Vectors en Rn PDF

Preview

Summary

Vectores en Rn...

Description

Vectors en

Rn

1.I nt r oducci ó Unv ec t orde Rn a1 n a =(…)∈ R an

s’ escr i u a

=( a1,. . . ,an) ∈ R n sié sunv ec t orfil ai

siesunv ec t orc ol umna.

a¡é sl ac omponenti èssi ma né sl adi mens i óde lv ec t oriescr i vi m a ∈ R n Elv ect orz er ode Rn

es  xe mpl e  02=(0, 0) 0n=(0, … , 0)∈ Rn ;pere

2.Oper ac i onsambv ec t or s I gual t atdenvec t or s: a =b Sumadenv ect or s:

⟺ a¡=b ¡

¿ a+b,. . . ,an+bn) ∈ R n a +b=¿ 1 1

Di f er ènci adenv ect or s:

¿ ab,. . . ,anbn) ∈ R n a −b=¿ 1 1

Pr oduc t epe rescal ar s:α ∈ R ;α·a

n = α· a1,. . . ,α· a n) ∈ R ¿

3.Pr opi e t at sdel e sope r aci onsdevec t or s Ll eiassoci at i v a:( a +b )+ c

=

b + c ) α a a +¿

+β a

=( α+β)

a Ll eic ommut at i v a: a + b a + 0

= b+a

= a

a - a = 0

α a

+α b

=α( a + b )

α( β a )=( αβ) a 1 a

= a

4.I nt er pr e t aci ógeomèt r i caa R2 Sicons i der em R2 c om elpl axy amb e l sei xosxiyfixat s,un v ect or 2 v1,v2)a R quedar àr e pr ese nt atcom undespl açamentdelpl a a =( del as egüe ntmaner a: ni t at sene lsent i tdel ’ ei xx De spl açamentdev 1u ni t at sene lsent i tdel ’ ei xy De spl açamentdev 2u

Ai xí ,donat sdospunt s ,P=( p1,p2)iQ=( q1,q2) ,e ldespl açamentquepor t a de lpuntPalpuntQ é se lvec t or  = Q – P = ( q p , q p ) PQ 1 1 2 2 5.I nt er pr e t aci ógeomèt r i cadel e sope r aci ons

6.Combi naci ól i neal  ,ser Donat se l sv ec t or s a an combi naci ól i neald’ un t e r c erv ec t or  ib ei xe n: c = α a +β b c ,sicompl l sc oefici ent sdel acombi naci ól i nealent r ea i b . α iβsone i vi m un si s t ema det r esequaci onsqueespot Pe rt r obar α iβ escr r e sol dr et r obantl a sol uci ó de dues ic ompr ov anten l at er cer a o per Gauss( l ’ úl t i mafil ahadedonarz er ope raquesi guic ombi naci ól i neal ) * Espodr i at r obarl acombi naci ól i nealent r et r e sv ec t or si gual antt otal v ec t orz er o. 7.Dependè nci al i ne al Teni ntxv ect or s,di r em ques ón: Li neal mentdepe ndent s:sial gund’ el l sé sc ombi naci ól i nealdel sal t r es. Li neal menti nde pe ndent s:sic apd’ e l l sé sc ombi naci ól i nealdel sal t r es . * Per a que s i gui n l i neal me nt i nde pe ndent se l s coefici ent s de l a c ombi naci ól i nealhandeserdi f e r ent saz er o( α iβ≠ 0) 8.Pr oduc t ee scal ar Elpr oduc t ee scal ardedosv ect or s, a i b ∈ R3 ,esdefine i xcom: n

a · b=∑ ai ·b i=a1 · b1+ a2 ·b 2+ a3 ·b 3 i=1

8. 1.Pr opi e t at s a · b= b· a

a · a ≥0

a · a=0 , a = 0n

a · (b+ c ) =a · b+a · c

α·( a · b ) =(α· a )·b

9.Longi t ud,nor maomòduld’ unv ec t or Lal ongi t ud,nor maomòduld’ un v ec t oré sl adi s t ànci ad’ aques tv ec t or , esde finei xc om: ‖a ‖ =

√ a +a

Pe rnor mal i t z arunvec t or :

2 1

2 2

1

‖a ‖

≥0

·a

Unv ec t oruni t ar ié saque l lquet émòdul1. 10.Angl es Esdemos t r aque: a · b=‖a‖· On α

‖b‖·cos α

ésl ’ angl equef or mene l sv ect or s a i b .

A par t i r d’ ai xò pode m dedui r que per pendi c ul ar s,j aquec os90º =0.

a · b

= 0, a i b

són v ec t or s...