Tutorial Linear Programming dengan POM-QM for Windows PDF

Preview

Summary

LINEAR PROGRAMMING 1. Tinjauan Teori Linear programming atau pemrograman linear merupakan cara yang sering digunakan untuk menentukan tujuan-tujuan matematis berkaitan dengan maksimalisasi dan minimalisasi, dimana untuk mencapai tujuan ini selalu terdapat hambatan (contraints) berupa keterbatasan su...

Description

LINEAR PROGRAMMING 1. Tinjauan Teori Linear programming atau pemrograman linear merupakan cara yang sering digunakan untuk menentukan tujuan-tujuan matematis berkaitan dengan maksimalisasi dan minimalisasi, dimana untuk mencapai tujuan ini selalu terdapat hambatan (contraints) berupa keterbatasan sumberdaya. Tujuan maksimalisasi biasanya ditujukan untuk mencari profit maksimum yang bisa didapatkan dengan mengalokasikan sumberdaya pada penggunaan yang optimum. Sedangkan fungsi minimalisasi biasanya digunakan untuk meminimumkan biaya produksi yang ada. Sering terdapat bentrok antara kepentingan untuk meminimumkan biaya atau memaksimumkan profit pada realitanya, namun semua itu bergantung pada berbagai pertimbangan managerial lainnya. Sesuai dengan namanya, pemrograman ini hanya dapat dilakukan untuk persamaanpersamaan linear, selain itu pemrograman ini tidak dapat dilakukan. Syarat-syarat pemrograman linear dijabarkan sebagai berikut, 1. adanya variabel keputusan yang dinyatakan dalam simbol matematik dan

variabel

keputusan ini tidak negatif; 2. adanya fungsi tujuan dari variabel keputusan yang menggambarkan kriteria pilihan terbaik. Fungsi ini harus dibuat dalam suatu sel fungsi linier yang dapat berupa maksimum atau minimum; 3. adanya kendala sumber daya yang dibuat dalam satu set fungsi linier. Fungsi tujuan biasanya dilambangkan dengan huruf Z. Fungsi ini merupakan fungsi yang ingin dicapai, entah itu untuk dimaksimalkan ataupun diminimalkan tergantung dari tujuan kita. Fungsi tujuan dicirikan dengan perintah pada soal apakah itu untuk memaksimalkan laba/profit atau meminimalkan biaya dan sebagainya. Untuk membentuk fungsi tujuan ini, coba perhatikan pada kasus yang diamati lalu lihat perintah akhir pada kasus tersebut. Ketika perintah kasus itu memaksimalkan ataupun meminimalkan, lalu coba lihat lebih seksama lagi petunjuk apa yang berkaitan langsung dengan proses pemaksimalan atau peminimuman sesuai dengan perintah kasus. Dari variabel-variabel yang dikatakan secara eksplisit berkaitan langsung dengan perintah akhir pada kasus, kita sudah dapat membentuk fungsi tujuan kita. Sebagai contoh, jika ada perusahaan sandal yang memproduksi sandal merk Bubu dan Cherry kemudian dalam kasus itu kita diminta untuk memaksimalkan profit perusahaan, maka selanjutnya yang kita lakukan adalah melihat variabel-variabel apa yang berkaitan langsung dengan perintah soal, yaitu variabel-variabel yang Kritik dan saran bisa disampaikan ke [email protected]

dikatakan secara eksplisit berkontirbusi pada laba. Begitupun sebaliknya jika dalam kasus diperintahkan untuk meminimumkan biaya, maka cari variabel-variabel apa yang berhubungan langsung dengan biaya pada kasus tersebut. Perlu diingat semua fungsi yang ada, baik itu fungsi tujuan maupun fungsi kendala semuanya adalah persamaan linear. Untuk fungsi kendala, biasanya fungsi ini terdiri lebih dari satu persamaan, tergantung pada banyaknya variabel-variabel dalam kasus yang membatasi tujuan/perintah dalam kasus, entah itu membatasi mencapai profit ataupun membatasi dalam meminimalkan biaya (ditunjukkan dengan adanya petunjuk berupa batas maksimum penggunaan sumberdaya). Sebagai contoh, ketika perusahaan sandal Bubu dan Cherry ingin memaksimalkan profit, maka pasti akan disebutkan adanya variabel-variabel pembatas, entah dikatakan secara eksplisit ataupun implisit, seperti misalnya ada batasan penggunaan mesin-mesin, ataupun persediaan bahan baku, batasan jam kerja; semua itu merupakan variabel pembatas/penghambat untuk mencapai profit dan juga pembatas untuk meminimalkan biaya. Masalahnya sekarang, kita perlu untuk menyusun sistem persamaan dari fungsi-fungsi pembatas ini, dimana variabel penyusun masing-masing persamaan pembatas sama satu sama lain (artinya sama dalam hal satuannya juga makna deskriptifnya), yang membedakan adalah koefisien dan batas maksimumnya. Ciri paling mudah untuk membuat sistem persamaan dari fungsi kendala ini adalah dengan melihat petunjuk dalam kasus, mana yang memberikan informasi batas maksimum (Ex. Batas penggunaan mesin 1 adalah 8 jam, maka jam kerja mesin 1 merupakan persamaan kendala, dengan variabel-variabel penyusunnya adalah variabel yang terkait dengan lama penggunaan mesin 1; jika diketahui batas maksimum penggunaan mesin 2 adalah 5 jam, maka jam kerja mesin 2 adalah persamaan kendala dengan variabel-variabel penyusunnya berkaitan dengan lama penggunaan mesin 2; ini artinya satuan untuk persamaan kendala ini harus satuan jam). Hal yang perlu diperhatikan dalam penggunaan linear programming adalah pada penulisan matematis batasan kerja sumberdaya (misal mesin 1 yang batas maksimumnya bekerja adalah 8 jam), maka tanda yang digunakan dalam penyusunan persamaan kendala mesin 1 adalah “kurang dari sama dengan” (≤), ini menandakan bahwa penggunaan mesin satu hanya dapat digunakan pada jam kerja kurang dari atau sama dengan 8 jam, begitupun untuk mesin-mesin lainnya jika ada. Tanda penghubung untuk masing-masing variabel dalam fungsi kendala pada umumnya adalah tanda “tambah” (+), mengingat batasan kerja mesin misalnya merupakan batas maksimum dari akumulasi variabel-variabel yang menggunakan mesin tersebut.

Kritik dan saran bisa disampaikan ke [email protected]

2. Alur Kerja Linear Programming Berikut disajikan diagram alir pengerjaan Linear Programming,

Fungsi ini disusun oleh variabel2 yg berkaitan langsung dgn pembentukan tujuan yg diperintahkan dlm kasus. Ex: kontribusinya pada profit atau biaya. Fungsi tujuan ini diarahkan untuk maksimalisasi atau minimalisasi

Fungsi ini terdiri lbh dr 1 persamaan, yg membentuk sistem persamaan linear. Variabel-variabel penyusunnya sama untuk setiap persamaannya & dicirikan ada batasan nilai untuk akumulasi penggunaan variabel-variabel penyusunnya.

Contoh kasus: Perusahaan sandal membuat dua macam produk dengan merk Bubu dan Cherry. Sandal merk Bubu solnya terbuat dari karet dan sandal Cherry solnya terbuat dari kulit sehingga dibutuhkan 3 mesin untuk memproduksinya. 

Mesin 1 membuat sol karet



Mesin 2 membuat sol kulit



Mesin 3 membuat bagian atas sandal dan melakukan perakitan (assembly) bagian atas dengan sol Setiap 1 lusin sandal merk Bubu mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam kemudian

tanpa melalui mesin 2 dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedangkan sandal merk Cherry tidak diproses di mesin 1 tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimal setiap hari untuk mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sandal merk Bubu adalah Rp 30.000,- sedangkan merk Cherry adalah Rp 50.000,-. Tentukan berapa lusin sandal merk Bubu dan Kritik dan saran bisa disampaikan ke [email protected]

Cherry harus dibuat untuk memaksimalkan laba? Langkah Penyelesaian: 1. Terlebih dahulu kita menentukan variabel-variabel yang ada. Untuk membantu memahaminya, diberikan tanda warna yang bersesuaian dengan apa yang dijelaskan pada masing-masing poin. Ini semata-mata untuk memberikan dasar pemahaman untuk menemukan hubungan dari masing-masing pentunjuk yang diberikan, jika teman-teman merasa sudah paham, penjabaran berikut dapat diloncati ke tahap nomor 2, yaitu penentuan fungsi tujuan. Dari petunjuk yang ada diketahui, a. adanya elemen (bukan variabel) ”kuantitas” merakit sandal untuk merk Bubu dan Cherry pada masing-masing mesin yang ada, yaitu satuannya ”lusin”, sedangkan ada juga satuan ”kecepatan merakit” berupa ”jam/lusin” bagi setiap mesin untuk mengerjakan perakitan sandal. Yang dimaksud elemen di sini yaitu 2 jam/lusin untuk membuat sandal Bubu di mesin 1. Kita tandai dengan notasi matematis sebagai ”2B”, dengan ”B” menunjukan variabel kuantitas sandal Bubu dalam satuan lusin dan koefisien bernilai 2 ini menunjukkan jam/lusin—ini memberikan kemudahan kalkulasi bagi kita untuk mencapai satuan ”jam” ketika koefisien yang satuannya ”jam/lusin” dikalikan dengan variabelnya yang satuannya ”lusin”, sengaja kita arahkan agar satuan akhirnya adalah ”jam” karena kita diberi petunjuk bahwa fungsi penghambat ini berdasarkan ”jam kerja” maksimal dari tiap mesin (lihat penjabaran pada poin ke-b di bawah ini). Kemudian sandal Bubu dari mesin 1 diproses ke mesin 3 dengan kecepatan 6 jam/lusinnya, sehingga notasi matematisnya adalah ”6B”, dengan variabel ”B” adalah kuantitas sandal Bubu dalam lusin, sedangkan nilai koefisien 6 menunjukan satuan jam/lusin pula. Lanjutkan cara serupa untuk sandal merk Cherry yang dikerjakan pada mesin 2 dan mesin 3. b. ada variabel batas maksimum jam kerja untuk masing-masing mesin, satuannya jam. Maksimum jam kerja mesin 1 adalah 8 jam, dst. → ini adalah penanda banyaknya fungsi kendala yang ada, dalam hal ini akan dibuat 3 persamaan kendala karena ada 3 mesin yang jam kerjanya membatasi produksi sandal. c. Adanya variabel profit dengan satuan Rupiah per lusinnya untuk sandal Bubu dan Cherry. Kita notasikan sebagai 30.000B dan 50.000C; dengan ”B” menunjukan kuantitas sandal Bubu dalam satuan lusin, sedangkan ”C” menunjukan kuantitas sandal Cherry dalam satuan lusin pula. Masing-masing koefisien menunjukkan satuan Rupiah/lusin Kritik dan saran bisa disampaikan ke [email protected]

dengan analogi sama seperti pada poin ke-a di atas. 2. Langkah berikutnya adalah pembuatan fungsi tujuan f(Z), dimana petunjuk ini dapat ditemukan secara jelas pada perintah soal. Pada kasus ini, diminta untuk memaksimalkan profit dari produksi sandal merk Bubu maupun Cherry. Kita diminta untuk memberikan kombinasi berapa banyaknya perusahaan untuk memproduksi sandal Bubu dan Cherry sehingga laba perusahaan dapat maksimal. Karena maksimalisasi profit ini yang diminta, maka kita sisa mencari variabel-variabel apa saja yang mempengaruhi peningkatan profit ini. Pada soal di atas, blok warna hijau menunjukan sumbangan produksi setiap lusin sandal merk Bubu dan Cherry terhadap laba perusahaan, ini adalah elemen-elemen fungsi tujuan kita karena mempengaruhi laba secara langsung. Dapat kita susun persamaannya sebagai berikut: Z = 30.000B + 50.000C Z merupakan profit maksimal yang ingin dicapai (satuannya Rupiah); sedangkan B dan C adalah banyaknya sandal Bubu dan Cherry dengan satuan lusin; masing-masing koefisien satuannya Rupiah/lusin. 3. Untuk menentukan fungsi kendala kita cukup melihat pembatas penggunaan sumberdaya, dalam hal ini batasan jam kerja penggunaan mesin adalah pembatas produksi sandal. a. Terdapat 3 mesin yang membatasi, yaitu mesin 1, 2, dan 3. Masing-masing dibatasi oleh satuan kerja ”jam” yaitu 8; 15; dan 30 jam. Maka kita buatkan batas-atas (maksimum) kerja ketiga mesin itu sebagai berikut, …. ≤ 8 jam → mesin 1 …. ≤ 15 jam → mesin 2 …. ≤ 30 jam → mesin 3 tanda titik-titik di atas nantinya kita isikan dengan variabel-variabel penyusunnya! b. Karena kita mendapati fungsi kendalanya mengarah pada jam kerja penggunaan mesin, maka kita perlu menyusun elemen-elemen yang sudah kita temukan pada tahap 1a di atas sesuai dengan penggunaan jenis mesin. Sekarang kita lihat elemen apa saja yang menggunakan mesin 1, mesin 2, dan mesin 3. Pada kasus ini, kita dapatkan elemenelemen tersebut adalah sebagai berikut, 2B + 0C ≤ 8 jam → mesin 1 (artinya pada mesin 1 yang menggunakan hanya sandal Bubu, sedangkan sandal Cherry tidak menggunakan mesin 1, sehingga kita beri koefisien nol jam/lusin) 0B + 3C ≤ 15 jam → mesin 2 (penjelasan sama dengan sebelumnya) Kritik dan saran bisa disampaikan ke [email protected]

6B + 5C ≤ 30 jam → mesin 3 (artinya yang menggunakan mesin 3 adalah pada pembuatan sandal Bubu dan sandal Cherry) Jangan lupa diperhatikan bahwa satuan untuk semua koefisiennya ini adalah jam/lusin; sedangkan semua variabel B dan C satuannya adalah lusin! 4. Langkah berikutnya adalah analisa menggunakan software ”POM-QM for Windows” a. buka aplikasi ”POM-QM for Windows” b. klik menu ”Module” → ”Linear Programming” c. Klik ”File” → ”New” d. akan muncul jendela dialog ”Create Data Set for Linear Programming” e. pada kolom title silakan diisikan untuk judul analisa yang bersangkutan f. kolom ”number of constraints” menunjukan banyaknya kendala yang ada, dalam kasus ini terdapat 3 kendala, maka rubah nilainya menjadi 3. g. kolom ”Number of variables” menunjukan banyaknya variabel penyusun persamaan kendala kita, dalam hal ini hanya ada 2 variabel yang menyusun ketiga persamaan kendala kita, yaitu kuantitas sandal Bubu dan Cherry yang masing-masing dinotasikan sebagai variabel ”B” dan ”C”. h. pada kolom ”Objective” pastikan telah tertandai ”Maximize” → klik ”Ok” i. akan muncul tabel seperti terlihat di bawah ini

j. akan terlihat simbol ”X1” dan ”X2”, ganti simbol-simbol ini dengan ”B” dan ”C” sebagai variabel yang telah kita tentukan sebelumnya k. pada baris ”Maximize” antara perpotongannya dengan kolom ”B” dan ”C” isikan masing-masing nilai koefisien variabel B dan C yang telah kita tentukan pada persamaan Kritik dan saran bisa disampaikan ke [email protected]

tujuan (fungsi tujuan). Ini dikarenakan pada baris ”Maximize” merupakan baris fungsi tujuan yang kita cari. l. pada baris bertuliskan ”Constraint 1” hingga ”Constraint 3” kita ganti namanya dengan ”Mesin 1” hingga ”Mesin 3”. m. masukkan kooefisiennya masing-masing dari fungsi kendala mesin 1 hingga mesin 3 sesuai dengan kolom variabel B dan C tadi. Sedangkan pada kolom RHS masukkan nilai maksimum jam kerja masing-masing mesin. Jangan lupa untuk memastikan tanda ”...