UŠĆUMLIĆ-MATEMATIKA-2.pdf PDF

Preview

Summary

_. - ._, ..... . .. .- ~~. l V E R Z ( T E T BEOGRADU PAVLE MlI.K"!ć MO CILO ĆUMLIĆ ZBIRKA ZAD IZ TIKE II I I2t>ANI www.etf.ba Rešenjem Rektora Univerziteta u Beogradu br. 06-347511 od 20. novembra 1969. na predlog Univerzitetske komisije za udžbenike ova knjiga je odobrena kao stalni pomoćn...

Description

Accelerat ing t he world's research.

UŠĆUMLIĆ-MATEMATIKA-2.pdf Haris Talic

Related papers Mat emat ika 3 Nikola Pet rović

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

_.

-

._,

..

..... .

l

V E R

Z

( T

E

T

PAVLE MO

CILO

.ｾＮ＠

BEOGRADU

ｍｬｉＮｋＢＡ＠

ｕｍｌｉ＠

ZBIRKA ZAD

IZ

TIKE II

I I2t>ANI

www.etf.ba

Rešenjem Rektora Univerziteta u Beogradu br. 06-347511 od 20. novembra 1969. na predlog Univerzitetske komisije za udžbenike ova knjiga je odobrena kao stalni ｰｯｭｮｩ＠ udžbenik

PREDGOVOR "Zbirka zadataka iz više matematike lU. koja je ｶ･＠ doživela ｴｲ･＠ izdanje i .,Zbirka zadataka iz više matematike U", koja se prvi put sada pojavljuje, ｩｮ･＠ jednu celinu koja obuhvata programe matematike na višim školama i programe matematike na prve dve godine ｶ･ｩｮ＠ fakulteta u našoj zemlji, kao i neke delove programa poslediplomskih studija. Uloživši sve svoje višegodišnje iskustvo sa ｩｺｖｯ･ｮｪ｡＠ nastave, prvenstveno smo želeli da ovim dvema knjigama pomognemo studentima na ｳ｡ｶｬｩｮｪｵ＠ gradiva u toku studija i u toku sistematskog pripremanja za ispit. Pri izradi knjige koristili smo sve ｰｯｳｴｪ･＠ zbirke koje su u upotrebi kod nas. bilo da su strane ili ､ｯｭ｡･Ｌ＠ ali veliki broj zadataka su originalnog karaktera. Svi zadaci imaju rezultate ili rešenja. Veliki broj zadataka je ｵｲ｡･ｮ＠ iii je dato uputstvo za rešavanje. ｐｯｲ･｡ｮｩ＠ su po oblastima, od prostijih do složenijih, a na ｰｯ･ｴｫｵ＠ svake oblasti date su I!ajvažnije oblasti. definicije i teoreme koje se koriste u zadacima te i ｳｬ･､ｩｨ＠ I za ovu Zbirku, kao i za ｴｲ･＠ izdanje prve Zbirke. recenzenti su bili vanredni profesori ｐｲｩｯ､ｮＭｭ｡ｴ･ｫｧ＠ fakulteta dr D. ａｮ｡･ｶｩ＠ i dr M. ｍ｡ｲｪｮｯｶｩＮ＠ koji su svojim primedbama i sugestijama doprineli da pojedini delovi u knjizi postanu preciznije i ｴ｡ｮｩｪ･＠ izloženi. l ovog puta im se na tome ｮ｡ｪｳｲ､ｩ･＠ zahvaljujemo. P"scbno se zahvaljujemo magisIm ｭ｡ｴ･ｩｫｨ＠ nauka M. ｔｲｩｦｵｮｯｶ＠ na saradnji u pisanju knjige. fakulteta Veliku zahvalnost dugujemo vanrednom profesoru ｐｲｩｯ､ｮＭｭ｡ｴ･ｫｧ＠ dr V. ｄ｡ｪｯｶｩｵ＠ na njegovoj inicijativi za pisanje ovih Zbirki i na podrškama. Zahvaljujemo se dipl. ing. A. ｍｩｬＢ＠ na izradi crteža i kolektivima ｇｲ｡｣ｶｩｮｳｫ･＠ knjige i Beogradskog ｧｲ｡ｦｩｫｯ＠ zavoda koji su uspešno re"lizovali pojavu ovih knjiga. Kao i do sada ｢ｩ･ｭｯ＠ zahvalni svima koji nam ukažu na omaške, greške i nedostatke ove knjige. Beograd 8. XII. 1969.

Pisci

ZA ｐｒｅｄｕｚＺ＠ W. JURELA. glavni urednik D. LADN. urednik J. ｐｒｅｎｄｉＮ＠ ｴ･ｨｮｩｫ＠ urednik D. ａｌｇｉＮ＠ korektor A. ｐａｊｖｎｉＮ＠ naslovna strana ŠTA1\1PA: Beogradski ｧｲ｡ｦｩｫ＠

zavod. Buj. vojvode ｍｩ｡＠

17. Beosnd

www.etf.ba

SUIOtll

3. Tenmrsk:a. a. i2a ..... • .•••.• 4. Prim':1)ll tcn ｲｾ＠ tl difcre1\d,aJnoj

SADRZAJ

o

Ｎ ｾ＠

Redo ..i

oo

va I

•• .••.•.• • . . ... . •. . ... . . .. • .• •.... ..... ..... ... . .. ......

oo

•

••

•

o o . . . . . . . . . . . . . . . . oo o o .

oo

§ 7. ｂ ｾｫｯＺｮｭｩ＠

§

oo

..

18J J91

oo oo

.

va VIn

O

l

oo . . . .

l

eometriji i mehani i ... . .. " ... ..

•

no ....

lt 1. ｾｮｩ＠ redovi a potjtivnim ｬｭ＠ ima .. . ...... oo • • • • • • • • • • oo. oo oo. oo. f 2. Redovi S:l rom J ' m pr ｚｬｉＡＮｾ＠ elano i operacije sa ko Yu;en1Jtim red.ovima f ' . Ponovljeni i dvoJru redo I . ........... ... . .. . .•.. •.•• . • . .....•.•.•.. . ... ｾ＠ 4. Funkci alni ｾｃｉｯｶｬ＠ ••.•• .••.. • .••..•..•. " •••• . . • •••••••.•••••••••••.••• ｾ＠ .s. S tcpeo.i r edovi .... oo • • oo . . . . . . oo . . . . . . . . . . § 6. FOurierTOvi redovi •..• oo . . .

§

. o o . . . . . . . . . . . . . . . oo oo oo • • • • • • oo • • • • oo • • •

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oo . . . . . . . . . . . . . . . . . . oo

.

..

•

proizvodi . .• . • . . • • . • . .. .. ..•. • .•.....•........ . . ......... . . G ava IT

""cija)" ｲ｡ｾ＠ 6uJitcija .. ik rt!IIlaill pl'Oml!l10irih . . • . . • . • • • . ...•..•.•••••••.• l. GraDI 'iTCdoost I nepl"eJdd.n.o!l[ funk ' ville promenljivih ....••••••... 2. P :rciia.l.ni iz'i'Od1 i dlf8J'encljall. b:vod Blote (ull.locije .. • . • . . .. . .•• • ••• 3. FunJcclouallllll deter1tun.ante. Oi(eren 1

6S 73

317 32 7 33

Gl:lvll X

1

..... ....... ............ ......................... ... .......... ｾＹ＠

L'StrWd i kri ..ollaijsk Ini ｾ＠

§ § § §

§ ｾ＠

§ §

II

•••••••• _ • • • •• ••

•••••••••

•

••••

1. Dvojf1i i I .. . .... . .. .... . .... ....... ... . . .. . . . ...... . ..... _.. _. .. . 2. ｬｸｲ＼ｉｕ＠ aVll.lUe po iae ra lita. ｳｲＭｭＮｯｵ＠ dvo DOg mt qnt.ll . oo • • • • oo oo . . . . .

J . Tu.eu.naV8.DlII

5. ｐｲＱｄｬ･ｾ＠

6.

ｾｭｩｮ･＠

ｐｏｮＧｉｬ＠

tes:rata _......... .. . ...........•.

ｖｏｪＸ＠

Wl&va!Ue povriIDe povrti. . •. •.... ...... .. ..•..•..•••..••..•• •.•••••.•. dvojnQg Ａ ｮｾ＠ .u md1Anici .. • . . . • . . • . . • •..•.•.•.• . .• . •..•......

l'OJl11

l V QtnJ

I In[ev'

11 ••• o

o • • • • ••

o ••••••••••••• • ••• ••• •••• • •••• • •••••

l%nII:amaV1lnje mprc:mi e ｯｭｵ＠ｰ tr'O$tru OB in eualll ... o • • • • • • S. Prime!lll trojnoe lDlearal u mchAck1 .... ..................

7.

• •• • •••• ••••••

oo .

9.

lO.

ivoLinij fl

j

Integral ........•........... . ..•..............

S2

• ••••••••••••.

. . . . . . . . . oo • •

o • o • o ••••••••••

ena. knvolinijskO!: Integrala . • .••.. •.•.•• . •.••.••••••••••••••.•..••••.•

Ji. Poyrlinski in tegr:lL •••••••••••••• ••••••• •• .•. •.••....•.. • •• ... . . •..•......

90

en

J60

s)6

,.

99

364

10 109 I II

]68 369

DO 140 140

1 .9

Oj)

•

......

..

............................................ .

'l. ,,"me D operllci nos postu,pb na ｮｉａ｡ｾ＠

mCOlom odstupanja § .. PrimeM dono

...

oo

.....

j ｬｾＺｮｩｨ＠､ ｲ｡ＮｴｭＦ＠

.

dI.t. lM....... ｮｬ｢＠

Dll re!ava.n

oo

oo

Inlh

ｪ｣､ｮＮｾ＠

oo

ｊｏｂ＠

• oo oo oo oo

lipova inte

.

Ta

...........

oo oo . . . . . .

.

oo.

•••• ••••••••

lITB\l'

sl! oo

oo

nib

..

oo.

•

oo,

ｪ･､ｮ｡ｩ＠

i,.: .•

lli ｮｩｕ＠ .0... . •... .. .................... .. .... ...... ... .... .......... I. Si5 cml i omue .. . ..... . ... ... . ..•.. .....•... ... .•.•.........•.••. 2. Tr nsro tl. ｾｉｊ･＠ pro nljrvih. Teozor.5b teba ....................... ..

>W{)

1111

• .

o o . . . . oo

•

•

• •

•

••

•

• • • oo •

• oo • • oo

•

o o . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . oo •

• •

I. (h \'l1i pojmovi i ･ｦｩｮ｣ｪ＠ .....•. •. . •.•• . •.•.••.•.. ... . . •.........•..• 2. Geornc 'jska l'tlOnt O •• •• • . . . . . . . .. .. . . . . . . • . • . • . • . . . . • . •• ....•..•.. J. U$lOvna YeTOY ｴｄｯｌ＠ Proi2:vod i zbir ｾｶ｡ｴｮｯＮ＠ 'totalna ｜ｬｉｮｯ｡＠ ..••.

O I va VJ1

zo

.

f J. Odrod :lnjc $Iiltc i oligina A ............. ... . . . . . . . ra. \lDll na ｾｬ｡ｶ＠ dl ija1nJh jedn i 2. PrimcIllI ｯｰ｣ｮＧｾ＠

ｒ｡ＢＱ＠

u prostoru povr

Gla

376 376 ]81

) 8 392

vl

I ri'

ml

37

m

oo • • •

V ·tor lIJ12 %Il i elementl I r pOlja .•.••.•.••••.•.••....•.•.••...•.•..•...... I t. Vektor IlZII •.... . ...•.. • .. • ..•.... . ...••.•......••..... . ......... .. • 2. Elementi leorlje poljli ....••.••.•...•• • .•.•••••• • .•.. •.•••• .•. •.••.•.•••. \'ll

366

!lS

Glava

G

3S4 J57

81

'I. lu

S.

l1S 175 1.9

R

zu]

ｓｬ

ｵ

U

｡ ｪ ｮ･＠

n:,vlUljc ＬＢｶ｡ＮｵＧ｜ｯ｣＠

ｶ･ｬｩ

Ｇ＠ ｾ＠

pojl.-e do

I

. .•• .•.•

II

P

lt. . • . •

4110

oo oo oo

42.8

• •..... ... . .•. •. •••••••••••••••••••••.•.•• •. •.•.•

449

•

karaktenstike .....

D

o o . oo oo oo oo oo

oo

Y

39'1 405

oo

n ·ih.o ｾ＠

ti pooavU

397

oo

l

•••

www.etf.ba

Glava I REDOVI

ｓｾ＠

§ 1. Redovi J"

pozitivnim

ｬ｡ｮｯｶｩｭ＠

K o n v ｾ＠ r g e rl C i j a r e d a. Brojni red (J)

a J +a 2 +a J +···+an +···=

I

an

,;=1

je konvergentan ako po,,(oji

ｫｯｮ｡＠

limes lim ｓＬｾ＠

tl-700

gde je Sn =a, +a2 + ... -ran Ｈ､･ｬｩｭｮ｡＠ suma reda (1)) i S zbir reda (1). U protivnom ｳｬｵ｡ｪＬ＠ kaže se da red (1) divergira. y e a u e h y e v k r i t e r i j u m. Potreban i dovoljan usiov da red (1) konvergira jeste da za proizvoljno 1:>0 postoji prirodan broj ｎｾ＠ (e) takav da je za n>N i p>O ISn+p-SnlO) nenegativna

2

n

n

n=l

ｳｬ･､ｩ＠

konvergenciju reda

1 n Gn = n1+a k=l

L ka

21}.

(a>-l).

dokazati da konvergencija

reda

Pn+l-1

L An.

L

gde je An=

ai

(Pl = 1,

n=l

11=1

Pn ''" cosna (7l -- 1, red (1) je divergentan. 5° C a

1

oo

9.

p< 1.

4 o D' A l e m b e r t o v t e s t. Ako je -.-

3

§ 1. REDOVI SA POZITIVNIM ｌａｎｏｖｉｍ＠

'" a· L ｾ＠ ｪｾｬ＠ b

n=l

ｳｬ･､ｩ＠

redovi konvergiraju:

24.

(iaiil).

'" COSllX-cOs(n+1)x

L - - ' -n - " - '

25.

11=1

Za

ｳｬ･､＠

redove

ｮ｡ｩ＠

､･ｉｩｭｮｵ＠

sumu Sn oo

oo

L q".

2.

n=1 oo

4.

L

11=0

O.

ｾ｛＠ 11=]

1

2: n=1

(_1)710-1

2710 - 1

limes limSn=S:

(n+k) (n+k+ l)

n"

l

__ 1 (n + I)k

7.

ｮｾｬＱＨＫ＠

ｾＩＮ＠

Ｑｾ｝＠

3. 5.

(kEN).

26.

"..... '"

8.

ｮｾ｝＠

"'d Z naJUCl a 'Je re ､ｾｬｫ＠

1

ispitati konvergenciju

2n+ 1

oo

n2 (n + 1)2 n

oo

27.

n+l

(tla - Va) (a>O).

L., -

na

n=1

n(n+ 1)

i

Cauchyev kriterijum dokazati da red

l ｾ＠

n=3

oo

N=l

ｋｯｲｩｳｴ･＠

30.

1

L-' 11=1 2n-1 '"

L

JI=l

njln+ 1

28.

divergentan za a < 1

onvergentan za a>l

ｳｬ･､ｩｨ＠

redova: oo

l

L (2n-1)2 . ＲｾＮ＠

,,=]

31.

divergira.

n

I n=l

]l3n(2n-1)

l

oo

, , - - (a>O).

n7:

1

32.

ｾ｝ｬｮＫＭｹＬ［＠ lJ=1

1 +an

V'n

. www.etf.ba

4

§ l. REDOVI SA POZITIVNIM ｌａｎｏｖｉｍ＠

I. REDOVI

33.

ｾ＠

34.

l (a>O). n=l(an+b)P

eo

ｾ＠

57. Ako je red

(Va--l) (a> 1).

36.

11=1

n+

n

n

ｾ＠ _1 In ( n + 1 ) n=zVll n-l' ｋｯｲｩｳｴ･＠

l).

'"

ｮｾｬ＠

39.

1 n

nSlli-

59.

"" 2 2:-. n=l n

61.

'" nl 2:-':".

62.

2:-. n=ln!

VnZ+T

47.

l

2----. ｳｬ･､｡＠

ｋｯｲｩｳｴ･＠

'" nP

ｳｬ･､ｩｨ＠

redova:

"'an 2:n=ln!

(a> O).

oo (x\" 63. 2:n! n=O \ n!

(x>O, y>O).

65.

(x>O).

2:

(2 n)!!

50.

""

n

51.

2:-" .

n= l 1yn, !:::"l

>'"" -1

53. Dokazati da je red

n7:l an

ｾ＠

""

3

5

1n+ l

'"

3

5

2n+ 1

2°

2: (V5-j!5) (VS-VS) . . ·O/S-VS).

n=l

"" 68. Ako red 2:an (an>O) kOl1vergira, dokazati da može biti lim an+ 1 =q>1.

redova:

ｬｾｮＡ＠

.

69. Dokazati da je red

11-=1 n111n

divergentan ako je al' az, a3 ,

ｾ＠ ｾ＠

54. Da li je konvergentan red

11=1

•.•

｡ｲｩｴｮ･ｫ＠

ｋｯｲｩｳｴ･＠

niz.

2:

2:

n=1

n=l oo

\)..j

.z ｡ｾ＠ n=l

10

2: n=1

i

:z ｢ｾ＠

2°

2 (a" ± bn )2; n=l

""

ｳｬ･､ｩｨ＠

75.

ＲＺ｡ｾＮ＠ 11=1

redova:

n

sin2 lc a

n=lk=l 1 +x2+cos2 ka

kop.vergentan za svako a ｳｬ･､ｩｨ＠

JJ

72.

n7::! (ln n)"

(a> O).

'l

oo

I

\" 2: (X-) n oo

('

oo

n=Z

ｾＷＶＮ＠

77.

X.

(x>O).

n=l

n-2 ),,(n+1) 14.2:-.

_

gde je lim an=a, x>O, an>O.

l

redova:

'" n 71. ') - - o

112+1

an

l"

l

n+2

nk

' > : ' - - - ·(a>l,b>l).

.-=-! a"+ b"

n=l

co

lan bn !;

sledi konvergencija

ZＨｾＩｮＬ＠ an Ｌｾｬ＠

konvergentan. Primerom pokazati da obrnuto ne važi.

oo

2: TI

Cauchyev test ispitati konvergenciju

ako je al' az, a3, ... geometrijski niz?

'" an (an> O) konvergentan, dokazati da je red '" a; ｴ｡ｫｯ･＠ 55. Ako je red

56. Iz konvergencije redova

n-+oo

(jJ

an

211.+1

2 ) • ••

11=1

49.

ｾ＠

., (2n-I)!!..

n=l

2: OI2-V2)()!2-)I2)· . ·(112-)12); 11=1

(OO).

ln(1+k)

I 92. ｜ｊｮｾ＠

ｮｾｬ＠

j/n+a- v;;+b

(7

Gaussov test ispitati konvergenciju redova:

94.

ｾ＠

n!y(y+1)·· ·(y+n-l)

Z (a+lll)I ( a+0;2 ... (a+ vn)n (a>O). ｮｾｬ＠

a2 " istovremeno konvergiraju i divergiraju.

(2n-1)!! . __ｬ｟ＮＬｾｹＩ＠ (2n)!! 2n+1

a(a+l)·· ·(a+n-1),B(,B+1)·· ,(p+n-1)

oo

ｮｾｬ＠

,JI

n

Ispitati konvergenciju redova:

•

n=!

n'.

2:oo

L2 r.=!

n

2: V''-Ix'-Inz=-+-"'I.-'vl--"-n n=l

Raabeov test ispitati konvergenciju redova:

85.

88.

84.

2+cosn ｋｯｲｩｳｴ･＠

87.

oo

(1 + cos n )2n-lnn

1l=1

oo

i red

2: an

ｮｾＲ＠

ｾ＠

l n (ln n)"

U tom ｳｬｵ｡ｪ＠ konvergira i red (1). Zbir apsolutno konvergentnog reda ne zavisi od poretka sabiranja njegovih ｬ｡ｮｯｶＮ＠ Ako red (1) konvergira a red (2) divergira, kaže se da red (1) u S lov n o konvergira. Zbir uslovno konvergentnog reda promenom poretka sabiranja njegovih ｬ｡ｮｯｶ＠ može imati proizvoljnu vrednost (Riemannova teorema). 2 0 T e s t o v i k o n ver g e n c i j e. l) Leibnizov test. ｎ｡ｩｺｭ･ｮ＠ red

(a> 1).

b,-bz +b,-b4 +··· +(-1) "-'b n +··· konvergira ako je ｢ｮ＾ＫＬＨＱｬｾＲ＠

... ) i lim ｢ｮｾｏＮ＠

oo

I

In3 n ln2 (Inn)

;

2° ｮｾＲ＠

2n--Inn In (Inn)

U tom ｳｬｵ｡ｪ＠

za ostatak reda ｒｮｾＨＭＱＩ｢ＫＬｴＧＲＢ＠

važi ocena

www.etf.ba

8

§ 2. REDOVI SA PROMENLJIVIM PREDZNACIMA ｌａｎｏｖ＠

J. REDOVI

oo

2) Abe/Ol' test.

L a"b" konvergira ako konvergira

Red

oo

red

n=l

b n obrazuju monotono

niz.

2 anb,.

test. Red

konvergira ako su ､･ｬｩｭｮ＠

sume ａｾ＠

ｾ＠

112. ｌｾＭＧ

ｾ＠

.2

ale

ｯｧｲ｡ｮｩ･＠

"=1

3° O p e r a e j j e

sa

'"

co

n=l

n=I

n=l

=

n=l

n=!

L'" a" cos n o. ""

2

117. ｮｾＲ＠

2: an ± 2: bn ｾ＠ 2: (an±bn);

1)

114.

n

n=l

gde je an- 1 >an>O, lim an =

n=l

2: an i red 2: bn konvergiraju tada je:

r e d o v i m a. Ako red

oo

co

2: -'---'---

113.

IZ

115.

i ako b n monotono teži nuli kad n-l- oo.

'" (_1)fV;;-1

'" (-1)-2-

ｮｾｬ＠

n=l rl

ｳｬ･､ｩｨ＠

redova:

n (n-I)

n=l

ｯｧｲ｡ｮｩ･＠ oo

3) Dirichletov

Primenom Dirichletovog testa dokazati konvergenciju

2 an i ako brojevi

9

I OPERACIJE •..