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Exercícios de treliças, método dos nós e das seções...

Description

TRELIÇAS São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós. Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós. Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções. Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós. Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo. Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais esforços serão denominados de N.

1º Condição de Treliça Isostática: 2.n=b+ѵ

Sendo

 n = nº de nós  b = quantidade de barras  ѵ = nº de reações (Verticais e Horizontais)

2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal): ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor) Por convenção usaremos:

no sentido horário

no sentido anti-horário

-

+ 3º Métodos dos Nós

Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais. Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações. Calma, nos exercicios verá que é fácil. Por Convenção os sinais das forças das barras são:

+

TRAÇÃO

-

COMPRESSÃO

Treliça Esquemática

Exercícios

1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.6 = 9+3 OK

12 = 12

2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣM = 0 (Momento fletor)

HE = 0

VA+VE = 50+100+50

VA.4-50.4-100.2 = 0

VA+VE = 200 KN

VA = 400÷4

100+VE = 200 KN

VA = 100 KN

VE = 200-100 VE = 100 KN

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “A”

Forças Verticais (V) NAB

NAB

NAF

NAF VA

Forças Verticais (H)

VA ΣFV = 0

ΣFH = 0

VA+NAB = 0

NAF = 0

100+NAB = 0 NAB = -100 KN

Nó “B”

Forças Verticais (V)

50

Forças Verticais (H)

50 NBC NBC NBF

NBF

NBA

NBA

NBF ΣFV = 0

ΣFH = 0

-50-NBA-NBF.cos45° = 0

NBC+NBF.sen45° = 0

-50-(-100)-NBF.cos45° = 0

NBC+70,7.sen45° = 0

-NBF = -50÷cos45°

NBC = - 50 KN

NBF = 70,7 KN

Nó “C”

Forças Verticais (V)

100 NCB

Forças Verticais (H)

100 NCB

NCD

NCD

NCF

NCF

ΣFV = 0

ΣFH = 0

-100-NCF = 0

-NCB+NCD = 0

NCF = -100 KN

-(-50)+NCD = 0 NCD = - 50 KN

Nó “F” NFB

NFC

Forças Verticais (H)

NFB NFC NFD

NFD NFA

Forças Verticais (V)

NFB NFA

NFE ΣFV = 0

NFD NFE ΣFH = 0

NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0

-NFB.cos45°+NFD.cos45°-NFA+NFE = 0

-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0

-70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE = 0

NFD = 50÷sen45° NFD = 70,7 KN

NFE = 0 KN

Nó “E”

Forças Verticais (V) NED

NED NEF

Forças Verticais (H)

NEF

HE VE

HE

VE ΣFV = 0

ΣFH = 0

NED+100 = 0

0-HE = 0

NED = -100 KN

Nó “D”

Forças Verticais (V) 50

50 NDC NDF

HE = 0 KN

NDE

NDF NDE

ΣFV = 0 -50-NDF.sen45°-NDE = 0 -50-70,7.sen45°+100 = 0 -50-50+100 = 0 0=0

BARRA NAB NED NAF NEF NBC NDC NBF NDF NCF

FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) -100 -100 0 0 -50 -50 70,7 70,7 -100

Forças Verticais (H)

NDC NDF ΣFH = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0 50-50 = 0 0=0

ESFORÇO COMPRESSÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO TRAÇÃO TRAÇÃO COMPRESSÃO

2º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.5 = 7+3 10 = 10

OK

2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣM = 0 (Momento fletor)

VB = 20 KN

HA+HB = 40

-HA.2+20.4+40.1 = 0

60+HB = 40

-HA.2+120 = 0

HB = 40-60

HA = 120÷2

HB = -20 KN

HA = 60 KN

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “B” VB

Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

VB

HB

HB

NBC

NBC NBA

NBA NBC ΣFV = 0 VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 NBA = 10 KN

ΣFH = 0 -HB+NBC.cos26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 0 NBC = 20÷cos26,57° NBC = 22,36 KN

Nó “A”

Forças Verticais (V)

NAB

Forças Verticais (H)

NAB NAC NAC

HA

ΣFV = 0

ΣFH = 0

NAB+NAC.sen26,57° = 0 10+NAC.sen26,57° = 0

HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0 60+(-22,36).cos26,57°+NAE = 0

NAC = -10÷sen26,57°

NAE+60-20 = 0

NAC = -22,36 KN

NAE = -40 KN

Nó “E”

Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

NEC

NEC NEA

NAC NAE

HA

NAE

NED

NEA

NED

ΣFV = 0

ΣFH = 0

NEC = 0

-NEA+NED = 0 -(-40)+NED = 0 NED = -40 KN

Nó “C”

Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

NCB

NCB

NCB 40 NCA

NCE

40 NCD

NCA

NCD NCA NCE NCD ΣFV = 0

ΣFH = 0

NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0

-40-NCB.cos26,57°-NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0

22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0

-40-22,36.cos26,57°-(-22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0

10+10-NCD.sen26,57°=0

-40-20+20+40 = 0

NCD = 20÷sen26,57°

0=0

NCD = 44,7 KN

Nó “D” NDC

Forças Verticais (V)

20

Forças Verticais (H)

NDC 20 NDC

NDE

NDE ΣFV = 0 -20+NDC.sen26,57° = 0 -20+44,7.sen26,57° = 0 -20+20 = 0 0=0

ΣFH = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) = 0 -40+40 = 0 0=0

BARRA

FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN)

ESFORÇO

NAB NBC NAC NAE NEC NED NCD

10 22,36 -22,36 -40 0 -40 44,7

TRAÇÃO TRAÇÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO TRAÇÃO

3º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.8 = 13+3 16 = 16

OK

2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣM = 0 (Momento fletor)

HA = 0

VA+VB = 2+2+2

-VB.16+2.12+2.8+2.4=0

VA = 6-3

VB = 48÷16

VA = 3 t

VB = 3 t

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “1”

HA

N12 VA

Forças Verticais (H)

N13

N13 HA

Forças Verticais (V)

N13 N12

VA ΣFV = 0

ΣFH = 0

N13.sen36,87°+VA = 0

HA+N13.cos36,87°+N12 = 0

N13.sen36,87°+3 = 0

0+(-5).cos36,87°+N12 = 0

N13 = -3÷sen36,87° N13 = -5 t

N12 = 4 t

Nó “2”

Forças Verticais (V) N23

N23 N21

Forças Verticais (H)

N21

N24

N24

ΣFV = 0

ΣFH = 0

N23 = 0

-N21+N24 = 0 -4+N24 = 0 N24 = 4 t

Nó “3”

Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

2 N35

2 N35

N35

N31 N31

N34

N34 N32

N31

N32

N34

ΣFV = 0

ΣFH = 0

-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0

+N34.cos36,87°-N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0

-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0

+N34.cos36,87°-(-5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0

-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0

+N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 = 0

(-N34+N35).sen36,87° = -1

(+N34+N35).cos36,87° = -4

N34-N35 = 1÷sen36,87°

N34+N35 = -4÷cos36,87°

N34-N35 = 1,67

Sistema de Equações “1” N34-N35 = 1,67 “2”

N34+N35 = -5

”1”

N34+N35 = -5

Substituindo na equação “1” ou “2” N34+N35 = -5

+

-1,67+N35 = -5

2N34 = -3,33

N35 = -5+1,67

N34 = -3,33÷2

N35 = -3,33 t

N34 = -1,67 t

”2”

Nó “5”

Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

2

2

N57

N53 N53

N57 N54

N53

N54

N57

ΣFV = 0

ΣFH = 0

-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0

-N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0

-2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0

-(-3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0

-2+2+2-N54 = 0

2,66+N57.cos36,87° = 0

N54 = 2 t

N57 = -2,66÷cos36,87° N57 = -3,33 t

Nó “4” N43 N42

Forças Verticais (V)

N45

N43

Forças Verticais (H)

N45 N47

N47

N43 N42

N46 ΣFV = 0

N47 N46 ΣFH = 0

N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0

-N42+N46-N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0

+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0

-(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(-1,67).cos36,87° = 0

-1+2+N47.sen36,87° = 0 N47 = -1÷sen36,87° N47 = 1,67 t

N46-4+1,34-1,34 = 0 N46 = 4 t

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme tabela.

BARRA

FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t)

ESFORÇO

N13 = N87 N12 = N86 N24 = N64 N23 = N67 N34 = N74 N35 = N75 N54

-5 4 4 0 -1,67 -3,33 2

COMPRESSÃO TRAÇÃO TRAÇÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO TRAÇÃO

4º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.7 = 11+3 14 = 14

OK

2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0

ΣFy = 0

HA+HB =0

VB = 0

ΣM = 0 (Momento fletor) -HA.3+2.6+2.4+2.2=0

HA = -HB

HA = 24÷3

HB = -8 t

HA = 8 t

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “5”

Forças Verticais (V)

VB

Forças Verticais (H)

VB

HB

HB

N56

N56 N51

N51

N56

ΣFV = 0

ΣFH = 0

VB-N51-N56.sen26,57° = 0

-HB+N56.cos26,57° = 0

6-N51-8,94.sen26,57° = 0

-8+N56.cos26,57° = 0

-N51+6-4 = 0

N56 = 8÷cos26,57°

N51 = 2 t

N56 = 8,94 t

Nó “1”

Forças Verticais (V)

N15

N15

Forças Verticais (H)

N16

N16 HA

N16 HA

N12

N12

ΣFV = 0

ΣFH = 0

N15+N16.sen45° = 0

HA+N12+N16.cos45° = 0

2+N16.sen45° = 0

Nó “6” N65

8+N12+(-2,83).cos45° = 0

N16 = -2÷sen45°

N12+8-2 = 0

N16 = -2,83 t

N12 = - 6 t

Forças Verticais (V)

2

N65

Forças Verticais (H)

2 N65 N67

N61

N61

N67 N62

N61

N62

N67

ΣFV = 0

ΣFH = 0

-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -2+4+2-3-N62 = 0

-N65.cos26,57°-N61.cos45°+N67.cos26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(-2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0 -8+2+N67.cos26,57° = 0

N62 = 1 t

N67 = 6÷cos26,57° N67 = 6,7 t

Nó “2” N26

Forças Verticais (V) N26

Forças Verticais (H)

N27

N27

N27 N21

N21

N23

ΣFV = 0

N23

ΣFH = 0

N26+N27.sen26,57° = 0

-N21+N23+N27.cos26,57° = 0

1+N27.sen26,57° = 0

-(-6)+N23+(-2,23).cos26,57° = 0

N27 = -1÷sen26,57°

N23+6-2 = 0

N27 = -2,23 t

N23 = -4 t

Nó “3”

Forças Verticais (V)

N37 N32

Forças Verticais (H)

N37 N34

N32

N34

ΣFV = 0

ΣFH = 0

N37 = 0

-N32+N34 = 0 -(-4)+N34 = 0 N34 = -4 t

Nó “7” N76

Forças Verticais (V)

2

Forças Verticais (H)

2

N76

N76 N74

N72

N72

N74 N73

N72

N73

N74

ΣFV = 0

ΣFH = 0

-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0

-N76.cos26,57°-N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0

-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0

-6,7.cos26,57°-(-2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0

-2+3+1-N74.sen26,57° = 0

-6+2+4 = 0

N74 = 2÷sen26,57°

0=0

N74 = 4,47 t

Nó “4” N47

2

Forças Verticais (V) N47

Forças Verticais (H)

2 N47

N43 N43 ΣFV = 0

ΣFH = 0

-2+N47.sen26,57° = 0

-N43-N47.cos26,57° = 0

-2+4,47.sen26,57° = 0

-(-4)-4,47.cos26,57° = 0

-2+2 = 0

+4-4 = 0

0=0

0=0

BARRA

FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t)

ESFORÇO

N51 N56 N16 N12 N62 N67 N27 N23 N37 N34 N74

2 8,94 -2,83 -6 1 6,7 -2,23 -4 0 -4 4,47

TRAÇÃO TRAÇÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO TRAÇÃO TRAÇÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO TRAÇÃO

5º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.5 = 7+3 10 = 10

OK

2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣM = 0 (Momento fletor)

HA = 0

VA+VB = 10+20

-VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0

VA+17,5 = 30

VB = 42÷2,4

VA = 30-17,5

VB = 17,5 KN

VA = 12,5 KN

3º Passo Método dos Nós Nó “A”

Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

NAC NAC

NAC HA

HA

NAE VA

NAE

VA ΣFV = 0

ΣFH = 0

VA+NAC.sen53,13° = 0

HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0

12,5+NAC.sen53,13° = 0

0+NAE+(-15,63).cos53,13° = 0

NAC = -12,5÷sen53,13°

NAE = 9,38 KN

NAC = -15,63 KN

Nó “C” 10

Forças Verticais (V) 10

Forças Verticais (H)

NCA

NCD

NCA

NCD

NCE

NCE NCA

NCE

ΣFV = 0

ΣFH = 0

-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0

-NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0

-10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0

-(-15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0

-10+12,50-NCE.sen53,13° = 0

9,38+NCD+1,88 = 0 NCD = -11,26 KN

NCE = 2,5÷sen53,13° NCE = 3,13 KN

Nó “E” NEC

Forças Verticais (V) NEC

NED

NEA

Forças Verticais (H)

NED NEC NEA

NEB ΣFV = 0

ΣFH = 0

NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0

-NEA+NEB+NED.cos53,13°-NEC.cos53,13° = 0

3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0

-9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-(+3,13).cos53,13° = 0

NED = -2,5÷sen53,13°

NEB-9,38-1,88-1,88 = 0

NED = -3,13 KN

Nó “D”

NEB = 13,14 KN Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

20

20 NDC NDE

NED NEB

NDC NDE

NDB NDE

NDB

ΣFV = 0 -20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 NDB = -17,50÷sen53,13° NDB = -21,88 KN

NDB

ΣFH = 0 -NDE.cos53,13°-NDC+NDB.cos53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(-21,88).cos53,13°=0 1,88+12,26-13,13 = 0 0=0

Nó “B”

Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

NBD

NBD

NBD

NBE

NBE VB

VB ΣFV = 0

ΣFH = 0

VB+NBD.sen53,13° = 0

-NBD.cos53,13°-NBE = 0

17,5+(-21,88).sen53,13° = 0

-(-21,88).cos53,13°-13,14 = 0

0=0

0=0

BARRA

FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN)

ESFORÇO

NAC NAE NCE NCD NED NEB NDB

-15,63 9,38 3,13 -11,26 -3,13 13,14 -21,88

COMPRESSÃO TRAÇÃO TRAÇÃO COMPRESSÃO COMPRESSÃO TRAÇÃO COMPRESSÃO

6º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.5 = 7+3 10 = 10

OK

2º Passo Reações de Apoio ΣFx = 0 HA+HB = 0

ΣFy = 0

ΣM = 0 (Momento fletor)

VA = 225

-HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0

HB = -HA

HB = 360÷0,9

HA = - 400 KN

HB = 400 KN

3º Passo Método dos Nós Nó “B” NBA HB

Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

NBA HB

NBD ΣFV = 0 NBA = 0

NBD ΣFH = 0 HB+NBD = 0 400+NBD = 0 NBD = -400 KN

Nó “A”

Forças Verticais (V)

VA

Forças Verticais (H)

VA NAC

HA

HA

NAC NAD

NAB

NAB

NAD

NAD

ΣFV = 0

ΣFH = 0

VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0

-HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0

225-0-NAD.sen36,87° = 0