Zmienne losowe - dyskretne PDF

Preview

Summary

Download Zmienne losowe - dyskretne PDF

Description

Zmienne losowe Dla określenia zmiennej losowej potrzebna jest znajomość tzw. trójki probabilistycznej. Załóżmy, że dana jest przestrzeń probabilistyczna (E, S, P). Zmienną losową X nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i mierzalną względem ciała zdarzeń S: X :E  R, która każdemu zdarzeniu elementarnemu eE przyporządkowuje liczbę rzeczywistą X(e)R Jest zmienną, która w wyniku doświadczenia (losowego) przyjmuje jedną i tylko jedną wartość ze zbioru wszystkich wartości, jakie zmienna ta może przyjąć. Jest to wielkość, która na skutek przeprowadzonego doświadczenia przyjmuje określoną wartość, znaną dopiero po wykonaniu tego doświadczenia (oznaczenie: X, Y, wartości, jakie przyjmuje: x, y). Wzajemne przyporządkowanie zmiennych losowych i zdarzeń jest jednoznaczne, Rodzaje zmiennych losowych:  skokowa (dyskretna) – jest to zmienna, która posiada skończony lub policzalny zbiór wartości, najczęściej są to liczby naturalne (np. liczba oczek wyrzucona za pomocą kostki do gry),  ciągła – jest to zmienna, która może przybierać dowolne wartości liczbowe (rzeczywiste) z pewnego przedziału, nieskończonego i niepoliczalnego (np. stężenie procentowe roztworu). Zmienna losowa skokowa Dla zmiennej losowej skokowej X, która przybiera wartości: x1, x2, ..., xn i odpowiadającym i prawdopodobieństwom p1, p2, ..., pn, definiuje się funkcję rozkładu prawdopodobieństwa jako: 

P (X  xi )  pi

p

i

1

i 1,2,  , n

i 1

Dystrybuantą zmienne losowej X nazywany funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x, która wyznacza prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie w uporządkowanym zbiorze x1 ≤ x2 ... ≤ xi ≤ ...xn-1≤ xn wartość mniejszą od x: F ( x )  P( X  x) dla każażde x  R Dla zmiennej losowej skokowej:

p

F ( x)  P( X  x) 

i

X x

Własności dystrybuanty: 

przyjmuje wartości z przedziału 0 ≤ F(x) ≤ 1 dla x  (–;+);



jest funkcją niemalejącą, tzn. dla x1 < x2 zawsze F(x1) ≤ F(x2);



jest funkcją lewostronnie ciągłą;



lim F ( x ) 0 oraz lim F ( x) 1 . x

x  

Przykład 1 Rzucamy trzykrotnie monetą. Zmienną losową oznaczamy liczbę uzyskanych orłów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych E = {(RRR), (ROR), (RRO), (ORR), (OOO), (ROO), (OOR), (ORO)} i 1 2 3 4

Wartość zmiennej losowej xi 0 1 2 3

P(X = xi) P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3)

Prawdopodobieństwo pi 1/8 3/8 3/8 1/8

Dystrybuanta zmiennej losowej:

0 dla x 0    1/ 8 dla 0 x 1 F ( x) 4 / 8 dla 1  x 2 7 / 8 dla 2  x 3  1 dla x  3 pi

pi 1

3/8

6/8 4/8

1/8

2/8

0

1

2

3

0

xi

P(X = 2) = 3/8 P(X ≤ 2) = 4/8 P(X < 2) = 1/8

1

2

3

4

xi

P(X > 2) = P(X > 3) – P(X ≤ 3) = 1 – 7/8 = 1/8 P(X  2) = P(X > 3) – P(X ≤ 2) = 1 – 4/8 = 6/8

Parametry zmiennej losowej lub parametry rozkładu zmiennej losowej są to liczby charakteryzujące wartości, jakie może przybierać zmienna losowa. Wartość oczekiwana (przeciętna) E(x) – jest to wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnego powtarzania eksperymentu. Wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej: n

E ( X )  xi p i – gdy zmienna X przyjmuje n wartości, i 1 

E(X ) 

x p i

i

– gdy zmienna X przyjmuje przeliczalnie wiele wartości.

i 1

Właściwości:  wartość oczekiwana stałej równa się tej stałej: E(C) = C; wartość oczekiwana dwóch zmiennych losowych X i Y równa się sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych: E(X+Y) = E(X) + E(Y);  jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to wartość oczekiwana iloczynu zmiennych jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych tych zmiennych: E(XY) = E(X)E(Y)  wynika stąd również zależność: E(CX) = E(C)E(X) = CE(X) 



Wariancja zmienne losowej V(X) – miara rozproszenia wartości zmiennej wokół średniej, jest to wartość oczekiwana kwadratu różnicy tej zmiennej i wartości oczekiwanej E(X): V ( X )  E[ X  E ( X )] 2 V ( X ) E ( X 2 )  E ( X )2

Wariancja zmiennej losowej skokowej:

n

 x 

V(X ) 

i

E( X )  pi 2

i 1 n

V (X )  xi 2 pi  E (X )

2

i 1

Własności wariancji:  wariancja stałej równa się zeru:  

V(C) = 0; wariancja iloczynu stałej i zmiennej losowej: V(CX) = C2V(X); jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to wariancja sumy (różnicy) tych zmiennych jest równa: V(X  Y) = V(X) + V(Y).

Odchylenie standardowe s zmiennej losowej:

s  V(X)

Współczynnik zmienności vs:

vs 

Współczynnik skośności As:

As

s E( X )

 x 

i

 E ( X )  pi 3

s3

Medianą Me zmiennej losowej X – nazywamy wartość x, która spełnia układ równań: 1 1 P( X  x)  i P( X  x )  2 2 Modalną Mo zmiennej losowej X – nazywamy wartość x, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji. Przykład 2 Rzucamy trzykrotnie monetą. Zmienną losową oznaczamy liczbę uzyskanych orłów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych E = {(RRR), (ROR), (RRO), (ORR), (OOO), (ROO), (OOR), (ORO)}. Rozkład prawdopodobieństwa: xi 0 1 2 3 pi 1/8 3/8 3/8 1/8 E(X) = 01/8 + 13/8 + 23/8 + 31/8 = 12/8 = 1,5 V(X) = (0 – 1,5)21/8 + (1 – 1,5)23/8 + (2 – 1,5)23/8 + (3 – 1,5)21/8 = 0,75 s  0,75 0,87

Zmienna losowa ciągła Dla zmiennej losowej ciągłej nie jest możliwe przypisanie wszystkim jej wartościom dodatnich prawdopodobieństw sumujących się do jedności. Można jednak przyporządkować prawdopodobieństwa przedziałom liczbowym: P(x < X < x+ x) gdzie x jest długością przedziału o początku w x. Jeżeli  x  0 oraz istnieje granica funkcji f(x) w postaci:

lim Δx 0

P (x  X  x  Δx )  f (x ) Δx

to granicę tę nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartość z przedziału (a, b) – skończonego lub nieskończonego – jest całką funkcji gęstości prawdopodobieństwa w tym przedziale: b

P( a X b) P( a  X b) P( a X  b)  P(a  X  b) f ( x) dx a

Jeżeli zmienna losowa X przybiera wartości z przedziału skończonego (a, b) lub nieskończonego (– , + ) to funkcja f(x) musi spełniać warunek:

b



f ( x)dx 1

f ( x) 0

f

( x )dx 1

 

a

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ciągła X przyjmie dokładnie wartość a (gdzie a jest dowolną stałą) jest równe zeru: a

P( X  a) lim P( a  X  b)  f ( x) dx 0 b a a

Nie oznacza to, że zdarzenie x = a jest niemożliwe, jest tylko bardzo mało prawdopodobne, ponadto, prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość inną niż x = a jest równe jedności, co nie świadczy o tym, że jest ono pewne, jest tylko wysoce prawdopodobne. Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej F(x)=P(X 0,6)

1 – F(0,6) = 1 – 0,36 =

1



1 P (X  0,6)  2xdx x 2

1 0, 6

1  0,36 0,64 = 0,64

0, 6



0





1



0

1

E ( X )  x f ( x )dx  0dx  2x 2 dx  2

0dx 0  2 2

4 1

x  2  2 V ( X ) x 2 2 xdx    2x 3dx     2 4  3  3 0 0 1

1

 0

x3 3

1

0

 2 1  0 2  0    3 3

4

2 4 2    9 4 9 36

2  0,236 36 0,236 0,354 35, 4% As  2/ 3

s

1 1 stąd czyli Me = 0,71 x 2 2 Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartości mniejsze od 0,71 z prawdopodobieństwem 0,5.

Mediana: x 2 

Drugi parametr pozycyjny, modalna nie istnieje, gdyż funkcja f(x) nie ma maksimum.

Rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład zero-jedynkowy (dwupunktowy) Zmienna losowa X przyjmuje dwie wartości x1 = 1 z prawdopodobieństwem

i

x2 = 0

P(X=x1=1) = p

i

P(X=x2=0) = q

Rozkład zero-jedynkowy: 1 P (X  k )  p k q  k

gdzie k=x1=1 lub k=x2=0 oraz 0 0). Rozkład Poissona:

P ( X k ) 

mk m e k!



Dystrybuanta:

F ( x) 

Wartość oczekiwana: Wariancja:

E ( X ) m

e m

k x

mk k!

s 2 V ( X ) m

Rozkład Poissona jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, zachodzącym wtedy, gdy prawdopodobieństwo p sukcesu jest małe, a liczba realizacji n na tyle duża, że np = m. Rozkład Poissona stosuje się jako przybliżenie rozkładu dwumianowego, gdy:  prawdopodobieństwo sukcesu jest mniejsze niż 0,2;  liczba doświadczeń jest równa co najmniej 20. Przykład 5 Stwierdzono w pewnym wydawnictwie, że ich zecerzy popełniają średnio 1,5 błędu na jednej stronie. Obliczyć prawdopodobieństwa wystąpienia od 0 do 10 błędów na jednej stronie.

P ( X 0) 

1,5 0  1, 5 e 0,233 0!

P( X 5) 

1,55  1,5 e 0,014 5!

prawdopodobieństwo

Rozkład Pois sona 1 0,8 0,6

p(x)

0,4 0,2 0

F(x) 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

liczba błędów na stronie

Funkcja standardowa programu Excel związana z rozkładem Poissona...