Wahrscheinlichkeitsrechnung PDF

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HS 17...

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Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhalt Begriffe............................................................................................................................................................................2 Wahrscheinlichkeit..........................................................................................................................................................2 Klassische Wahrscheinlichkeit.....................................................................................................................................2 n-Permutation.........................................................................................................................................................2 k-Permutation..........................................................................................................................................................2 Kombination............................................................................................................................................................2 Statistische (frequentistische) Wahrscheinlichkeit......................................................................................................2 Subjektive Wahrscheinlichkeit.....................................................................................................................................2 Grundregeln....................................................................................................................................................................3 Wahrscheinlichkeitstabelle..........................................................................................................................................3 Baumdiagramm...........................................................................................................................................................3

Begriffe Zufallsexperiment

Prozess, der zu einem zufälligen Ausgang führt

Stichprobenraum

S/Ω

Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments

Ereignis

Teilmenge des Stichprobenraums

Elementarereignis

Kleinstes, nicht zusammengesetztes Ereignis eines Zufallsexperimentes

Schnittmenge

A∩B

Disjunkte Ereignisse

Menge aller Elementarereignisse, die zu A und B gehören Schnittmenge A∩ B ist leer (auch unvereinbare Ereignisse)

Vereinigungsmenge

A∪B

Erschöpfend

Menge aller Elementarereignisse, die zu A oder B gehören Ereignisse sind Erschöpfend wenn E1∪E2∪E3…=S

A´

Komplement Wahrscheinlichkeit

P(A)

Menge aller Elementarereignisse in S, die nicht zu A gehören Einstufung des Grades an Gewissheit mit der Ereignis A eintritt, zwischen 0 und 1

Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit P(A) ist eine Einstufung des «Grades an Gewissheit» mit der ein Ereignis A eintritt. P(A) ist eine zwischen 0 und 1 normierte Zahl, wobei 0 unmöglich ist und 1 sicher. Es gibt drei Methoden zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines unsicheren Ereignisses.

Klassische Wahrscheinlichkeit Die klassische Wahrscheinlichkeit wird anhand der Formel

P ( A )=

Anzahl Ergebnisse ,bei denen A eintritt A = S Anzahl aller gleichmöglichen Ergebnisse

berechnet. Um die Anzahl aller gleichmöglichen

Ergebnisse zu bekommen, rechnet man entweder mit Permutationen oder mit der Kombination. Angenommen wir wählen k aus total n Objekten aus. Die Anzahl Möglichkeiten hängt davon ab, wie gezogen wird und ob die Reihenfolge eine Rolle spielt.

n-Permutation Die Anzahl Möglichkeiten, n Objekte anzuordnen beträgt n! (n Fakultät ) = n (n-1) (n-2) … Beispiel: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Beispiel: 0! = 1 (per Definition)

k-Permutation Die Anzahl Möglichkeiten, aus n Objekten k Objekte auszuwählen (und n – k Objekte nicht zu wählen) und anzuordnen beträgt

Pnk=

n! ( n−k ) !

Kombination n

Die Anzahl Möglichkeiten, aus n Objekten k auszuwählen wo die Anordnung irrelevant ist beträgt

¿= k

n! k ! ( n−k ) ! ¿ 2

Statistische (frequentistische) Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A, wenn n sehr gross wird.

P ( A )=lim n→∞

nA n

Subjektive Wahrscheinlichkeit Eine individuelle Meinung oder ein Glaube bezüglich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses.

Grundregeln Gegenwahrscheinlichkeit

´ )=1−P (A ) P( A

Additionssatz

P ( A ∪ B )=P ( A ) +P ( B )−P( A ∩ B)

Multiplikationssatz

P ( A ∩ B) =P ( A| B )∗ P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P ( A|B ) =

Stochastische Unabhängigkeit

P ( A ∩ B) =P ( A )∗ P ( B )

P (A ∩B) P(B)

Falls A und B unabhängig sind gilt

P ( A|B ) =P ( A ) oder

P ( B|A ) =P(B)

Wahrscheinlichkeitstabelle Rand- und gemeinsame Wahrscheinlichkeiten für zwei Ereignisse A und B können in einer Tabelle zusammengefasst werden. Sie ist hilfreich beim Lösen von Aufgaben mit Schnittmengen oder Abhängigkeiten.

Baumdiagramm Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Baumdiagramme zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente eingesetzt.

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