01. Triángulos I - Propiedades Básicas PDF

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primera practica donde se tocaran los propiedades básicas...

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Prof. Juan Manuel Cajahuanca Loli

“EL ÁMBITO DE LAS MATEMÁTICAS GRIEGAS” Los lugares que guardan relación con las luminarias matemáticas de la Antigua Grecia son: De Oeste a Este; Élea (Zenón), Crotona (Pitágoras), Siracusa (Arquímedes), Mileto (Tales) y Alejandría (Euclides, Apolonio e Hipatia)

GEOMETRÍA

Prof. Juan Manuel Cajahuanca Loli

Definición de Geometría Geometría demostrativa primitiva. Primeros problemas geométricos Modernos avances Geometría Analítica Estudio de Triángulos Definición de triángulo Triángulo planos Triángulos esféricos

GEOMETRIA

(del griego geo, “tierra”, metrein “medir”), rama de las matemáticas que se ocupa

de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea. 

GEOMETRÍA DEMOSTRATIVA PRIMITIVA El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquina de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo es este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como artistas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos

GEOMETRÍA

Prof. Juan Manuel Cajahuanca Loli Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

GEOMETRIA ANALÍTICA , rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. En la fig, el punto A está a 1 unidad del eje vertical (y) y a 4 unidades de horizontal (x). Las coordenadas del punto A son por tanto 1 y 4, y el punto queda fijado dando las expresiones x = 1 , y = 4. Los valores positivos de x están situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; los valores positivos de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los tros dos en el punto de intersección.

TRIÁNGULO

, figura geométrica formada por tres puntos, llamados vértices, unidos por

tres lados. En la geometría plana Euclidea, los lados deben ser segmentos rectilíneos, como en la figura 1. En la geometría esférica, los lados son arcos de circunferencias máximas, como en la figura 10. El término triángulo se puede utilizar también para describir una figura geométrica con tres vértices cuyos lados son curvas cualesquiera, como la de la figura 11.

TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

, Muchas de las

propiedades

de los

triángulos planos son análogas en los triángulos esféricos; sin embargo, hay diferencias importantes entre los dos tipos. Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo esférico puede ser cualquier valor entre 180º y 540º, dependiendo del tamaño y la forma del triángulo. Un triángulo esférico con uno o dos o tres ángulos rectos se denomina rectángulo, birrectángulo o triángulo respectivamente. Un triángulo esférico con que uno, dos o tres lados son cuadrantes (cuarto de circunferencia máxima de la esfera) se denomina triángulo cuadrante, bicuadrantal o tricuadrantal.

GEOMETRÍA

Prof. Juan Manuel Cajahuanca Loli

SEMANA Nº 1

TRIÁNGULOS I – PROPIEDADES BÁSICAS DEFINICION



-

Medida de los ángulos externos : x, y, z. Perímetro de la región triangular ABC (2p∆ABC)

Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.

2p∆ABC = a + b + c

B

-

Semiperímetro de la región triangular ABC(P∆ABC)

(P∆ABC) = C

A

Elementos :

Notación :

Vértices : A, B y C

Triángulo :

Lados :



 ABC ;

AB, BC y AC

a bc 2

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO. TEOREMA 1

∆ABC



REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO.

En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180º.

B

C

Región exterior relativa a



Región Interior Región exterior relativa a BC

AB

 A A

C

Región exterior

 C

En el ∆ABC, se cumple :  +  +  = 180º

relativa a AC

En la figura se indican las regiones que se han determinado respecto al triángulo ABC. ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL TRIÁNGULO.



B

B

a



x

º



A

C z

b

Medida de los ángulos internos : , , .

GEOMETRÍA

En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

º

c

-

TEOREMA 2

Y 





A

En el ∆ABC, se cumple :

C

x=+

Prof. Juan Manuel Cajahuanca Loli



TEOREMA 3

PROPIEDADES ADICIONALES



B

En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores tomados uno por vértice es igual a 360º. B



x=++

y

D 

x

A

C

x

En la figura se cumple:

C

A

z

C

B

En el ∆ABD, se cumple : x + y + z = 360º

x







TEOREMA 4

+=x+y

O

En todo triángulo de un lado es mayor que la longitud se le opone al ángulo de mayor medida y viceversa (propiedad correspondencia).

 y A

B

En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo interior opuesto por el vértice.

a

c

D

Se cumple : 



A

x B

C

C 

b

En el ∆ABC, si : a > b Entonces :  > 

x+y=+ 



TEOREMA 5

y

A

En todo triángulo de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (propiedad de existencia).

D

En la figura se cumple : B

B p < PA + PB + PC < 2p a

c

A

P

C b

En el ∆ABC : a > b > c

A

C En la figura, P es un punto inferior al ∆ABC, se cumple :

Se cumple : b–c...