UTnº5-Poligonación, Triangulación, Trilateración PDF

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UTN Fac. Reg. Paraná

- Cátedra de GEOTOPOGRAFÍA-

Unidad Temática 5

1) POLIGONACIÓN: 1-1) POLIGONALES: La poligonación es uno de los procedimientos topográficos más comunes. Las poligonales se usan generalmente para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles y elaboración de planos, para el replanteo de proyectos y para el control de ejecución de obras. Una poligonal es una sucesión de líneas quebradas, conectadas entre sí en los vértices. Para determinar la posición de los vértices de una poligonal en un sistema de coordenadas rectangulares planas, es necesario medir el ángulo horizontal en cada uno de los vértices y la distancia horizontal entre vértices consecutivos. En forma general, las poligonales pueden ser clasificadas en: -

Poligonales cerradas: en las cuales el punto de inicio es el mismo punto de cierre, proporcionando por lo tanto control de cierre angular y lineal.

-

Poligonales abiertas o de enlace con control de cierre : en las que se conocen las coordenadas de los puntos inicial y final, y la orientación de las alineaciones inicial y final, siendo también posible efectuar los controles de cierre angular y lineal. Poligonales abiertas sin control: en las cuales no es posible establecer los controles de cierre, ya que no se conocen las coordenadas del punto inicial y/o final, o no se conoce la orientación de la alineación inicial y/o final.

-

N N

N

B

G  fˆ

C

bˆ

F

cˆ aˆ  Aˆ AB

A

aˆ

Aˆ FG

A

eˆ

 eˆ

cˆ bˆ

dˆ

fˆ eˆ

D

dˆ

BC cˆ

E

 bˆ D dˆ Poligonal abierta con control de cierre

E Poligonal Cerrada

D

N bˆ aˆ

cˆ B

A

C Poligonal abierta sin control de cierre

Año 2008

1

1-2) CONCEPTO DE COORDENADAS DE PUNTOS Y LADOS: Supondremos siempre un sistema coordenado tal que la rama positiva del eje de las Y quede a 90º de la rama positiva de las X, y contaremos la magnitud angular positiva en el sentido del movimiento de las agujas del reloj, partiendo del eje de las Y positivas hacia el de las X positivas. En la practica topográfica es costumbre general hacer coincidir el eje de las Y positivas con el meridiano del origen del sistema de coordenadas, estando entonces el eje de las Y Positivas hacia el Norte, y el eje de las X positivas hacia el Este. Supongo tener un segmento AB, proyecto los extremos sobre el eje X ,(A’B’), y sobre el eje Y (A’’B’’). A la proyección A’B’ sobre el eje X se le llama “abscisa parcial” del lado AB y se indica: XAB. De igual forma la proyección A’’B’’ sobre el eje Y se denomina “ordenada parcial” del lado AB y se indica, YAB.

Y

Y A’’

B

XB

XA

YB (B’’)

A

B

A

YA (A’’)

B’’

XA B

YAB

YA YB

B’

-

O

A’

X

O

A’

B’’

X

COORDENADAS TOTALES: Del punto A: - Abscisa total de A = XA = medida de OA’ - Ordenada total de A = YA = medida de OA’’ Del punto B: - Abscisa total de B = XB = medida de OB’ - Ordenada total de B = YB = medida de OB’’

-

COORDENADAS PARCIALES (del segmento AB): - Abscisa parcial del lado AB = A’B’ = XAB - Ordenada parcial del lado AB = A’’B’’ = YAB

Además de los sistemas generales de coordenadas se emplean a menudo con fines especiales, sistemas locales de coordenadas, que pueden ser orientados de un modo conveniente cualquiera, por ejemplo, el eje de las X o de las Y coincidente con el primer lado del polígono. Pero también en estos casos conviene orientar los ejes de tal modo que se pase del eje de las Y al de las X positivas por un movimiento giratorio de 90º en el sentido de la marcha de las agujas del reloj.

1-3) CONCEPTO DE ACIMUT Y RUMBO: ACIMUT: llamase Acimut de una recta en el sistema de coordenadas planas al ángulo que dicha recta forma con el eje de las Y o una paralela a ese eje. Siendo A y B dos puntos en el sistema de coordenadas planas, el Acimut de la línea AB es el Angulo por el cual la paralela a la rama positiva del eje de las Y trazada por el punto de arranque A, debe ser girada en el sentido de las agujas del reloj, hasta llegar a la coincidencia con el lado AB. Este ángulo puede tomar valores cualesquiera entre 0º y 360º. A los dos sentidos que puede tener una dirección corresponden dos acimutes; el acimut directo y el inverso o recíproco, los que difieren entre sí en 180º:

0º

Y

0º

0º  Aˆ  360º

N Aˆ AB

B

(directo)

Aˆ AB  Aˆ BA  180º

Aˆ BA (inverso)

A

XE

RUMBO: es un método particular de orientación de lados que vincula el eje de las Y positivas con el norte geográfico. El Rumbo nunca es mayor a 90º, y se define como el menor ángulo que se forma entre la línea Norte-Sur con el lado de la poligonal correspondiente.

0º  Rˆ  90º YN

Rˆ AB

B

B

Rˆ AB Rˆ BA

Rˆ BA

A A

XE A

A

Rˆ BA

Rˆ

BA

Rˆ AB Rˆ AB B

B

1-4) PROBLEMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO DE COORDENADAS: De la figura se deducen directamente las siguientes dos fórmulas: Y

X = AB x Sen () = L x Sen ( Rˆ AB ) Y = AB x Cos () = L x Cos ( Rˆ AB )

YB

Son estas las fórmulas fundamentales no solo del cálculo de coordenadas sino de la Topografía Práctica. Si estan dadas las coordenadas de los puntos A y B podemos hallar el Rumbo (o Acimut) de la línea AB y la distancia AB: 

Rˆ

=

Tg 

1

X

AB

 AB =

=

Tg 

1

X

Y X



Sen Rˆ AB

B

 XA

YB  YA =



Y



Cos Rˆ AB

B L 

Y X

YA A XA

XB

X

; o también : AB =

X 2  Y 2



(la forma de encontrar el acimut para los distintos cuadrantes fue vista en la Unidad Temática 1: Pg. 11)

1-5) POLIGONAL ABIERTA: El ejemplo clásico de utilización de la poligonal abierta, es la determinación de la distancia entre dos puntos A y N con un obstáculo intermedio que no nos permite hacer la medición directa (con cinta y teodolito). Lado de cierre (no puede medirse directamente por la presencia de algún obstáculo)

Proyecto: Puente Nuevo 1

arroyo

5

Puente Existente

2 4

3

Cálculo efectivo de una poligonal abierta: Proceso de cálculo por medio de Acimutes DATOS: Lados

Ángulos

AB = 320,16 [m] BC = 219,43 [m] CD = 278,92 [m] DE = 402,75 [m]

Bˆ

=

145º52’40’’ Cˆ =

165º39’15’’

Dˆ

=

139º30’50’’ Se quiere determinar la distancia EA, y los ángulos en A (

Aˆ ) y E ( E ˆ )

SOLUCIÓN: Al primer lado le doy una orientación cualquiera. Trato de trabajar con coordenadas totales positivas, o sea que trato que la poligonal quede íntegramente en el primer cuadrante.

a)

Cálculo de las orientaciones o acimut: al primer lado de la poligonal lo hago coincidir con el eje de las Y positivas. Entonces tendré:

Aˆ AB = 0º0’0’’

Recuerdo que:

Aˆ BA Aˆ AB  180º ; y que: = Bˆ =

Los acimutes serán entonces:

Aˆ AB = Aˆ = Aˆ BA

0º 0’ 0’’ AB

+180º = 180º 0’ 0’’

145º 52’ 40’’ Bˆ = ˆ A BC = Aˆ BA - Bˆ = 34º 07’ 20’’ Aˆ = Aˆ +180º = 214º 07’ 20’’ CB

BC

Cˆ = 165º 39’ 15’’ ˆ ˆ ˆ A CD = A CB - C = 48º 28’ 05’’ Aˆ = Aˆ +180º = 228º 28’ 05’’ DC

CD

Aˆ BC AˆBA

Aˆ BC Aˆ BA - Bˆ

-

=



Dˆ = Aˆ = DE

139º 30’ 50’’

Aˆ DC - Dˆ = 88º 57’ 15’’

b) Cálculo de las coordenadas parciales de los lados: Lado AB :

Aˆ AB ) = 320,16 [m] x Sen (0º0’0’’) = 0 [m] YAB = AB x Cos ( Aˆ AB ) = 320,16 [m] x Cos (0º0’0’’) = 320,16 [m]

X AB = AB x Sen ( Lado BC:

Aˆ BC ) = 219,43 [m] x Sen (34º07’20’’) = 123,09 [m]

XBC = BC x Sen (

YBC = BC x Cos ( Aˆ BC ) = 219,43 [m] x Cos (34º07’20’’) = 181,65 [m] Lado CD: XCD = CD x Sen (

Aˆ CD ) = 278,92 [m] x Sen (48º28’05’’) = 208,8 [m]

YCD = CD x Cos ( Aˆ CD ) = 278,92 [m] x Cos (48º28’05’’) = 184,9 [m] Lado DE:

Aˆ DE ) = 402,75 [m] x Sen (88º57’15’’) = 402,7 [m] YDE = DE x Cos ( Aˆ DE ) = 402,75 [m] x Cos (88º57’15’’) = 7,35 [m]

XDE = DE x Sen (

c) Cálculo de las coordenadas totales de los vértices: XA = 0 [m] XB = XA + XAB = 0 + 0 = 0 [m] XC = XB + XBC = 0 + 123,09 = 123,09 [m] XD = XC + XCD = 123,09 + 208,8 = 331,89 [m] XE = XD + XDE = 331,89 + 402,7 = 734,59 [m] YA = 0 [m] YB = YA + YAB = 0 + 320,16 = 320,16 [m] YC = YB + YBC = 320,16 + 181,65 = 501,81 [m] YD = YC + YCD = 501,81 + 184,9 = 686,71 [m] YE = YD + YDE = 686,71 + 7,35 = 694,06 [m] d) Orientación del lado de cierre AE :



Tg Aˆ

 X AE AE

 Y

A E



X E X A YE  YA



734,59  0

 1,0584

694,06  0



Aˆ AE = Tg-1 (1,0584) = 46º 37 ’ 30’’



Aˆ EA = Aˆ AE + 180º = 226º 37’ 30’’

e) Longitud del lado de cierre AE :

YAE  Cos Aˆ AE

X AE

  AE = Sen Aˆ AE =

AE

734,59 Sen 46º37'30'' 694,06 Cos 46º37'30''

= 1010,61 [m] o también:

; = 1010,61 [m]

Siendo conveniente tomar el mayor de los dos valores: X o Y.

Una forma práctica para efectuar estas determinaciones es utilizar una planilla como la que se indica a continuación en la que se aplica el presente ejemplo: Lado

Acimut

AB BC CD DE EA

Distancia

0º0’0’’ 320,16 34º07’20’’ 219,43 48º28’05’’ 278,92 88º57’15’’ 402,75 226º37’23’’ 1010,61

X E (+) 0 123,09 208,8 402,7

Y O (-)

734,59

N (+) 320,16 181,65 184,9 7,35

S (-)

694,06

Coordenadas Totales X Y (A) 0 (A) 0 (B) 0 (B) 320,16 (C) 123,09 (C) 501,81 (D) 331,89 (D) 686,71 (E) 734,59 (E) 694,06

Los datos que figuran en negrita en el último renglón de la tabla, correspondientes al lado de cierre EA, se obtienen partiendo de la base que, para que el punto inicial de la poligonal coincida con el final (es decir que la poligonal se cierre), la suma de los X positivos tiene que ser igual a la suma de los X negativos (sumatoria nula), de igual forma que con los Y. Como las proyecciones XEA y YEA son negativas, quiere decir que está en el tercer cuadrante, por lo tanto el Acimut será:

ˆ

1

 X EA 

1

  734,59 

AEA  Tg 

Y

  180º  Tg 

 694,06

  180º = 46º 37’ 23’’ + 180º = 226º 37’ 23’’



EA







Como verificación: XEA = EA x Cos ( Aˆ EA ) = 1010,61 x Cos (226º37’23’’) = 734,59 [m] YEA = EA x Sen ( f)

AˆEA ) = 1010,61 x Sen (226º37’23’’) = 694,06 [m]

Cálculo de los ángulos de cierre :

Aˆ = Aˆ EA – 180º = 226º 37’ 23’’ – 180º = 46º 37’ 23’’ Eˆ = Aˆ

ED

-

Aˆ

EA

=(

Aˆ DE +180º) - Aˆ

EA

= (88º 57’ 15’’ + 180º) – 226º 37’ 23’’ = 42º 19’ 52’’

Obtenido el valor de los ángulos de cierre Aˆ y Eˆ , se puede replantear en el terreno colocando el teodolito en dichos puntos y provocando dichas lecturas en el limbo horizontal, con lo cual se puede salvar el obstáculo que impedía la visual originalmente.

1-6) POLIGONAL CERRADA: DETERMINACIÓN DE SUPERFICIES POR RODEO: Este método utilizado para la determinación de la superficie encerrada dentro de un polígono, es el que se emplea con mas frecuencia, no sólo por ser aplicable cualquiera sea la extensión del polígono, sino también por su mayor exactitud y por el control que ofrece su cálculo, que tiene la virtud de acusarnos los errores cometidos en la medición de ángulos y de lados. Siendo P1, P2, P3, P4 y P5, los vértices del polígono cuya superficie desea calcularse; se miden todos los lados y todos los ángulos internos. La suma de los ángulos internos debe ser igual a tantas veces 180º como lados tenga el polígono, menos dos:



i

= 180º (n –2)

La igualdad anterior que se conoce con el nombre de “cierre angular” del polígono, salvo rara coincidencia, se verifica, y la diferencia que resulte no debe pasar de una cierta tolerancia. El camino a seguir para calcular la superficie del polígono sería: 1) Elegir el sistema de ejes coordenados. 2) Calcular las coordenadas parciales de los lados del polígono (por medio de los acimutes o los rumbos). 3) Deducir de las anteriores las coordenadas totales de los vértices. 4) Hallar la superficie de los trapecios componentes. - Cálculo de las coordenadas parciales : El cálculo de las coordenadas parciales X y Y, se obtiene como hemos visto, multiplicando la longitud del lado por el seno y el coseno de acimut (o rumbo) respectivamente. - Cálculo de las coordenadas totales : Para el cálculo de las coordenadas totales de un punto, se suma o se resta el X y Y a las coordenadas de otro punto ya obtenido anteriormente. - Cierre de Coordenadas: Una vez obtenidas las abscisas y ordenadas parciales, deben sumarse algebraicamente, por separado. Ambas sumas deben ser nulas, pero como rara vez se cumple esta condición, la diferencia no debe superar un cierto valor dado por la tolerancia. Obtenida esta diferencia se reparte proporcionalmente al valor de los lados, obteniéndose así las coordenadas parciales corregidas o compensadas, que son las que se utilizan para el cálculo de las coordenadas totales. Si  x es el error total obtenido al sumar los X , a cada X le corresponderá una corrección: Ki , dada por: Ki =

x P i P t

Donde “ Pi ” es la longitud del lado que se está corrigiendo y “ Pt ” es el perímetro total del polígono. De manera similar, si y es el error total obtenido al sumar los Y , a cada Y le corresponderá una corrección: Ki , dada por:

Ki =

y

P i P t - Tolerancia en el cierre de coordenadas : En general el punto de coordenadas P1’ no coincide como debería con el punto de arranque P1 debido a las diferencias  x y y encontradas en las sumas algebraicas de las abscisas y ordenadas parciales. Del triángulo rectángulo

e   X Y 2

P1Pˆ1' e X , o del P1Pˆ1' eY , llamando a P1' P1  e , se tiene:

2

Este valor de “e” (error total) no debe pasar de un valor “T” que dan las fórmulas de tolerancia. Para nuestro caso es:

T = 0,01

4 Pt  0,005 Pt 2

; donde

Pt es el perímetro del polígono (expresado en Km)

P3 P2 P4

P1

eX

P1

P1’ e y ey P1’

X

EJEMPLO: Se quiere hallar la superficie del terreno determinado por la poligonal de la figura. Los datos obtenidos en campaña son: Lados P1P2

=

Ángulos

Pˆ = 35º39’10’’ 1 Pˆ = 134º18’40’’

69,135

[m] P2P3 = 57,350 [m] P3P4 = 33,100 [m] P4P1

2

Pˆ = 123º52’15’’ 3 Pˆ = 66º12’05’’

= 126,021 [m]

4

P3 P2 P4

P1

1º) Cierre angular:

 i = 180º (n - 2) = 180º (4 – 2) = 180º (2) = 360º  i = 35º39’10’ + 134º18’40’’ + 123º52’15’’ + 66º12’05’’ = 360º02’10’’  El error angular es:

 = 360º - 360º02’10’’ = 0º 02’ 10’’

Para efectuar la corrección aplicamos la fórmula: Ki =





; donde: Ki = valor que se debe sumar o restar a cada ángulo

 = error de cierre  i = valor medido de cada ángulo

i



 t = valor dado por la fórmula de cierre angular (en este caso 360º)

t

35º 39' 10''

P ˆ K1 = 

1

=

0º 02'10''

= 0º 0’ 13’’

360º 134º18' 40'' K2 =  = 0º 02'10'' = 0º 0’ 48’’ 360º 360º ˆ 3P 123º 52' 15'' K3 =  = 0º 02'10'' = 0º 0’ 45’’ 360 º 360º ˆ 66º12' 05'' 4P K4 =  = 0º 02'10'' = 0º 0’ 24’’ 360º 360º 360º ˆ 2P

El valor de los ángulos corregidos será:

Pˆ ’ = Pˆ 1

- K1 = 35º39’10’’ - 0º 0’ 13’’ = 35º 38’ 57’’ 1

Pˆ2 ’ = 2 - K2 = 134º18’40’’ - 0º 0’ 48’’ = 134º 17’ 52’’ Pˆ Pˆ ’ = - K3 = 123º52’15’’ - 0º 0’ 45’’ = 123º 51’ 30’’ Pˆ 3 3 Pˆ ’ = Pˆ - K4 = 66º12’05’’ - 0º 0’ 24’’ = 66º 11’ 41’’ 4

4

 = 360º 00’ 00’’ 2º) Cálculo de los rumbos: Para calcular la poligonal utilizaremos en este caso el concepto de Rumbo en lugar del Acimut. Recordemos que Rumbo es el ángulo formado con la dirección Norte-Sur y no puede ser mayor de 90º. Suponemos que el rumbo del lado P1P2 es:

Rˆ P 2 P 3 = ’ 2 Rˆ Pˆ

P1P 2

Rˆ P1P 2 = N 80º 00’ 00’’ E

= 134º 17’ 52’’ – 80º 00’ 00’’ = S 54º 17’ 52’’ E

Rˆ P3P 4 = 180º - ( Rˆ P 2 P3 3 ’ ) = 180º - (54º 17’ 52’’ + 123º 51’ 30’’) = S 01º 50’ 38’’ O + Pˆ Rˆ P 4 P1 = 4 ’ - Rˆ P3P 4 = 66º 11’ 41’’ – 01º 50’ 38’’ = N 64º 21’ 03’’ O Pˆ Año 2008

10

3º) Cálculo y compensación de las coordenadas: Para hacer el cálculo de la poligonal es práctico utilizar una planilla similar a la utilizada en la poligonal abierta, tal como la indicada a continuación:

Año 2008

11

Lado

Dist. [m]

Rumbo

Y = d x cos R

Coordenadas Compensadas X

Coordenadas Totales

Y

X 100 P1P2 N.80º00’00’’E 69,135 68,085 12,005 68,088 12,004 168,088 P2P3 S.54º17’52’’E 57,350 46,572 33,468 46,574 33,469 214,662 P3P4 S.01º50’38’’O 33,100 1,065 33,083 1,064 33,083 213,598 P4P1 N.64º21’03’’O 126,021 113,603 54,549 113,598 54,548 100  285,606 114,657 114,668 66,554 66,551 114,662 114,662 66,552 66,552 E (+)

O(-)

N(+)

 X = 0,011

S(-)

E (+)

O(-)

N(+)

S(-)

Y 100 112,004 78,535 45,452 100

 y = 0,003

El perímetro de la poligonal es: Pt = 285,606 [m] = 0,28561 Km

4P  0,005 P 2 = 0,01 40,28561  0,005 0,285612 = 0,011 [m]

La tolerancia es: T = 0,01

El error absoluto es:

e

 X2   Y 2

=

0,0112  0,0032 = 0,011 [m]

Se tiene entonces que: e < T  se puede proseguir y efectuar las correcciones de las coordenadas parciales (“cierre de coordenadas”, o “compensación de coordenadas”) al no superarse la tolerancia. En caso contrario debería medirse de nuevo con mayor preci...