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Modulo 2 - Lectura 2...

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Principio de casillas

¿Qué es el principio del palomar?

Referencias

LECCIÓN 1 de 2

¿Qué es el principio del palomar?

El principio del palomar o principio de las casillas es una proposición matemática que nos permite asegurar la veracidad de algunas afirmaciones. En esta lectura, vamos a dar varios ejemplos de aplicación de este principio, ya que, si bien su enunciado es muy sencillo de entender, se puede aplicar a problemas de diversas índoles.

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La primera enunciación del principio del palomar fue hecha por el matemático alemán Joham Dirichlet en 1834, aunque se refirió a él como Schubfachprinzip (principio del cajón).

Enunciado

Si m objetos (que puede pensarse como m palomas) son distribuidos en n casillas(que puede pensarse como n lugares) y m > n, entonces por lo menos una casilla recibe al menos dos objetos, que es lo mismo que decir que hay un lugar con al menos 2 palomas.

Figura 1 : Principio de las casillas o principio del palomar

Fuente: [Imagen sin título sobre principio del palomar]. (s. f.). Recuperado de https://goo.gl/wKPrAr

Apliquemos el principio a este caso: si tenemos 10 palomas, podemos asegurar que va a existir una casilla con dos palomas por lo menos. Para asegurar esto, debemos tener 10 o más palomas, ya que contamos con solo 9 casillas. En este caso, n = cantidad de casillas = 9, si m = cantidad de palomas = 10 o más, se va a cumplir el principio de las casillas (o principio del palomar).

Ejercicios

Figura 2: Problema del día de cumpleaños

Fuente: Adaptado de Nik, s. f., https://goo.gl/5JbsYH

En un grupo de oficina hay 8 personas y quieren saber si sus cumpleaños caen en diferentes días de la semana. ¿Es posible esto?

Para demostrar esto, se puede suponer que todas las personas cumplen años en días distintos, pero como hay solo 7 días de la semana, la octava persona va a repetir un día en el que alguna otra de las 7 personas anteriores cumpla años.

Utilizando el principio, sería:

n = día de la semana = 7,

m = persona de la habitación = 8.

Entonces una de las casillas recibe, al menos, dos objetos.

¿Cuántas veces debemos tirar un solo dado para obtener el mismo resultado?

Puede ser que el azar haga que con 2 tiradas obtengamos el mismo resultado, pero no podemos asegurar que ello ocurra.

En este caso, n = 6 (los posibles números del dado). Entonces m debe ser igual a 7, y m es la cantidad de veces que lanzó el dado. Luego, si lanzamos 7 veces un dado, podemos “asegurar” que por lo menos una vez obtenemos el mismo resultado.

Figura 3: Las caras de un dado

Fuente: [Imagen sin título sobre caras de un dado]. (s. f.). Recuperado de https://goo.gl/1tyqRb

Cualquier subconjunto de tamaño 6 del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} debe contener dos elementos cuya suma es 10. Justificarlo.

Este problema es más elaborado que los anteriores. No se hace tan obvio cuáles son las casillas y cuáles las palomas.

Primer paso: determinemos las casillas. Buscamos los números que suman 10. Como el 5 necesita otro 5 para sumar 10, va a quedar solo.

Segundo paso: las palomas son los 6 números desconocidos que vamos a extraer del conjunto. Cada número que extraigamos va a ir a la casilla donde está su símbolo, y como hay 5 casillas, puedo “asegurar” que una casilla va a tener 2 palomas (y no puede ser la casilla del 5 porque está ese número solo).

Un dato curioso que publicó una revista es que una persona puede tener a lo sumo 200.000 cabellos( habría que calcular la superficie de la cabeza y medir el grosor de un cabello…),¿Hay posibilidad de que dos personas diferentes tengan la misma cantidad de callos en una ciudad de 200.001 habitantes?

Podemos asegura que sí es posible. Las palomas son las 200.001 personas y las casillas son las cantidades de cabellos (0,1,2,...,200.000). A cada "paloma" le corresponde una de esas casillas. Como hay más palomas que casillas, hay alguna (cantidad) con más de una paloma (habitante).

El principio del palomar se ha utilizado en aplicaciones que abarcan desde la comprensión de datos informáticos hasta problemas de conjuntos infinitos que no pueden relacionarse por una correspondencia biunívoca. También se utiliza en aplicaciones de probabilidad.

¿Podemos demostrar que hay dos personas con la misma cantidad de pelos? En el siguiente video, podremos observar y responder a este interrogante.

¿Cuántas personas tienen el mismo número de pelos en L…

Fuente: Derivando.; [ Derivando]. (2015, Abril 6). ¿Cuántas personas tienen el mismo número de pelos en Logroño?; [Youtube]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=77VWa8PjVnA

LECCIÓN 2 de 2

Referencias

Biggs, N. L. (1993). Discrete Mathematics. Oxford University Press.

[Imagen

sin

título

sobre

principio

del

palomar].

(s.

f.).

Recuperado

de

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Pigeons-in-holes.jpg/220px-Pigeons-in-holes.jpg

Nik.

(s.

f.).

Evolución

del

estado

de

ánimo

en

la

semana

https://sites.google.com/site/elespanolyyo/_/rsrc/1347788492615/los-das-de-lasemana/dias%20de%20la%20seman.png

Pickover, C. A. (2012). El libro de las Matemáticas. Holanda: Librero.

[viñeta].

Recuperado

de...