Transferencia DE Calor POR Conducción PDF

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FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DEMORELOSFACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS E INGENIERÍAPROGRAMA EDUCATIVO DE INGENIERÍA QUÍMICAFENÓMENOS DE TRANSPORTE 2PROFESOR: ROBERTO FLORES VELÁZQUEZTAREA 2. BITÁCORA DE PROBLEMASMODELADO MATEMÁTICO DE LA TRANSFERENCIA DECALOR POR CONUDCCIÓNE...

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FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MORELOS FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS E INGENIERÍA PROGRAMA EDUCATIVO DE INGENIERÍA QUÍMICA

FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROFESOR: ROBERTO FLORES VELÁZQUEZ

TAREA 2. BITÁCORA DE PROBLEMAS MODELADO MATEMÁTICO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONUDCCIÓN

EQUIPO # 4 NOMBRE

CALIFICACIÓN

ALPIZAR DÁVILA ZULEIMA

100 %

GARZA RAMOS GARDUÑO RAFAEL

100 %

MILLÁN GARCÍA JOSÉ ANTONIO

100 %

TENORIO TAVIRA GISELLE HARUMI

100 %

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 1. Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de casco cilíndrico, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en estado estacionario para un cilindro largo, con conductividad térmica constante, en el cual se genera calor con una velocidad 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛

Se consideran coordenadas cilíndricas: 1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + 2 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + (𝑘 ∙ ) + 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 = 𝜌 ∙ 𝐶𝜌 ∙ 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝑧 La transferencia de calor unidimensional en dirección r:

Se considera estado estacionario:

𝜕𝑇 𝜕𝑇 =0; =0 𝜕𝑧 𝜕𝜙 𝜕𝑇 =0 𝜕𝑡

Existe generación de calor

Por lo que la ecuación queda: 1 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 = 𝜌 ∙ 𝐶𝜌 ∙ 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 2. Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de capa esférica, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio para una esfera con conductividad térmica constante y sin generación de calor.

Se consideran coordenadas cilíndricas: 1 𝜕 2 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕𝑇 𝜕𝑇 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + 2 ∙ (𝑘 ∙ )+ 2 (𝑘 ∙ sin 𝜃 ) + 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 = 𝜌 ∙ 𝐶𝜌 ∙ 2 2 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝑟 ∙ sin 𝜃 𝜕𝜃 La transferencia de calor unidimensional en dirección r: 𝜕𝑇 𝜕𝑇 =0 =0; 𝜕𝜙 𝜕𝜃 Se considera estado transitorio:

No existe generación de calor 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 = 0 Por lo que la ecuación queda:

𝜕𝑇 ≠0 𝜕𝑡

𝜕𝑇 𝜕𝑇 1 𝜕 2 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) = 𝜌 ∙ 𝐶𝜌 ∙ 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑡

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 3. Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de anillo, deduzca la ecuación bidimensional de conducción de calor en estado estacionario, en coordenadas cilíndricas para T(r, z), para el caso de conductividad térmica constante y sin generación de calor.

Se consideran coordenadas cilíndricas: 1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + 2 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + (𝑘 ∙ ) + 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 = 𝜌 ∙ 𝐶𝜌 ∙ 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑡 La transferencia de calor unidimensional en dirección r: 𝜕𝑇 =0 𝜕𝜙 Se considera estado estacionario:

No existe generación de calor 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 = 0

𝜕𝑇 =0 𝜕𝑡

Por lo tanto la ecuación queda: 1 𝜕 𝜕𝑇 𝜕2𝑇 𝜕𝑇 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + 𝑘 ∙ 2 = 𝜌 ∙ 𝐶𝜌 ∙ 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 5. Considere un recipiente esférico de radio interior 𝑟1 , radio exterior 𝑟2 y conductividad térmica k. Exprese la condición de frontera sobre la superficie interior del recipiente para conducción unidimensional estacionaria, para los casos siguientes: a) Temperatura especifica de 50 ℃ b) Flujo especifico de calor de 30 𝑊⁄ 𝑚2 hacia el centro c) Convección hacia un medio que se encuentre a una temperatura T con un coeficiente de transferencia de calor h

Solución: Inciso A) Buscamos la condición de frontera de temperatura específica. 𝑇 (𝑟1 ) = 50 Inciso B) Ocupamos la fórmula para condición de frontera de flujo especifico de calor. 𝑘∙ Inciso C)

𝑑𝑡 (𝑟1 ) = 30 𝑊⁄𝑚2 ∙ 𝑘 𝑑𝑟

Ocupamos la fórmula para condición de convección de frontera. 𝑘

𝑑𝑡 (𝑟1 ) = ℎ[𝑇 (𝑟1 ) − 𝑇∞ ] 𝑑𝑟

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 6. Considere un tubo largo de radio interior 𝑟1 ,radio exterior 𝑟2 y conductividad térmica k. La superficie exterior del tubo está sujeta a convección hacia un medio a una temperatura 𝑇∞ con un coeficiente de transferencia de calor de h, pero no se conoce la dirección de esa transferencia. Exprese la condición de convección de frontera sobre la superficie exterior del tubo. ℎ, 𝑡 ∞ 𝑟1

𝑟2

Solución: Ocupamos la expresión matemática para condición de convección de frontera, en la superficie exterior del tubo.

𝑘

𝑑𝑡 (𝑟2 ) = ℎ [𝑇(𝑟1 ) − 𝑇∞ ] 𝑑𝑟

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 7. Considere una pared plana grande de espesor L = 0.4 m, conductividad térmica k = 2.3 W/m · °C y área superficial A = 30 m2. El lado izquierdo de la pared se mantiene a una temperatura constante de T1= 90°C, en tanto que el derecho pierde calor por convección hacia el aire circundante que está a T = 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h = 24 W/m 2 · °C. Si se supone una conductividad térmica constante y que no hay generación de calor en la pared, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones en la frontera para una conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la pared, mediante la solución de la ecuación diferencial y c) evalúe la razón de la transferencia de calor a través de la misma. 𝐿 = 0.4 𝑚 𝑇1 = 90 ℃

𝑇∞ = 25 ℃ ℎ∞ = 24

𝑘𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = 2. 3

𝑊

𝑚2 ∙

℃

𝑊 𝑚∙℃

Solución: Inciso A) 

Ocupamos coordenadas rectangulares. 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕2 𝑇 + + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

   

No hay generación de calor Se considera en estado estacionario La conductividad térmica del material es constante e independiente de la temperatura La transferencia de calor es unidimensional en dirección x, por lo tanto:

Estableciendo condiciones frontera:

𝑑2𝑇 =0 𝑑𝑥 2

1.Cuando x=0, se tiene una condición de frontera de temperatura especifica

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2.-

FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 𝑇 (0) = 𝑇1 = 90 ℃

Cuando x=L, se tiene una condición de frontera de convección de frontera −𝑘 ∙ Inciso B)

𝑑𝑇 (𝐿 ) = ℎ∞ [𝑇(𝐿 ) − 𝑇∞ ] 𝑑𝑥

Integrando la ecuación diferencial, con respecto a x, primera integración 𝑑𝑇 = 𝐶1 𝑑𝑥

Segunda integración:

𝑇 = 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

Aplicando condición frontera 1 en solución general Cuando x=0, decimos: 𝑇 = 𝐶1 (0) + 𝐶2

Despejando 𝐶2

𝐶2 = 𝑇1

Aplicando condición de frontera 2 Cuando x=L, decimos: 𝑑𝑇 = 𝐶1 𝑑𝑥

Sustituyendo:

−𝑘 ∙ (𝐶1 ) = ℎ∞ [(𝐶1 (𝐿 ) + 𝐶2 ) − 𝑇∞ ]

Despejando 𝐶1 , con programa símbolab:

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Donde 𝐶2 = 𝑇

𝐶1 = −

ℎ∞ (𝐶2 − 𝑇∞ ) 𝑘 + ℎ𝐿

𝐶1 = −

ℎ∞ (𝑇1 − 𝑇∞ ) 𝑘 + ℎ𝐿

Sustituyendo 𝐶1 y 𝐶2 , en solución general. 𝑇 = (−

ℎ∞ (𝑇1 − 𝑇∞ ) ) ∙ 𝑥 + 𝑇1 𝑘 + ℎ𝐿

Inciso C) Para este inciso ocupamos la condición de flujo especifico de calor: 𝑄󰇗 = −𝑘 ∙ 𝐴 ∙

𝑑𝑇

Donde 𝑑𝑥 = 𝐶1 Donde

𝑄󰇗 = −𝑘 ∙ 𝐴 ∙ 𝐶1 𝑄󰇗 = 𝑘 ∙ 𝐴 ∙

Sustituyendo:

𝑑𝑇 𝑑𝑥

ℎ∞ (𝑇1 − 𝑇∞ ) 𝑘 + ℎ𝐿

𝑊 (24 2 ) ∙ (90 ℃ − 25 ℃) 𝑊 𝑚 ∙℃ 2 𝑄󰇗 = (2.3 ) ∙ (30 𝑚 ) ∙ = 9045 𝑊 𝑊 𝑊 𝑚∙℃ (0.4 (2.3 ) + (24 ) 𝑚) 𝑚∙℃ 𝑚2 ∙ ℃

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 8. Considere la placa base de una plancha doméstica de 800 W con un espesor de L = 0.6 cm, área de la base de A = 160 cm2 y conductividad térmica de k = 20 W/m·°C. La superficie interior de la placa base se sujeta a un flujo uniforme de calor generado por los calentadores de resistencia del interior. Cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación, la temperatura de la superficie exterior de la placa es de 85°C. Descartando cualquier pérdida de calor a través de la parte superior de la plancha, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la placa, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la placa base, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie interior.

Solución: Inciso A) 

Ocupamos coordenadas rectangulares. 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕2 𝑇 + + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

   

No hay generación de calor Se considera en estado estacionario La conductividad térmica del material es constante e independiente de la temperatura La transferencia de calor es unidimensional en dirección x, por lo tanto:

Estableciendo condiciones frontera:

𝑑2𝑇 =0 𝑑𝑥 2

1.-Cuando x=0, se tiene una condición de frontera de flujo especifico de calor 𝑇(0) = −𝑘 ∙

𝑑𝑇 (0) = 𝑞0󰇗 𝑑𝑥

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 2.-Cuando x=L, se tiene una condición de frontera de temperatura especifica 𝑇 (𝐿 ) = 𝑇2 Inciso B) Integrando la ecuación diferencial, con respecto a x, primera integración 𝑑𝑇 = 𝐶1 𝑑𝑥

Segunda integración:

𝑇 = 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

Cuando x=0, decimos: 𝑞󰇗 0 = −𝑘 ∙ Donde:

𝑑𝑇(0) 𝑑𝑥

𝑞0󰇗 = −𝑘 ∙ 𝐶1

Despejando 𝐶1

𝐶1 =

Cuando x=L, decimos:

−𝑞0󰇗 𝑘

𝑇 (𝐿 ) = 𝑇2 Donde: Despejamos 𝐶2

𝐶1 ∙ (𝐿 ) + 𝐶2 = 𝑇2 𝐶2 = 𝑇2 − 𝐶1 ∙ 𝐿

Sustituyendo 𝐶2 𝑦 𝐶1 , en solución general. 𝑇=

Reduciendo términos:

𝑞󰇗 0 −𝑞󰇗 0 ∙ 𝑥 + 𝑇2 + ∙𝐿 𝑘 𝑘

𝑇 = 𝑇2 +

−𝑞󰇗 0 ∙ (𝐿 − 𝑥 ) 𝑘

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 Sustituyendo valores: Calculo de 𝑞󰇗 0 𝑞󰇗 0 =

𝑄󰇗 800 𝑊 𝑊 = = 50, 000 2 2 𝑚 𝐴 160 𝑚

𝑇 = (85℃) +

−50, 000

𝑊 𝑚2 ∙ (0.6 𝑚 − 𝑥 )

𝑊 20 𝑚 ∙ ℃

Ocupe un programa para realizar el calculo

Solución inciso C)

𝑇 = 2500(0.006 − 𝑥 ) + 85

Ocupamos la condición de temperatura específica, donde x=0. 𝑇 (0) = 2500(0.006 − 0) + 85 = 100 ℃

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 9. Una placa grande de acero que tiene un espesor de L = 4 in, conductividad térmica de k = 7.2 Btu/h · ft · °F y una emisividad de  = 0.7 está tendida sobre el suelo. Se sabe que la superficie expuesta de la placa, en x = L, intercambia calor por convección con el aire ambiente que está a T= 90°F, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h =12 Btu/h·ft 2·°F, así como por radiación hacia el cielo abierto, con una temperatura equivalente del cielo de T cielo = 480 R. Asimismo, la temperatura de la superficie superior de la placa es de 75°F. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción a través de la placa, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine el valor de la temperatura de la superficie inferior de la misma, en x = 0.

SOLUCIÓN: a)  Se utilizan coordenadas rectangulares 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 =0 + + 𝜕𝑥2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧2



La transferencia de calor es unidimensional en dirección x. 𝜕2𝑇 =0 𝜕𝑦 2

𝜕2𝑇 =0 𝜕𝑧 2  

No hay generación de calor en el sistema. Se considera estado estacionario.

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 La ecuación de transferencia de calor para coordenadas cilíndricas, se reduce: 𝜕2𝑇 =0 𝜕𝑥 2 La cual se puede expresar en una ecuación general ordinaria: 𝑑2𝑇 =0 𝑑𝑥 2 Modelo matemático general

−𝑘

𝑑𝑇 (𝐿 ) = ℎ[𝑇(𝐿 ) − 𝑇∞ ] + 𝜀𝜎[𝑇 (𝑇 )4 − 𝑇4𝐶𝑖𝑒] = ℎ [𝑇2 − 𝑇∞ ] + 𝜀𝜎[𝑇2 (460)4 − 𝑇4𝐶𝑖𝑒] 𝑑𝑥 𝑇 (𝐿 ) = 𝑇2 = 75℉

b) Resolviendo la ecuación diferencial: 𝑑2𝑇 =0 𝑑𝑥 2 Integrando una vez:

Volviendo a integrar:

𝑑𝑇 = 𝐶1 𝑑𝑥 𝑇 = 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2 Solución general

Condiciones frontera: 1. Cuando x = L, se tiene una condición frontera de convección: 4 ] −𝑘 · 𝐶1 = ℎ [𝑇2 − 𝑇∞ ] + 𝜀𝜎[(𝑇2 + 460)4 − 𝑇𝐶𝑖𝑒

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 Despejando C1, tenemos: 4 ℎ [𝑇2 − 𝑇∞ ] + 𝜀𝜎[(𝑇2 + 460)4 − 𝑇𝐶𝑖𝑒] 𝐶1 = 𝑘

2. Cuando x = L, se tiene una condición frontera de temperatura especifica: 𝑇 (𝐿 ) = 𝐶1 · 𝐿 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇 (𝐿 ) = 𝑇2

Despejamos C2 𝐶2 = 𝑇2 − 𝐶1 ∙ 𝐿

Sustituyenco 𝐶1 𝑦 𝐶2 en la solucion general:

𝑇(𝑥) = 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2 𝑇(𝑥) = 𝑇2 −

Simplificando

4 ] 4 ] ℎ[𝑇2 − 𝑇∞ ] + 𝜀𝜎[(𝑇2 + 460)4 − 𝑇𝐶𝑖𝑒 ℎ[𝑇2 − 𝑇∞ ] + 𝜀𝜎[(𝑇2 + 460)4 − 𝑇𝐶𝑖𝑒 ∙𝐿∙𝑥+ 𝑘 𝑘

𝑇(𝑥) = 𝑇2 + Sustituyendo:

ℎ[𝑇2 − 𝑇∞ ] + 𝜀𝜎[(𝑇2 + 460) 4 − 𝑇4𝐶𝑖𝑒] 𝑘

(𝐿 − 𝑥)

0.1714𝑥10 −8𝐵𝑡𝑢 2 4 12𝐵𝑡𝑢 ∙ 𝑓𝑡 ∙ 𝑅 ) [(75℉ + 460 )4 − (480 ∙ 𝑅)4 ] 4 ( ℎ ∙ 𝑓𝑡 2 ) [(75 − 90)℉] + 0.7 ( ℎ ( − 𝑥) 𝑇(𝑥) = 75℉ + 7.2𝐵𝑡𝑢 ∙ 𝑓𝑡 ∙ ℉ 12

1 𝑇(𝑥) = 75 − 26.3847 ∙ ( − 𝑥) 3 c) Determine el valor de la temperatura de la superficie inferior de la misma, en x = 0. 1 𝑇(0) = 75 − 26.3847 ∙ ( − 0) = 66.21℉ 3

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PRBLEMA 10. Cuando una sección larga de una línea de suministro de aire comprimido pasa a través del exterior, se observa que la humedad que existe en el aire comprimido se congela cuando el clima es frío, perturbando e incluso bloqueando por completo el flujo de aire en el tubo. Con el fin de evitar este problema, la superficie exterior del tubo se envuelve con calentadores eléctricos de cinta y, a continuación, se aísla. Considere un tubo de aire comprimido de longitud L = 6 m, radio interior r1 = 3.7 cm, radio exterior r2 = 4.0 cm y conductividad térmica k = 14 W/m·°C equipado con un calentador de cinta de 300 W. El aire está fluyendo por el tubo a una temperatura promedio de = 0°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es h = 30 W/m2·°C. Suponiendo que 15% del calor generado en el calentador de cinta se pierde a través del aislamiento, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través del tubo, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el material del tubo, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe las temperaturas de las superficies interior y exterior del propio tubo.

SOLUCIÓN: 

Se consideran coordenadas cilíndricas: 1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + 2 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) +∙ (𝑘 ∙ ) + ė𝑔𝑒𝑛 = 𝜌 ∙ 𝐶𝑝 ∙ 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝑧



La transferencia de calor es unidimensional en dirección r. 𝜕𝑇 =0 𝜕𝜙

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 𝜕𝑇 =0 𝜕𝑧



No hay generación de calor.

ė𝑔𝑒𝑛 = 0 

Se encuentra en estado estacionario 𝜕𝑇 =0 𝜕𝑡

La ecuación de transferencia de calor para coordenadas cilíndricas, se reduce a: 1 𝜕 𝜕𝑇 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) = 0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 La cual se puede expresar en una ecuación general ordinaria: 1 𝑑 𝑑𝑇 ∙ (𝑟 ∙ ) = 0 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 Modelo matemático general

Condición frontera 1. Cuando 𝑟 = 𝑟1 , se tiene una condición frontera de transferencia de calor por convección: −𝑘 ∙

𝑑𝑇 (𝑟1 ) = ℎ [𝑇(𝑟1 ) − 𝑇∞ ] 𝑑𝑟

2. Cuando 𝑟 = 𝑟2 , se tiene una condición frontera de flujo especifico de calor:

q󰇗 = −k ·

𝑑𝑇(𝑟2 ) 𝑑𝑟

Resolviendo la ecuación diferencial: 1 𝑑 𝑑𝑇 ∙ (𝑟 ∙ ) = 0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Separando variables:

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 𝑑 𝑑𝑇 ) = 0 (𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑇 𝑑 (𝑟 ∙ ) = 0 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Integrando una vez: ∫ 𝑑 (𝑟 ∙

𝑑𝑇 ) = ∫ 0 𝑑𝑟 𝑑𝑟

𝑟∙

𝑑𝑇 = 𝐶1 𝑑𝑟

Separando variables 𝑑𝑇 =

𝐶1 · 𝑑𝑟 𝑟

Integrando por segunda vez: ∫ 𝑑𝑇 = 𝐶1 ∫

𝑑𝑟 𝑟

𝑇 = 𝐶1 ∙ ln 𝑟 + 𝐶2 SOLUCIÓN GENERAL

La solución particular del problema se encuentra evaluando las constantes C1 y C2 a partir de las condiciones frontera establecidas: Cuando 𝑟 = 𝑟1,

−𝑘 ∙ −𝑘 ∙

𝐶1

𝑟1

𝑑𝑇 (𝑟1 ) = ℎ [𝑇(𝑟1 ) − 𝑇∞ ] 𝑑𝑟

= ℎ [𝐶1 ∙ ln 𝑟1 + 𝐶2 − 𝑇∞ ]

Cuando 𝑟 = 𝑟2 ,

q󰇗 = −k ·

𝑑𝑇(𝑟2 ) 𝑑𝑟

(Ec.1)

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 𝐶1 (Ec.2)

q󰇗 = −k · 𝑟2

De la ecuación 2: 𝐶1 =

−q󰇗 ∙ r2 𝑘

Sustituyendo en la ecuación 1, tenemos:

−

𝑘

𝑟1

−q󰇗∙r2

∙

−q󰇗∙r2

=ℎ [

𝑘

𝑘

∙ ln 𝑟1 + 𝐶2 − 𝑇∞ ]

Simplificando q󰇗 ∙ r2

−q󰇗∙r2

∙ ln 𝑟1 + 𝐶2 − 𝑇∞ ]

−q󰇗∙r2

∙ ln 𝑟1 + 𝐶2 − 𝑇∞

=ℎ [

𝑟1

𝑘

Despejando C2 q󰇗

h

∙

r2

=

𝑟1

𝐶2 =

𝑘

q󰇗 r2 q󰇗 ∙ r2 ∙ + ∙ ln 𝑟1 + 𝑇∞ h 𝑟1 𝑘

Sustituyendo 𝐶1 𝑦 𝐶2 en la solución general: 𝑇=

−q󰇗 ∙ r2 𝑘

𝑇 = 𝐶1 ∙ ln 𝑟 + 𝐶2

q󰇗 r2 q󰇗 ∙ r2 ∙ ln 𝑟1 + 𝑇∞ + ∙ ln 𝑟 + ∙ 𝑘 h 𝑟1

Factorizando y simplificando 𝑇=

q󰇗 ∙ r2 𝑘

𝑇=

q󰇗 r2 ∙ (ln 𝑟1 − ln 𝑟) + ∙ + 𝑇∞ h 𝑟1

q󰇗 ∙ r2 𝑘

∙ (ln

𝑟1 q󰇗 r2 )+ ∙ + 𝑇∞ 𝑟 h 𝑟1

SOLUCIÓN PARTICULAR DEL PROBLEMA

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PROBLEMA 11.

Considere un cilindro sólido largo de radio r 0 = 4 cm y conductividad térmica k = 25 W/m · °C. Se genera calor uniformemente en el cilindro a razón de 𝑒󰇗0 = 35 W/cm3. La superficie lateral del cilindro se mantiene a una temperatura constante de TS = 80°C. La variación de la temperatura en ese cilindro se expresa por

Con base en esta relación, determine a) si la conducción de calor es estacionaria o transitoria, b) si es unidimensional, bidimensional o tridimensional y c) el valor del flujo de calor en la superficie lateral del cilindro, en r = r0. SOLUCIÓN a) La transferencia de calor es estacionaria dado que no cambia con el tiempo. b) Si las temperaturas dentro y fuera de la pared permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared se puede considerar como unidimensional, y la temperatura presentará dependencia sólo en una dirección c) Para calcular el flujo de calor en la superficie del cilindro , en r = r0,

Para el flujo de calor 𝑞󰇗 = −𝑘 ∙

𝑑𝑇(𝑟𝑜 ) 𝑑𝑟

Sustituyendo la ecuación dada, tenemos: 𝑒𝑔𝑒𝑛 󰇗 ∙ 𝑟𝑜2 2∙𝑟 𝑞󰇗 = −𝑘 ∙ [ ∙ (− 2 )] 𝑘 𝑟𝑜

𝑒𝑔𝑒𝑛 ∙󰇗 𝑟𝑜2 2 ∙ 𝑟𝑜 𝑞󰇗 = −𝑘 ∙ [ ∙ (− 2 )] 𝑟𝑜 𝑘 Reduciendo términos y simplificando: 𝑞󰇗 = 𝑒𝑔𝑒𝑛󰇗 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑜 Sustituyendo valores conocidos 𝑞󰇗 = (35 W/𝑐𝑚3 )(2)( 4𝑐𝑚) = 280W/𝑐𝑚2

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS e INGENIERÍA FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2 PROBLEMA 12. Se usa un alambre calentador de resistencia de 2 kW, con conductividad térmica de k = 20 W/m · °C, un diámetro de D = 5 mm y una longitud de L = 0.9 m, para hervir agua. Si la temperatura de la superficie exterior del alambre de resistencia es T S = 110°C, determine la temperatura en el centro del mismo.

SOLUCIÓN: 

Se consideran coordenadas cilíndricas: 1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) + 2 ∙ (𝑟 ∙ 𝑘 ∙ ) +∙ (𝑘 ∙ ) + ė𝑔𝑒𝑛 = 𝜌 ∙ 𝐶𝑝 ∙ 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝑧



La transferencia de calor es unidimensional en dirección r. 𝜕𝑇 =0...