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TP209flambement...

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Résistance Des Matériaux – TP2

Année 2004-2005

Application FLAMBEMENT

1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3

1 Le phénomène de flambement ................................................................... 2 Définition du phénomène .................................................................................................2 Illustration du phénomène................................................................................................2 Barre sans chargement vertical .......................................................................................2 Barre avec chargement vertical .......................................................................................2 Remarques.......................................................................................................................4

2.1 2.2 2.3

2 Méthode d’Euler ........................................................................................... 4 Charge critique d’Euler (cas d’une poutre biarticulée).....................................................4 Premier mode de flambement, contrainte critique d’Euler...............................................5 Modes supérieurs de flambement....................................................................................6

3.1 3.2

3 Méthode de l’énergie ................................................................................... 7 Principe de la méthode ....................................................................................................7 Exemple ...........................................................................................................................8

4.1 4.2

4 Méthode itérative.......................................................................................... 9 Principe de la méthode ....................................................................................................9 Exemple ...........................................................................................................................9

Application n°9 –TP2 09 flambement

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Année 2004-2005

L E PH OM MENE DE PHEN E NO DE FLAMBE BE MEN ENT

1.1

Déf éfini ni tion du p hén omèn e

Le flambement est un phénomène d’instabilité d’une construction, entraînant rapidement la ruine de celleci. Il se caractérise par la déformation excessive des éléments de la structure sous l’action de charges trop importantes. La déformation excessive fait apparaître des excentricités des charges, donc des sollicitations en moments supplémentaires, que la structure ne peut encaisser au delà d’un certain seuil.

1.2 1 .2.1

Illu str tratio ion du du ph én omèn ène B aar rrre sa ge e ment sa n s cha rrg nt ve rti tica l K

K

B

L0

L0

H

A

Pour illustrer le phénomène, considérons une barre AB, articulée en A et maintenant en B par deux ressorts de raideur K, de longueur libre L0 lorsque la barre AB est verticale. Application progressivement une force variable horizontale H de faible intensité. L’application de cette force fait tourner la barre AB autour de son axe A. Lorsque la force H revient à 0, la barre reprend sa position initiale. L’équilibre est stable. 1 .2.2

B aar rrre av av ecc cha har g e men ent ve ve rti ticall

Considérons maintenant le même dispositif et supposons qu’une force verticale P est présente au point B. De même que précédemment, on applique progressivement une force H.

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P fixe K

K

B

L0

L0

H variable

A

Pour des petites valeurs de P, le même phénomène que précédemment se produit : l’application d’une petite force H entraîne la rotation de la barre AB, lorsque H tend revient à 0, la barre AB revient en position initiale. Par contre, pour des plus grandes valeurs de P, la barre AB ne revient plus à sa position d’équilibre : dès la mise en place d’une petite force H, la barre AB tourne autour de son axe A et ne trouve pas de position d’équilibre, elle continue de tourner.

Pour cela, établissons la résultante des moments au point A : P K

R = K.u

B u

L0

H variable L ΘA h

A

 M / A = PΘ

A

L − RL + Hh = Pu + Hh − KuL

Les couples dus à P et H ont tendance à faire tourner la barre (effet déstabilisateur), tandis que la réaction du ressort exerce un couple de rappel (effet stabilisateur). Cette expression montre que pour une valeur critique de P, notée Pcr, égale à Pcr = KL, le moment déstabilisateur sera supérieur au moment stabilisateur, la moindre rotation de la barre entraînée par une force horizontale H, si petite soit-elle, entraînera l’instabilité de la structure.

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En conclusion : Si P< Pcr = KL, le couple de rappel est supérieur au couple déstabilisateur : la structure est sable et la rotation θA est finie et déterminée. Si P> Pcr = KL, la structure est instable : la moindre rotation de la barre due à une petite force H sera automatiquement amplifiée par la force P et entraînera l’instabilité de la barre. Si P= Pcr = KL, on atteint la limite de la stabilité, la rotation θA est indéterminée. 1 .2.3

R eem ma arrq que uess

Ce qui est à l’origine de la déformation initiale, ce n’est pas la charge P, mais la charge H, cela peut être également une imperfection géométrique. C’est la valeur de P Pcr qui amplifie le phénomène de déformation allant jusqu’à la rupture. Dans l’expression des couples, on a confondu θA avec tangente (u =LtanθA = LθA). On reste toujours dans le cadre de petites déformations pour l’écriture des moments stabilisateurs ou déstabilisateurs, mêmes si ces déformations vont par la suite s’amplifier. Au départ du phénomène, les déformations sont supposées petites.

2 2.1

ED THOD ODE D’ EULER M ETH

Charg rg e cri rit iqu que d’E ’Eu ler (c (cas as d’ une p outre bi art rticul ée)

Considérons une poutre biarticulée AB soumise à une charge verticale P placée en B, dans l’axe de la poutre. Si la poutre reste bien droite, la charge reste alors dans l’axe de la poutre et le moment fléchissant dans la poutre est nul. Si par contre la poutre a une légère déformée v(x), due à une imperfection de forme ou à un chargement horizontal, la charge verticale engendre alors un moment fléchissant :

M ( x) = − P.v( x) P

P

B

B

v(x)

v(x)

L M(x)= - Pv(x) x A y

rem : le moment est ici exprimée dans la fibre moyenne déformée. L’équation de la déformée est régie par l’équation :

EIv' ' ( x) = M ( x) = − Pv( x)

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soit EIv' ' ( x) + Pv( x) = 0 ou v ' ' ( x) + k ² v( x) avec

k² =

P EI

la solution de cette équation différentielle est de la forme :

v (x ) = C 1 cos kx + C2 sin kx . Les constantes C1 et C2 sont définie par les conditions aux limites : v(0) = 0 => C1 = 0 ; v(L) = 0 => C2 sin kL = 0 . Cette dernière égalité est vérifiée si C2 = 0, on se replace alors dans les déformations de premier ordre avec v=0. Une autre solution vérifiant la seconde condition aux limites estsin kL = 0 ,soit kL = nΠ, soit :

k ²=n² 2.2

Π² Π ² EI ou : Pcr, n = n² L² L²

Pre remie ier mode de fla lambemen en t, con on tra i n tee c ritiqu e d’ d’Euler

Dans le cas n=1 ;

v( x) = C 1 sin -

Π Π ² EI x avec Pcr, 1 = L L²

La déformée est une sinusoïde ; elle n’est pas déterminée exactement car elle est définie à C1 près.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-

La charge critique d’Euler Pcr ne dépend pas de la résistance du matériau, en particulier de sa limite d’élasticité. Le matériau intervient par son module d’Young. Ainsi, un acier de limite d’élasticité 500 MPa ne résiste pas mieux au phénomène de flambement qu’un acier de nuance 240 MPa (pourtant deux fois moins résistant). Il en est de même pour le béton.

-

La charge critique d’Euler est proportionnelle à

1 . Ainsi, une poutre de longueur 2L a une L²

charge critique d’Euler 4 fois plus faible que la poutre de même section et matériau et de longueur L. Les pièces élancées sont donc très sensibles au phénomène de flambement. -

La charge critique d’Euler dépend de l’inertie. Le flambement se fait dans le plan l’inertie minimale de la section :

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P

Dans le cas ci-dessus, le flambement se fait dans le plan xz.

z

y Iy < Iz => flambement dans la direction z

-

La contrainte correspondant à la charge critique d’Euler est appelée contrainte critique d’Euler :

σ crit =

Π ²EI L ²S

Soit r =

Π² E I L rayon de giration et λ = élancement de la poutre. On peut alors écrire : σ crit = λ2 S r

La contrainte critique correspondant au phénomène de flambement est une courbe en

1

λ

. Le mode de

2

rupture d’une pièce peut donc intervenir selon 2 phénomènes : -

la rupture par ruine du matériau :σ ≥ σ e

-

la rupture par flambement qui intervient dès que la pièce est trop élancée.σ ≥σ crit σ

λc =Π²E/σe

σe

σ=Π²E/λ²

λc λ Rupture par ruine du matériau

2.3

Rupture par flambement

Mod odes es su périe urs de fla la mbe bement

Déformée dans le cas n = 2

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2

4

6

8

10

Déformée dans le cas n = 3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Dans la réalité, ces autres modes ne se produisent pas, la rupture est atteinte avant.

3 3.1

M ETH E DE ENER E THOD O DE DE L’ EN ERG I E Pririn cip ipe dee l aa méth o d e

C’est une autre méthode qui aboutit à la valeur de la charge critique à partir d’une déformée qu’on se donne, qui n’est pas forcément la déformée réelle, mais qui respecte néanmoins les conditions aux limites. P

P

On considère toujours une poutre biarticulée soumise à une charge P en B. B

Avant flambement, si on néglige les effets de N et T, l’énergie interne dans la structure est nulle puisque M=0

δ B

Lorsque la structure flambe, le point B se déplace d’une quantité . L’énergie emmagasinée par la structure vaut : U=

v(x) L

1 M² ds =  EI (v ' ' )²ds  2 struct EI struct

x

x A

Dans cette expression, la déformée, introduite par sa dérivée seconde, est produite par un effet extérieur à la charge P : charge horizontale, imperfection géométrique, etc.

y

A y

Le travail de la force extérieure P vaut donc :

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Wext = P.δ ici il n’y a pas de facteur ½ car la charge P est entièrement (et antérieurement) appliquée avant le phénomène de flambement : ce n’est pas la force P qui provoque le déplacement du point B, mais elle l’amplifie. Etablissons la relation entre la translation  et la déformée v(x) : Pour cela isolons un tronçon de poutre de longueur dx avant déformation et examinons sa déformation : sa déformation, une translation v(x) et une rotation (x) induisent une translation suivant l’axe x de longueur dl = dx(1-cos) ≈

θ

2

2

2

≈

1  dv    . 2  dx  dx

Donc, la translation totale de la force P vaut :

Θ

2

δ=

 struct

1  dv    dx et son travail vaut : 2  dx 

 struct

x B

A

dx

2

Wext = P. δ = P.

v(x)

1  dv    dx 2  dx 

B δ

dl

L’égalité du travail de la force extérieure et de l’énergie interne donne l’intensité de la charge critique de flambement.

 EI (v ' ' )² Fc =

struct

 ( v' )²

.

struct

On obtient ainsi une valeur de la charge critique de flambement, par excès : en effet la translation  est minorée puisqu’elle ne prend en compte que l’effet de la flexion et non de la compression. Une valeur 2

plus exacte serait :

δ=

1  dv  P L.   dx +  2 dx ES   struct

L’approximation de la charge critique est d’autant meilleure que la déformée v(x) choisie est proche de la déformée réelle.

3.2

Exe xemp le

Exemple sur la structure précédente : poutre articulée en A et sur appui glissant en B, soumise à une charge P dans son axe. On se donne une déformée respectant les conditions aux limites : v(0) = 0 et v(L) = 0.

 On choisit une courbe de type v(x)=ax(L-x). On peut se fixer a = 1. v’(x) = L-2x => ( v' ( x)) = L² − 4 xL+ 4 x² 2

v’’(x)= -2 => ( v ' ' (x )) = 4 2

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 EI ( v' ' )² Il vient : Fc =

struct

 (v ' )²

=

struct

4 EIL 4 L3 − 2 L3 + L3 3

=

4 EIL EI = 12 . 1 3 L² L 3

Cette valeur est à comparer avec la valeur exacte déterminée par la méthode d’Euler :

Pcr, 1 =

Π ² EI L²

La méthode énergétique aboutit à une valeur par excès de 21% par rapport à la méthode d’Euler.  On choisit une courbe de type v(x)=asin

v’(x) =

Π x . On peut se fixer a = 1. L

Π Π cos x => L L

L

L

L

Π² Π Π²   (v' ( x) )² dx =  cos ² xdx =   L²

0

v’’(x)= −

L

0

Π ² co L ²

L

1 2Π  Π² L + cos x dx = ( v' ( x))2 = L² − 4 xL+ 4 x² L² 0  2 L  L² 2

Π x => L

4 L

Π Π  (v ' ' (x) )² dx = L4  sin ² L

0

4 L

xdx =

0

 EI (v ' ' )² Donc Fc =

struct

( v' )²

=

Π L4

4 2Π  1 Π L − = x dx cos   0  2 L  L4 2

Π ²EI L²

struct

Avec la déformée exacte, on retrouve la valeur exacte de la charge critique.

4

M ETH E IT THOD O DE IT ERAT AT IVE VE

4.1

Pririn cip ipe dee l aa méth o d e

Le principe de la méthode peut s’illustrer par le logigramme suivant :

4.2

•

Partir d’une déformée v0(x) respectant les conditions aux limites ;

•

Calculer les sollicitations M0(x) = f(v0(x)) ;

•

Résolution et intégration de l’équation différentielle : EIv1 ( x) =

•

On obtient v1(x).

•

On boucle : calcul de M2(x) = f(v1(x)) , puis intégration de EIv 2 (x ) = M 1 (x ) = f (v 1 (x )) , etc…

''

M 0 ( x) = f ( v0 ( x)) ;

''

Exe xemp le

Avec la même structure que précédemment, posons v0(x)=

x−

x² , déformée forfaitaire respectant les L

conditions aux limites ;

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Notons que

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L L v0   = 2 4 ''

M0(x) = -Pv0(x)=-Px+Px²/L = EIv 1 (x ) =>

v1' ( x) = −

P x² P x 3 + +A EI 2 EI 3 L

v 1 (x ) = −

P x3 P x4 + + Ax + B EI 6 EI 12 L

conditions aux limites : v1(0)=0 => B = 0 v1(L)=0 =>

−

1 PL2 P 3 L + AL = 0 => A = 12 EI 12 EI

donc v 1 ( x) = −

P x3 P x 4 P L 2x + + EI 6 EI 12 L EI 12

L  L  L  = v0   = .Cette condition donne la valeur de Pc. 2  2  4

on doit avoir également : v1 

48 EI EI  L L ≈ 9,6 v1   =  Pc = 5 L² L²  2 4 Cette valeur est à comparer avec

EI Π² EI ≈ 9,869 , donnée par la méthode d’Euler. Il y a un écart de L² L²

3% entre les 2 valeurs. Deuxième itération : On établit v1(x) en y introduisant la valeur de Pc trouvée :

v1 (x ) = −

8 x3 4 x 4 4 L L + + x (notons que l’on retrouve bien v1(0)=0 ; v1(L)=0 et v 1   = ) 3 5 5 L² 5 L 2 4 ''

M(x) = - Pv1(x)= EIv 2 ( x) =>

v (x ) = −

P x4 4 x 5 − + 2 x ²] + A' [ 2 + 5 EI L² 5 L3

v 2 (x ) = −

P 2 x 5 4 x6 2 [− + + x ²] + A ' x 5 EI 5 L ² 30 L3 3

' 2

la condition v2(L) = 0 donne A’ =

2 PL2 5 EI

600 EI EI  L L v 1  = ≈ 9,836 , très proche de la valeur indiquée par la donne Pc = 61 L ² L² 2 4 Π ² EI EI ≈ 9 ,869 (écart de l’ordre de 0,3%). méthode d’Euler : L² L² La condition

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