הפיתרון למד"ר לא הומוגנית מהצורה )‪.y + p(x) · y = q(x‬‬ ‫‪′‬‬

‫תרגיל‬

‫‪xy ′ = x + y‬‬

‫נרצה להעביר למשוואה מהצורה )‪.y ′ (x) + p(x)y(x) = q(x‬‬ ‫‪xy ′ − y = x‬‬ ‫‪=1‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪y′ −‬‬

‫)‪y ′ + p(x) · y = q(x‬‬ ‫‪6‬‬

‫אז נקבל‪:‬‬ ‫‪.q(x) = 1 ,p(x) = x1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪m(x) = e−ln(x‬‬

‫‪.y = xln(x) + C‬‬ ‫תרגיל‬

‫פתרו את המשוואה ‪.y ′ cos(x) + ysin(x) = 1‬‬

‫נרצה לקבל מד"ר לינארית מסדר ראשון־ כלומר נרצה שהמקדם של ‪ y ′‬יהיה ‪ ,1‬אז נחלק‬ ‫ב־)‪ cos(x‬את שני האגפים ונקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪cos(x‬‬

‫= )‪.y ′ + ytan(x‬‬

‫קיבלנו משוואה לא הומוגנית‪.‬‬ ‫נשתמש בפיתרון שראינו קודם לכן ונקבל את הפיתרון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪cos(x‬‬

‫= ‪= e−ln(cos(x))dx‬‬

‫‪tan(x)dx‬‬

‫‪R‬‬

‫‪m(x) = e−‬‬

‫)‪+ C = cos(x)tan(x) + Ccos(x) = sin(x) + C · cos(x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪cos2 (x‬‬

‫‪R‬‬

‫)‪y = cos(x‬‬

‫משוואת ברנולי ־ משוואה מהצורה ‪.y ′ + p(x)y = g(x)y n‬‬

‫דוגמא ־ הצבה‬ ‫אז מתקיים‪:‬‬

‫‪ y(x) = 0 .1‬הוא תמיד פיתרון של המשוואה )לכל ‪.(n > 0‬‬ ‫‪ .2‬עבור ‪ n = 0‬וגם ‪ n = 1‬קיבלנו משוואה לינארית‪.‬‬ ‫נתייחס לפיתרון ‪ ,y(x) = 0‬ונרצה למצוא פיתרון נוסף‪ .‬נחלק את המשוואה ב־)‪y n (x‬‬ ‫ונקבל את המשוואה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ p(x) yn−1‬‬ ‫)‪= g(x‬‬

‫נציב‬

‫‪1‬‬ ‫‪y n−1‬‬

‫‪′‬‬ ‫)‪. yny(x‬‬ ‫‪′‬‬

‫= ‪ .z ′ = − yyn (n − 1) ,z‬נציב במשוואה ונקבל‪:‬‬

‫)‪−z ′ (n − 1) + zp(x) = g(x‬‬ ‫)‪= (n − 1)g(x‬‬

‫)‪zp(x‬‬ ‫‪n−1‬‬

‫‪ z ′ −‬וקיבלנו משוואה לינארית עבור הפונקציה )‪z(x‬־ נפתור‬

‫בדרכים שראינו‪.‬‬ ‫דוגמא‬

‫‪y′ + y − y2 = 0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪y′ + y = y2‬‬

‫פיתרון‬

‫משוואת ברנולי ־‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y′‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪+‬‬

‫=‪z‬‬

‫‪′‬‬

‫‪z ′ = − yy2‬‬ ‫נציב במשוואה ונקבל‪:‬‬ ‫‪−z ′ + z = 1‬‬ ‫‪z ′ − z = −1‬‬ ‫משוואה לינארית ב־‪z‬־‬ ‫‪= e−x‬‬

‫‪−1dx‬‬

‫‪R‬‬

‫‪m(x) = e‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪z(x) = ex( −e−xdx + ec ) = ex(e−x + ec+x) = 1 + ec+x‬‬ ‫‪y(x) = 1+e1c+x‬‬ ‫‪.x2 y ′ + 2xy − y 3 = 0‬‬

‫דוגמא‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x2‬‬

‫= ‪. y ′ + x2 y‬‬

‫נחלק בחזקה הגבוהה ביותר ונקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫=‬

‫נציב‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪xy 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪y′‬‬ ‫‪y3‬‬

‫= ‪.z‬‬

‫‪′‬‬

‫‪z ′ = −2yy3‬‬

‫נציב‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫= ‪− 12 z ′ + x2z‬‬

‫משתמשים בנוסחה‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נציב‬

‫‪1‬‬ ‫‪y2‬‬

‫= ‪z = −2y13 y ′ ,z‬‬

‫נחלק את המשוואה שקיבלנו ב־ ‪,y 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫= ‪y 3 + xy22‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪y′‬‬

‫נציב את ‪ z‬ונקבל‪:‬‬

‫‪8‬‬

− 12 z ′ + x2z = z′ −

4 z x

1 x2

= − x22

:‫נשתמש בנוסחה לפיתרון משוואה אי הומוגנית‬ m(x) = ce m(x) = ce

m(x) = e

−

R

p(t)dt x

R

4 dx −x

R

p(x)dx

= ce−4ln(x) = cx4 = x4

:‫ונקבל את הפתרון כללי הבא‬ R 1 m(t)q (t)dt + C ‫ כאשר‬y = m(x) x ‫או‬

.y = e

R

R p(x)dx

e−

R

p(x)dx

q(x)dx + c :‫נציב ונקבל‬

z=e

R

4 x dx

R

e

R

4 dx −2 x x2

dx = x4 (−2) x−6 dx + cx4 = −2x4 − R

−5

x 5

=

2 5x

.y = ± √1z = ± √

+ cx4

1 2/5x+cx4

9...