Transparencies PDF

Preview

Summary

Download Transparencies PDF

Description

ETSEIAT

Rafel Amer

Francesc Carreras

Miquel Noguera

` ALGEBRA LINEAL

Vicenc¸ Sales

agina 1 de 150 P`

Rafel Amer Francesc Carreras Miquel Noguera Vicenc¸ Sales

ETSEIAT

Rafel Amer

Francesc Carreras

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

agina 2 de 150 P`

 c 2010 Rafel Amer, Francesc Carreras, Miquel Noguera i Vicenc ¸ Sales

Aquesta obra es distribueix sota la llic `encia creative-commons amb les condicions Reconeixement-No comercialCompartir de la versi ´o 2.5 d’aquesta llic `encia. Resumint: Sou lliure de: copiar, distribuir i comunicar p´ublicament l’obra, fer-ne obres derivades, amb les condicions seg¨ uents: els cr `edits de l’obra de la manera especificada per l’autor o el llicenciaReconeixement. Heu de reconeixer ` dor (per `o no d’una manera que suggereixi que us donen suport o rebeu suport per l’ ´us que feu de l’obra). No comercial. No podeu utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials. Compartir amb la mateixa llic e ` ncia. Si altereu o transformeu aquesta obra, o en genereu obres derivades, nomes ´ podeu distribuir l’obra generada amb una llic`encia id `entica a aquesta. • Quan reutilitzeu o distribu¨ıu l’obra, heu de deixar ben clar els termes de la llic ` encia de l’obra. • Alguna d’aquestes condicions pot no aplicar-se si obteniu el perm´ ıs del titular dels drets d’autor. • No hi ha res en aquesta llic `encia que menyscabi o restringeixi els drets morals de l’autor. Podeu trobar el text complet de la llic`encia a l’adrec ¸a http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/legalcode.ca Escola Superior d’Enginyeries Industrial, Aeroespacial i Audiovisual de Terrassa Colom 11 08222 Terrassa

ETSEIAT

Introducci o ´

Rafel Amer

Francesc Carreras

Miquel Noguera

` Aquestes transpar`encies d’Algebra Lineal son ´ el resultat de les classes impartides per la a l’Escola Superior d’Enginyeries Seccio´ de Terrassa del Departament de Matematiques ` Industrial, Aeroespacial i Audiovisual de Terrassa des de la posada en marxa del nou pla d’estudis.

Vicenc¸ Sales

agina 3 de 150 P`

Juntament amb els diferents conceptes desenvolupats, s’han inclos ` nombrosos exemples per tal d’aconseguir una major comprensio´ dels conceptes teorics ` desenvolupats. No cal oblidar, pero, ` que per assolir aquesta comprensio´ es ´ imprescindible l’esforc¸ i el treball personal, tant pel que fa a l’estudi dels conceptes com a la resolucio´ d’exercicis relacionats amb ells. Esperem que sigui d’utilitat als estudiants i els aconsellem que intentin assimid’exercicis lar les diferents nocions combinant el seu estudi amb la resolucio´ simultania ` corresponents a cadascun d’ells. ` Lineal i s’ha dedicat Els temes que es tracten son ´ habituals en qualsevol curs d’Algebra especial atencio´ als seus aspectes geometrics. ` Aix´ı, els dos ultims ´ cap´ıtols estan dedicats a la Geometria lineal i a l’estudi de les coniques ` i les quadriques. ` encies estiguin pensades per a estudiants de Encara que, inicialment, aquestes transpar` Graus d’Enginyeria, tamb´ e poden ser utils ´ als estudiants de Matematiques, ` F´ısica i, en ` eria d’Algebra Lineal. general, a tots aquells que hagin de cursar la mat`

R AFEL A MER , FRA NCESC C ARRERAS , M IQ UEL N OGUERA I V ICENC¸ S ALES

ETSEIAT

Rafel Amer

Francesc Carreras

Miquel Noguera

Bibliografia relacionada

Vicenc¸ Sales

agina 4 de 150 P`

encies podeu consultar la colPer a la resolucio´ d’exercicis basats en aquestes transpar` leccio´ d’exercicis resolts seguent: ¨ Amer, R.; Carreras, F.; Noguera, M.; Sales, V. ` ALGEBRA LINEAL. Exercicis resolts. http://atenea.upc.edu/moodle/login/index.php Per a la resolucio´ personal d’exercicis com els anteriors podeu consultar la col.leccio´ d’exercicis seguent: ¨ Amer, R.; Carreras, F.; Noguera, M.; Sales, V. ` ALGEBRA LINEAL. Exercicis. http://atenea.upc.edu/moodle/login/index.php

ETSEIAT

´Index Rafel Amer

1 MATRIUS

7

Francesc Carreras

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

agina 5 de 150 P`

1.1 Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 El metode `

13

de Gauss–Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 El metode `

19

2 DETERMINANTS

25

2.1 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2 Els metodes ` dels menors i de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

de l’adjunta 2.3 El metode `

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 L’ESPAI VECTORIAL

43

3.1 L’espai vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2 Subespais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3 Components i canvis de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4 L’ESPAI VECTORIAL EUCLIDIA`

61

4.1 L’espai vectorial euclidia` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

ınims quadrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ortogonalitat i m´

67

4.3 Matriu de Gram i canvis ortogonals de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

ETSEIAT

Rafel Amer

5 ENDOMORFISMES

79

Francesc Carreras

5.1 Endomorfismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Miquel Noguera

5.2 Matriu associada i canvis de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Vicenc¸ Sales

5.3 Diagonalitzacio´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

agina 6 de 150 P`

6 ENDOMORFISMES DE L’ESPAI VECTORIAL EUCLIDIA` 6.1 Endomorfismes simetrics ` i diagonalitzacio´ ortogonal . . . . . . . . . . . . . . .

97 97

6.2 Endomorfismes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3 Isometries lineals

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7 L’ESPAI AFI´ I L’ESPAI AFI´ EUCLIDIA`

115

7.1 L’espai af´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2 L’espai af´ı euclidia` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.3 Coordenades i canvis de refer` encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ` ` I QUADRIQUES 8 CONIQUES

133

notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.1 Llocs geometrics ` 8.2 C o ` niques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.3 Quadriques `

1 MATRIUS Matrius ETSEIAT

Rafel Amer

Francesc Carreras

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

Una matriu de m files i n columnes o del tipus m × n es ´ una fam´ılia de coeficients:  n 1 . . . a a 1 1   .. ...  .  . n A = a1 . . . am m

´ la matriu A + B del tipus Definicio´ 1.1 La suma de dues matrius A i B del tipus m × n es m × n que, per a cada i = 1, . . . , m i cada j = 1, . . . , n, t´ e coeficient j aij + b i . La matriu formada nomes ´ per zeros es diu nul.la i s’escriu 0. I la matriu −A obtinguda canviant el signe de tots els elements d’A es diu oposada d’A.

agina 7 de 150 P`

Teorema 1.2 (a) A + (B + C) = (A + B) + C . (b) A + 0 = A. (c) A + (−A) = 0. (d) A + B = B + A. Aquestes propietats reben els noms respectius d’associativa, element neutre, element oposat i commutativa. I per l’associativitat escriurem A + B + C. o 1.3 (a) −(−A) = A. Proposici´ (b) −(A + B) = (−A) + (−B). Per la segona propietat escriurem −A − B. I escriurem tamb´ e A − B en lloc de A + (−B). ´ Teorema 1.4 La solucio´ de l’equacio´ matricial A + X = B o X + A = B es X = B −A. s’obt´e Exemple 1.5 Donades les matrius respectives A i B seguents, ¨       −2 4 4 1 4 6 3 0 2 4 =  5 1 4. A + B =  1 3 0  +  4 −2 5 6 2 1 2 4 4 4 −2

ETSEIAT

Rafel Amer

Definicio´ 1.6 El producte per escalars del nombre real α i la matriu A del tipus m × n ´es la matriu αA del tipus m × n que, per a cada i = 1, . . . , m i cada j = 1, . . . , n, et´coeficient αaij . Les propietats del producte per escalars seguents, ¨ com abans les de la suma, son ´ semblants a les que estem acostumats.

Francesc Carreras

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

agina 8 de 150 P`

Teorema 1.7 (a) α(A + B) = αA + αB . (b) (α + β )A = αA + βA. (c) (αβ)A = α(βA). (d) 1A = A. Aquestes propietats reben els noms respectius de distributiva respecte la suma de matrius, distributiva respecte la suma d’escalars, compatible amb el producte per escalars i producte per la unitat. I per la compatibilitat escriurem αβA. ´ si, α = 0 o A = 0. o 1.8 (a) αA = 0 si, i nomes Proposici´ (b) (−α)A = α(−A) = −(αA). Per aquesta darrera propietat escriurem −αA. Teorema 1.9 (a) Si α = 0 i A 6= 0 llavors l’equacio´ matricial αX = A no t´ e solucio. ´ (b) Si α = 0 i A = 0 llavors qualsevol matriu X es ´ solucio´ de l’equacio´ matricial αX = A. (c) Si α 6= 0 llavors la solucio´ de l’equacio´ matricial αX = A es ´ 1 X = A. α Exemple 1.10 Amb les matrius A i B de l’exemple anterior, tenim que         −6 0 −4 −2 4 4 −1 2 2 3 0 2 1 1 1        0 4 −2 4 = 2 −1 2 . B= −2A = 1 3 0 = −2 −6 i 6 6 3 −2 −4 −8 1 2 4 4 4 −2 2 2 −1

on els coeficients Les matrius del tipus n × n es diuen quadrades d’ordre n. I la diagonal s´ amb igual sub´ındex que super´ındex. ETSEIAT

Rafel Amer

Francesc Carreras

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

agina 9 de 150 P`

´ la Definicio´ 1.11 El producte de les matrius A del tipus m × n i B del tipus n × p es matriu AB del tipus m × p que, per a cada i = 1, . . . , m i cada j = 1, . . . , p, et´coeficient a1i b1j + . . . + ain bnj . La matriu quadrada formada per uns a la diagonal i zeros a la resta es diu identitat d’ordre n i s’escriu I. I la seva oposada es diu menys identitat d’ordre n i s’escriu −I . Teorema 1.12 (a) A(BC ) = (AB )C . (b) IA = A = AI. (c) A(B + C) = AB + AC i (B + C )A = BA + CA. (d) (αA)B = α(AB) = A(αB). Aquestes propietats reben els noms respectius d’associativa, element neutre, distributiva respecte la suma de matrius i compatible amb el producte per escalars. A mes, ´ per l’associativitat i la compatibilitat escriurem ABC i αAB, respectivament. I per l’associativitat, si A es ´ quadrada tenim les seves pot` encies .. ·A. Ak = A · .(k) o 1.13 (a) A · 0 = 0 = 0 · A. Proposici´ (b) (−A)B = −(AB) = A(−B). Per aquesta darrera propietat escriurem −AB . Observacio´ 1.14 El producte de matrius no es ´ pot passar que ´ commutatiu. A mes, AB = 0 amb A 6= 0 i B 6= 0, que AB = AC amb A 6= 0 i B 6= C i que AB 6= I per a cada B amb A 6= 0. Per aixo` es parla dels quatre ”defectes” del producte de matrius. Exemple 1.15 Donades les matrius A i B dels exemples anteriors, obtenim      −2 4 4 2 20 8 3 0 2       4 −2 4 = 10 −2 16 . 1 3 0 AB = 22 16 4 1 2 4 4 4 −2

ETSEIAT

Rafel Amer

´ la matriu At del tipus Definicio´ 1.16 La transposada d’una matriu A del tipus m × n es e coeficient n × m que, per a cada i = 1, . . . , n i cada j = 1, . . . , m, t´ aij . Observem que el coeficient que ocupa la fila i i columna j de la matriu Ates´ el mateix que el que ocupa la fila j i columna i de la matriu A.

Francesc Carreras

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

agina 10 de 150 P`

Teorema 1.17 (a) (A + B)t = At + B t . (b) (αA)t = αAt . (c) (AB )t = B t At . (d) (At )t = A. ´ fals en general, per tant, que (AB)t = At B t . Es

o 1.18 (a) (−A)t = −(At ). Proposici´ (b) (Ak )t = (At )k . Per la primera propietat escriurem −At . Teorema 1.19 La solucio´ de l’equacio´ matricial X t = A es ´ X = At . Exemple 1.20 Amb les matrius A i B dels exemples anteriors, es t´ e que t    t    −2 4 4 −2 4 4 3 1 1 3 0 2 t t         4 −2 4 4 −2 4 . = A = 1 3 0 = 0 3 2 i B = 4 4 −2 2 0 4 4 4 −2 1 2 4

ETSEIAT

Rafel Amer

´ sim` Definicio´ 1.21 Una matriu quadrada A es etrica si, i nomes ´ si, aij = aji per a qualssevol i, j = 1, . . . , n. Evidentment, les matrius nul.la (0), identitat (I) i menys identitat (−I) s´ on simetriques. `

Francesc Carreras

Miquel Noguera

` si, i nomes ´ si, Teorema 1.22 A e´ s simetrica At = A .

Vicenc¸ Sales

agina 11 de 150 P`

` Les matrius At A i AAt s´on sempre simetriques.

` ` Teorema 1.23 (a) Si A i B s´on simetriques llavors A + B es ´ simetrica. (b) Si A es ´ simetrica llavors αA es ´ simetrica. ` ` ` ` llavors At es ´ simetrica. (c) Si A es ´ simetrica En general, pero, ` el producte de matrius simetriques ` no e´ s una matriu simetrica. `

aleshores −A es ´ sim e ´ simetrica o 1.24 (a) Si A es Proposici´ ` ` trica. ` ` aleshores Ak es ´ simetrica. (b) Si A es ´ simetrica Exemple 1.25 Les matrius dels exemples anteriors     −2 4 4 3 0 2 i B =  4 −2 4 A =1 3 0 4 4 −2 1 2 4 respectivament. s´on no simetrica ` i simetrica, `

Definicio´ 1.26 Una matriu A del tipus m × n es ´ si, ´ ortogonal si, i nomes At A = I . ETSEIAT

Evidentment, les matrius identitat (I) i menys identitat (−I) s´ on ortogonals. Rafel Amer

Francesc Carreras

o 1.27 Si A e´ s ortogonal llavors m ≥ n. Proposici´

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

Per tant, nomes ´ poden ser ortogonals les matrius amb igual o mes ´ files que columnes.

agina 12 de 150 P`

Teorema 1.28 (a) Si A i B s´on ortogonals llavors AB es ´ ortogonal. ´ ortogonal quadrada. (b) Si A es ´ ortogonal quadrada llavors At es

La suma i el producte per escalars de matrius ortogonals no es ´ ortogonal, en general.

´ ortogonal. o 1.29 (a) Si A es ´ ortogonal aleshores −A es Proposici´ ´ ortogonal. (b) Si A es ´ ortogonal aleshores Ak es

Exemple 1.30 La matriu obtinguda en un exemple anterior   −1 2 2 1 2 −1 2 3 2 2 −1 ´es ortogonal perqu`e        t   −1 2 2 −1 2 2 −1 2 2 −1 2 2 1 1 1      1  2 −1  2 −1 2 2 −1 2 =I. 2 2 −1 2 = 3 3 3 3 2 2 −1 2 2 −1 2 2 −1 2 2 −1

El m`etode de Gauss ındex; i les columnes, els d’igual Les files d’una matriu son ´ els coeficients amb mateix sub´ super´ındex. Notarem per Ai i Aj la fila i i la columna j de la matriu A, respectivament. ETSEIAT

Rafel Amer

Francesc Carreras

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

agina 13 de 150 P`

¨ Definicio´ 1.31 Anomenem transformacions elementals per files a les seguents: • intercanviar files; d’una fila a una altra; • sumar o restar un multiple ´ • multiplicar o dividir una fila per un nombre no nul. Aplicant transformacions elementals per files successivament s’obt´ e una expressio´ α1 A i 1 + . . . + αk A i k , que s’anomena combinacio´ lineal de les files Ai1 , . . . , Aik amb escalars α1 , . . . , αk ∈ R. Definicio´ 1.32 Es diu que una matriu esta` en forma triangular per files si, i nomes ´ si: (i) les files amb tots els coeficients iguals a zero s´ on les ultimes; ´ (ii) el primer coeficient no nul de cada fila esta` a la dreta del mateix de la fila anterior; (iii) els coeficients per sota de cada coeficient no nul anterior s´ on zero tots. Els coeficients no nuls anteriors s’anomenen pivots. Observacio´ 1.33 Permutant files amb files posteriors en cada columna si cal, s’obtenen e la forma triangular. pivots no nuls; i posant zeros despr´ es per sota dels pivots s’obt´ Aquest proc´es s’anomena m` etode de Gauss. Observacio´ 1.34 Igual es defineix transformacions elementals, combinacions lineals ` i forma triangular per columnes. I les propietats anteriors son ´ igualment valides. Exemple  1 1 1 2  0 1 2 0

1.35 Apliquem el metode ` de Gauss a la matriu A seguent: ¨       3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1       0 1 1 1 0 1 1 1 4 2 0    ≃ ≃ ≃ 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 F3 ∼F3 −F2 0 0 0 1 F3 ∼F4 4 1 F2 ∼F2 −F1 F4 ∼2F1 −F4

F4 ∼2F2 −F4

F4 ∼F3

1 1 0 0

3 1 0 0

 1 1 . 1 0

ETSEIAT

´ combinaci o ´ lineal d’unes altres Definicio´ 1.36 Es diu que una fila Ai d’una matriu A es files Ai1 , . . . , Aik si, i nomes ´ si, existeixen escalars α1 , . . . , αk tals que Ai es ´ la combinacio´ lineal de les files Ai1 , . . . , Aik amb els escalars α1 , . . . , αk . l’una de l’altra. ´ si, s o ´ n multiples ´ Una fila e´ s combinacio´ lineal d’una altra si, i nomes

Rafel Amer

Francesc Carreras

on linealment independents si, i nom e´ s Definicio´ 1.37 Es diu que les files Ai1 , . . . , Aik s´ si, combinacions lineals seves amb escalars diferents donen files diferents.

Miquel Noguera

Vicenc¸ Sales

agina 14 de 150 P`

Les files no linealment independents es diuen linealment dependents. Teorema 1.38 So´ n equivalents: (i) les files Ai1 , . . . , Aik s´ on linealment independents; e tots els escalars nuls; (ii) l’unica ´ combinacio´ lineal seva que dona ´ la fila nul .la es ´ la que t´ (iii) cap d’elles es ´ nul .la ni combinacio´ lineal de les altres. Una fila es ´ linealment independent si, i nomes ´ si, e´ s no nul.la. I dues files s´on linealment l’una de l’altra. ´ m ultiples ´ independents si, i nomes ´ si, no son Observacio´ 1.39 Igual es defineix combinaci´ o lineal de columnes i columnes lineal` ment dependents i independents. I les propietats anteriors s o ´ n igualment valides. Exemple 1.40 A partir de la matriu triangulada obtinguda abans per a la matriu A   1 1 3 1 0 1 1 1   0 0 0 1 , 0 0 0 0 es dedueix que la tercera fila es ´ combinacio´ lineal de les dues primeres –ja que la tercera i quarta files s’havien permutat– per ser completament nul.lla la tercera fila. I, en canvi, la on linealment independents. primera, segona i quarta files s´

de files i columnes linealment independents es ´ igual. Teorema 1.41 El nombre maxim ` ETSEIAT

Aquest nombre maxim ` s’anomena, de vegades, rang per files i rang per columnes, respectivament. Pero, ` com que coincideixen, podem considerar nomes ´ la definicio´ seguent. ¨

Rafel Amer

anterior se l’anomena rang de la matriu A. Definicio´ 1.42 Al nombre maxim ` Francesc Carreras

Miquel Noguera

Escriurem rg A en tal cas. I tenim que l’unica ´ matriu amb rang 0 es ´ la matriu nul.la i que on proporcionals. el rang d’una matriu es ´ 1 quan tant les files com les columnes s´

Vicenc¸ Sales

agina 15 de 150 P`

o 1.43 El rang es ´ invariant per transformacions elementals. Proposici´ Per tant, en aplicar el metode ` de Gauss, el rang d’una matriu no varia. I, en consequ` ¨encia, ´es el nombre de files no completament nul.les o tamb´ e el nombre de pivots obtinguts. Teorema 1.44 (a) rg (αA) = rg A, per a cada α 6= 0. (b) rg At = rg A. El rang de la suma de matrius no es ´ la suma dels ...