Vektoren-Zusammenfassung PDF

Preview

Summary

Download Vektoren-Zusammenfassung PDF

Description

Mathe Zusammenfassung Vektoren (Geraden,Ebenen)

Formel

Erläuterung (ggf.)

1. Gerade:

 r∗AB  x = OA+ ↓ ↓ Stützvektor Richtungsvektor

Festgelegt durch: -2 Punkte -1 Punkt und eine Richtung

2. Ebene:

Parameterform:  + r∗PQ  + s∗ PR  x = OP ↓ ↓ ↓ Stützv. Richtungsvektoren

Festgelegt durch: -3 Punkte, die nicht gleichzeitig auf 1 Gerade liegen -1 Punkt und 2 Richtungsvekto ren

allgemeine Form (parameterfreie Form): ax + by + cz = d

Parameterform in allg. Form: 1.Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren bilden → Normalenvektor 2. E: n*(x-OP) = 0

allg. in Parameterform: Bsp.: 2x+4y+3z = 12 1. Spurpunkte S1, S2, S3 finden S1 ( x|0|0) S2 ( 0|y|0) S3 (0|0|z) 2x = 12 4y = 12 3z = 12 → x= 6 y=3 z=4  s∗ S1S2  + r∗S1S3  2. E: x =0S1+ −6 −6 6 E: x = 0 + s∗ 3 + r∗ 0 0 4 0

() ( ) ( )

Betrag eines Vektors:

3. Skalarprodukt:

ax  a = ay az

()

2 2 2 ∣a∣= √ ax + ay + az

→

( )( )

Bedingungen: a ≠0   b≠0

ax by ay ∗ by az bz = ax*bx+ay*by+az*bz

 a∗b (∣a∣∗∣b∣)

Bedingung: !immer der kleinere Winkel!

3.1 Winkel zwischen 2 Vektoren

cos γ=

3.2 Orthogonalität (90°) von Vektoren

 a ⊥ b ⇔ a∗b=0

3.3 Der Schnittwinkel 2er Geraden

( ) () ( ) () () ()

2 −1 Bsp: g: x = −1 + t∗ 2 2 −1 −2 3 h: x = −2 + r∗ 3 0 −0 2  1. mg= 2 2

= reelle Zahl

Schritt 1: Winkel zw. Richtungsvekto ren bestimmen 2. Schritt: Bedingung beachten (wenn >90°, dann 180° – Ergebnis)

3  mh= 3 0

 mg∗  mh  mh∣) (∣mg∣∗∣  γ = 35,3° cos γ=

4. Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

4.1 Flächeninhalt v. Körpern • Parallelogramm

 a x b=c =

A P =∣ a x b∣

(

)

a 2∗b3−a 3∗b 2 a 3∗b1−a1∗b3 a 1∗b 2−a 2∗b 1

steht senkrecht a und auf   b

•

Dreieck

4.2 Volumen • eines Spats • eines Prismas (dreiseitige Grundfläche) • Pyramide (4-eckige Grundfläche • Pyramide (3-eckige Grundfläche

5. Normalenvektoren

1 A P = ∣a x b∣ 2

 x AD)∗   V =∣( AB AE∣ 1   )∗ AE∣  V = ∣( AB x AD 2 1 ... 3 1 ... V= 6 V=

Ebene (allg. Form): ax+by+cz=d

()

a n= b →  c  r a + s b (Parameterform): x =OA+  →  n = axb

5.1 Lagebeziehung (mittels Normalenvektor) •

2 Ebenen

Parallelität:

Orthogonalität Schnittpunkt über Schnittgerade:

E 1∥E 2 ⇔ n1=k∗n2

E 1 ⊥ E 2 ⇔ n1∗ n2=0 GTR

cos a= Schnittwinkel:

•

∣n1∗n2∣ (∣n1∣∗∣ n2∣)

n1 : Normalenvektor von E 1 n2 : Normalenvektor von E 2

Gerade + Ebene

Parallelität:

g∥E ⇔ mg∗  n=0

stehen stets senkrecht auf einer Ebene

Durchstoßpunkt:

x1 1 2 g: x = x 2 = −2 + r∗ −1 1 −1 x3

( )( ) ( )

x 1=1+ 2r x 2=−2−r x 3=1−r

↓ in E: x1+x2-x3=1 einsetzen und nach r umstell. r=1,5 → r wieder in g einsetzen D (4 | -3,5 | -0,5)

Schnittwinkel: •

sin a=

∣ u∗n∣ (∣  u∣∗∣ n∣)

u : Richtungsvektor von g   n : Normalenvektor von E

2 Geraden

Testverfahren (parallel,identisch, schneiden sich in 1 Punkt oder windschief):

 , wenn k  = k∗ mh 1. Test: g || h? → mg überall gleich, dann g || h weiter zu 2. Test: g=h? Ortsvektor von g in h einsetzen → wenn r überall gleich, dann g = h falls 1. Test fehlgeschlagen → 3. Test: schneiden sich g und h? → müssen gleichgesetzt werden → t und s einsetzen in letzte Gleichung → wenn f.A. Dann windschief

Schnittpunkt: •

ausgerechnetes t in g; oder s in h einsetzen

Punkt + Ebene

liegt P in E?

Punkt in E einsetzen (in parameter oder allg. F.)

Lotfußpunkt (Schnittpunkt der Lotgeraden):

1. Lotgerade g aufstellen (aus Punkt und Normalenvektor) 2.Schnittpunkt Lotgerade und Ebene → x1,x2 und x3 aus Gerade in Ebene einsetzen → nach s umstellen und zurück in x1,x2 und x3 einsetzen → Lotfußpunkt

Abstand Punkt-Ebene:

Strecke zwischen Lotfußpunkt und Punkt  ∣ =d ∣ LP

Formel, ob Punkt in Ebene (Hesse`sche Normalform der Ebene): (ax+ by+ cz + d ) =0 2 2 2 (√ a + b + c ) Formel, Abstand des Punktes von Ebene: (ax + by+ cz + d ) =d ( P∣E) ( √ a 2+ b 2+ c2 )

∣

Spiegelpunkt:

•

∣

siehe Lotfußpunkt berechnen  ' =OP  + 2∗ PL  danach (3. Schritt): OP

2 Punkte

Abstand:

∣ A B∣

Spiegelebene: 1. Mittelpunkt zw. Punkt und Spiegelpunkt 2. Normalenvektor der Ebene berechnen (  n  ' ) =Vektor PP 3. mithilfe von n Koordinatenform aufstellen → d fehlt noch  einsetzt 4. d ausrechnen, indem man OM •

Punkt + Gerade

liegt der Punkt auf der Geraden? Punkt in Gerade einsetzen Abstand:

1. [(OV) + r* (RV) – ( ) ] * (RV) = 0! Gerade Pkt. 2. → nach r umstellen und in g einsetzen = Lotfußpunkt L  → anschließend Betrag bilden 3. LP...