06 - ejercicios-calculo-de-estructuras-metodo-matricial PDF

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1. TEMA 5. MÉTODO MATRICIAL

1.1 Ejercicios resueltos 1 . En l a c ubi e r t a de l a f i g u r a , de t e r mi a r e l v a l o r de l os mome nt o s e n l os e x t r e mos de l a s ba r r a s , a s í c omo e l mome nt o má x i mo e n e l l a s . ( E=2. 1· 10 1 1 N/ m2 , I =6800 0 c m4 , A=56 c m2 )

1m

EI, A

1m

EI, A

2.5 m

2 kN/m

3 kN/m

2EI, A

4.5 m

En primer lugar, definimos los nudos y los grados de libertad de la estructura. 8 7 9 5 C 4

6

11 10

12 D

B

2 1

3 A

Las características necesarias para calcular las matrices de rigidez se resumen en la tabla siguiente. BARRA

L (m)

I (cm4)

A(cm2)

ANGULO

AB

2.5

136000

56

90

BC

2

136000

56

90

BD

4.61

68000

56

12.5288

CD

4.61

-

56

-12.5588

Teoría de Estructuras I

Calculamos las matrices de rigidez de los distintos elementos,

Sistema local de los elementos AB y BC 4 5 B

6

4

5

C

6

1 1

2

2 3

3

A

B

Elemento AB,

k AB

470.4 0 0 -470.4 0

0 219.3408 274.1760 0 -219.3408

0 -470.4 0 0 -219.3408 274.1760

0 274.176

456.9600 0 -274.1760

228.48 0 -274.176

0

274.1760

228.4800

0 -274.1760 470.4 0 0 219.3408 0

-274.1760

456.96

que en coordenadas globales es,

K AB

A. Carnicero

219.3408

0

-274.176

0

470.4

0

-274.1760 -219.3408

0 0

0

-470.4

-274.1760

0

-219.3408 0 0

456.96 274.1760 274.176 219.3408 0 228.48

0 274.1760

-274.176

-470.4

0

0 0

228.48 274.176

470.4

0

0

456.96

2

El método matricial

Sistema local de los elementos BD y CD

5

2

4

3

6

C

D

1

2

6

1

D

3 B

5

4

Elemento BC,

kBC

588 0 0

0 0 -588 0 428.4 428.4 0 -428.4 428.4 571.2 0 -428.4

428.4

285.6

0 0 428.4 -428.4

-588 0 0 588 0 -428.4 -428.4 0 0

0 428.4

285.6 0

-428.4

571.2

que en coordenadas globales es,

428.4 0 -428.4 -428.4

K BC

0

-428.4

0 588 0 -428.4 0 571.2

0 -588 428.4 0

0 285.6

-428.4 0 428.4 0 -588 0

428.4 0

0 588

428.4

-428.4 0

428.4

0

571.2

285.6

0

Elemento BD,

kBD

255.1102

0

0 0

17.4933 40.32

0 40.3200 123. 9107

-255.1102 0 0 0 -17.4933 -40.32 0

40.32

61.9553

-255.1102

0

0

0

-17.4933

40.32

0 -40.3200 255.1102 0 0 17.4933 0

61.9553 0 -40.32

-40.3200 123.9107

que empleanto la matriz de rotación

A. Carnicero

3

Teoría de Estructuras I

0.9762 0.2169 -0.2169 0.9762 R

BD

0 0

0 0

0

0

0

0

0 0

0 0

1 0

0 0.9762

0 0.2169

0 0

0

0

0

-0.2169

0.9762

0

0

0

0

0

0

1

permite obtener la matriz de rigidez en coordenadas globales,

243.9283 50.3189 -8.7466 -243.9283 -50.3189 -8.7466 50.3189 28.6752 39.3599 -50.3189 -28.6752 39.3599 K BD

-8.7466 39.3599 123.9107 8.7466 -39.3599 61.9553 -243.9283 -50.3189 8.7466 243.9283 50.3189 8.7466 -50.3189 -28.6752 -39.3599 50.3189 28.6752 -39.3599 -8.7466 39.3599 61.9553 8.7466 -39.3599 123.9107

Elemento CD. Este elemento solo puede trabajar a tracción o compresión (está articulado en los extremos y no tiene cargas transversales o momentos aplicados) por lo que su matriz en coordenadas locales es,

k CD

255.1102 -255.1102 -255.1102 255.1102

que en coordenadas globales es

KCD

243.1050 -54.0233 -243.105 54.0233 -54.0233 12.0052 54.0233 -12.0052 -243.1050 54.0233 243.1050 -54.0233 54.0233 -12.0052 -54.0233

12.0052

matriz a la que se llego por medio de

RCD

0.9762 -0.2169 0

0 0

0.9762

0 -0.2169 Luego las matrices de rigidez de los distintos elementos ya están calculadas. Las ensamblamos ahora para obtener la matriz de rigidez global de la estructura,

A. Carnicero

4

El método matricial

-274.1760 0 456.9600 274.1760 0 228.4800 0 0 0 0 0 0

0 470.4 0 0 -470.4 0 0 0 0 0 0

219.3408 0 -274.1760 -219.3408 0 -274.1760 0 0 0 0 0 0

0 -470.4 0 50.3 1087.1 39.4 0 -588 0 -50.3 -28.7 39.4

-219.3408 0 274.1760 891.6691 50.3189 -162.9706 -428.4 0 -428.4 -243.9283 -50.3189 -8.7466

-274.2 0 228.5 -163 39.4 1152.1 428.4 0 285.6 8.7 -39.4 62

0 0 0 -428.4 0 428.4 671.5050 -54.0233 428.4 -243.1050 54.0233 0

0 0 0 0 -588 0 -54.0233 600.0052 0 54.0233 -12.0052 0

0 0 0 -428.4 0 285.6 428.4 0 571.2 0 0 0

0 0 0 -243.9283 -50.3189 8.7466 -243.1050 54.0233 0 487.0333 -3.7045 8.7466

0 0 0 -50.3189 -28.6752 -39.3599 54.0233 -12.0052 0 -3.7045 40.6804 -39.3599

0 0 0 -8.7466 39.3599 61.9553 0 0 0 8.7466 -39.3599 123.9107

Vector desplazamiento El vector de desplazamiento es

U

0,0,0,U4 ,U5 ,U6 ,U7 ,U8 ,U9 ,U10 ,U11 ,U12

t

Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver tendrá 9 ecuaciones. Vector de cargas El vector de cargas de los elementos AB y BC, se puede escribir directamente en coordenadas globales como

ql ql 2 ql ql 2 ,0, , ,0, 2 12 2 12

F

t

que sustituyendo para cada una de las barras

2.5·10 3 ,0,1.0416·10 3 , 2.5·10 3 ,0, 1.0416·10 3·10

F AB

3

FBC

4

3

2·10 ,0,6.6666·10 , 2·10 ,0, 6.6666·10

3

t

4 t

El vector de carga del elemento BD, es más cómodo escribirlo en coordenadas locales y pasarlo despues a globales.

f BD

3

3

-3

-3

3

0,6.9146·10 ,5.3125·10 ,0,6.9146·10 , 5.3125·10

3 t

El vector de cargas se calcula como

FBD

t

RBD fBD

-3

-3

-3

-1.5·10 ,6.75·10 ,5.3125·10 , 1.5·10 ,6.75·10 ,-5.3125·10

-3 t

Ensamblando estos vectores se obtiene el vector de esfuerzos de empotramiento

A. Carnicero

5

Teoría de Estructuras I

2.5·10 0

3

3

2.5·10 0 3 1 .0416·10 3 6·10 -3 6.75·10

3

1.0416·10 3 3 -3 2.5·10 2·10 -1.5·10 -3 6.75·10 Femp

1.0416·10

3

4

6.6666·10 2·10 3 0 6.6666·10

5.3125·10

-3

4.9375·10 3 2·10

-3

0 6.6666·10

4

-3

4

-3

-1.5·10 -3 6.75·10 -3 -5.3125·10

-1.5·10 -3 6.75·10 -3 -5.3125·10

Restando este vector al de las cargas aplicadas en los nudos, se tiene el vector de cargas a introducir en el sistema ecuaciones.

F

Fn

Femp

R1 R2 R3

2.5·10 3 0 1.0416·10 3

0 0

6·10 3 6.75·10 -3

0

4.9375·10-3 2·10 3 0

0 0 0 0

6.6666·10 -1.5·10-3

4

6.75·10 -3 -5.3125·10 -3

0 0

Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver para calcular los desplazamientos es 0.8917 0.0503 -0.1630 -0.4284 0 -0.4284 -0.2439 -0.0503 -0.0087 0.0503

1.0871

0.0394

0

-0.1630 0.0394

1.1521

0.4284

-0.4284 0 10 · 0 -0.5880 3

-0.4284

0

-0.2439 -0.0503

0

0.4284 0.6715 -0.0540 0 -0.0540 0.6000 0.2856

0.4284

0.0087 -0.2431

-0.0503 -0.0287 -0.0394 -0.0087 0.0394 0.0620

A. Carnicero

-0.5880

0

U4

6·10 3

0

-0.0503 -0.0287

0.0394

U5

-6.75·10-3

0.2856

0.0087 -0.0394

0.0620

U6

4.9375·10 -3

0 0

U7 U8

2·10 0

0

U9

6.6666·10

0.0087

U10

1.5·10-3

-0.0037 0.0407 -0.0394 0.0087 -0.0394 0.1239

U 11 U12

-6.75·10 5.3125·10-3

0.4284 -0.2431 0.0540 0 0.0540 -0.0120 0.5712

0.0540

0

0.0540 -0.0120 0 0

0 0

0

0

0.4870 -0.0037

3

-3

6

4

El método matricial

Resolviendo el sistema de ecuaciones se calculan los desplazamientos desconocidos. U4 = 5.5439·10-4 U5 = -2.8699·10-5 U6 = -4.0886·10-4 U7 = 1.4641·10-3 U8 = -3.1854·10-5 U9 = -4.766·10-4 U10 = 1.0112·10-3 U11 = -2.224·10-3 U12 = -4.8237·10-4

Conocidos los desplazamientos, calcular esfuerzos en las distintas barras es sencillo.

A. Carnicero

7

Teoría de Estructuras I

2. Ob t e ne r l os de s pl a z ami e nt os de s c on oc i dos y di buj a r l o s e s f u e r z o s e n l a s ba r r a s AB y EF.

200

200

400 F E

G

H 300

D

B

I

RESTO DE ELEMENTOS A=164 cm2 I=147361 cm4

A

300

20 kN/m

10kN A=20 cm2 C

J

Dado que la estructura es simétrica modelamos sólo la mitad e imponemos condiciones de simetría en los puntos que se encuentren sobre el eje de simetría (U7=U16=U18=0).

11 12

14

1 7F 13

10 D

16

18

E 5kN

5 4

6

7 C

B 2 1

3 A

Las matrices de rigides de los elementos BA y DB (con los nudos inicial y final en ese orden, expresando las fuerzas en MN y las longitudes en m) son:

1148

k BA k DB

A. Carnicero

0

0 0

137.5 206.3

-1148 0 0

0 -137.5 206.3

0

-1148 0 206.3 412.6 0 0 -206.3 206.3

1148 0 0

0 -137.5

0 206.3

-206.3

206.3

0 0 137.5 -206.3 -206.3

412.6

8

El método matricial

Siendo su expresión en coordenadas globales (matriz de rotación con =-90º):

KBA

137.5 0.000 206.3 -137.5 0.0000 206.3 0.000 1148 0.0000 0.0000 -1148 0.0000 206.3 0.000 412.6 -206.3 0.0000 206.3

KDB

-137.5 0.000 -206.3 137.5 0.0000 -206.3 0.000 -1148 0.0000 0.0000 1148 0.0000 206.3

0.000 206.3 -206.3

0.0000

412.6

La matriz de rigidez de un elemento de 2 metros de longitud con las características resistentes de los estudiados es:

1722

k

0

0

-1722

0

464.2

464.2

0

-464.2 464.2

0

464.2

618.9

0

-464.2 309.5

-1722 0 0 0 -464.2 -464.2 0

464.2

309.5

0

1722 0

0

0 0 464.2 -464.2

0

-464.2 618.9

Cuya expresión es la misma para coordenadas locales y globales. La matriz de rigidez del elemento BC (no trabaja a flexión) es

kBC

105 -105 -105 105

Dado que el grado de libertad 15 no existe es necesario eliminarlo de las matrices de rigidez de los elementos DE y EF. Para obtener la matriz de rigidez liberada, aplicamos: I

Fa

I

Kal

Fl Kll

0

t

Kaa

Kal K al Kll 0

0 Ua Ul 0

Elemento DE (eliminando el grado de libertad 6)

l

k DE

l

K DE

1722 0 0 -1722 0

0 0 116 232.1 232.1 464.2 0 0 -116 -232.1

-1722 0 0 1722 0

0 -116 -232.1 0 116

Elemento EF (eliminando el grado de libertad 3)

A. Carnicero

9

Teoría de Estructuras I

l

kEF

1722 0 -1722 0 0

l

KEF

0 -1722 0 0 232.1 116 0 -116 0 1722 0 0 -116 0 116 -232.1 232.1 0 -232.1 464.2

Ensamblando los elementos obtenemos la matriz de rigidez global de la estructura 137.5369 0.0000 -206.3054 -137.5369 0.0000 -206.3054 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0000 11480 0.0000 0.0000 -11480 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-206.3054 0.0000 412.6108 206.3054 0.0000 206.3054 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-137.5369 0.0000 206.3054 380.0739 0.0000 0 -105.0000 0 0 -137.5369 0.0000 -206.3054 0 0 0 0 0 0

0.0000 -11480 0.0000 0.0000 22960 0 0 0 0 0.0000 -11480 0.0000 0 0 0 0 0 0

-206.3054 0.0000 206.3054 0 0 825.2216 0 0 0 206.3054 0.0000 206.3054 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -105 0 0 105 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -137.5 0.0000 206.3 0 0 0 1859.5 0.0000 206.3 -1722 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0000 -11480 0.0000 0 0 0 0.0000 12640 232 0 -116 0 0 0 0

0 0 0 -206.3054 0.0000 206.3054 0 0 0 206.3054 232.0936 876.7979 0 -232.0936 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1722 0 0 3444 0 0 -1722 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -116.0468 -232.0936 0 232.0468 0 0 -116.0000 232.1000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1722 0 0 1722 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -116.0000 0 0 116.0000 -232.1000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 232.1000 0 0 -232.1000 464.2000

Imponiendo las CC, la matriz de rigidez Kcc queda 0 0 825.2216 206.3054 0.0000 206.3054 0 0 0

0.0000 380.0739 22960 0.0000 0 0 0.0000 -137.5369 -11480 0.0000 0.0000 -206.3054 0 0 0 0 0 0

-137.5 0.0000 206.3 1859.5 0.0000 206.3 -1722 0 0

0.0000 -11480 0.0000 0.0000 12640 232 0 -116 0

-206.3054 0.0000 206.3054 206.3054 232.0936 876.7979 0 -232.0936 0

0 0 0 -17220 0 0 34440 0 0

0 0 0 0 -116.0468 -232.0936 0 232.0468 -116

0 0 0 0 0 0 0 -116.000 116.000

Vector de desplazamientos El vector de desplazamientos es (el grado de libertad 15 se ha eliminado)

U

0,0,0,U4 ,U5 ,U6 ,0,U10 ,U11 ,U12 ,U13 ,U14 ,0,U17 ,0

t

Vector de cargas El vector de cargas debido a cargas en las barras puede escribirse fácilmente en coordenadas globales como,

FBA

FDB

0.0300

0.0000

0.015

0.0300 0.0000 -0.015

t

Que está asociado a los grados de libertad 4, 5, 6, 1, 2 y 3 en el caso de BA y a 10, 11, 12, 4, 5 y 6, en el caso de DB. Ensamblándolos, tenemos que el vector de cargas debido a cargas en el elemento es:

A. Carnicero

10

El método matricial

0 .0 3 0 0 0 .0 0 0 0 - 0 .0 1 5 0 0 .0 6 0 0 0 .0 0 0 0 0 0 0 F

0 0 .0 3 0 0 0 .0 0 0 0 0 .0 1 5 0 0 0

em p

0 0 0 0

Por lo tanto el vector de cargas se obtiene incluyendo las cargas en los nudos R1 -0.0300 R 2 + 0 .0 0 0 0 R 3 + 0 .0 1 5 -0.0600 0 .0 0 0 0 0 R7+ 0 F

Fn

F emp

-0.0300 0 .0 0 0 0 -0.0150 0 0 R16+ 0 -0.0050 R18+0

El vector de cargas con las condiciones de contorno ya impuestas es, que será el que utilizaremos para resolver el sistema de ecuaciones es:

Fcc

-0.0600

0

0 -0.0300

0

-0.0150

0

0 -0.0050

t

Resolviendo el sistema de ecuaciones

U

Kcc1 Fcc

se obtiene los valores de los desplazamientos desconocidos. Éstos son: U4 = -0.290471·10-3 U5 = -0.004355·10-3 U6 = 0.064250·10-3 U10 = -.038101·10-3 U11 = -0.00871·10-3 A. Carnicero

11

Teoría de Estructuras I

U12 = -0.21890·10-3 U13 = -0.01905·10-3 U14 = -0.48959·10-3 U17=-0.53268·10-3

Cálculo de esfuerzos Conocidos los desplazamientos se pueden calcular los esfuerzos en las barras. Por ejemplo en la barra BA El vector desplazamientos es UBA=(-0.29047·10-3,-0.0043554·10-3,0.06425·10-3, 0,0,0)t Y los esfuerzos producidos por estos desplazamientos son: FBA=KBA· UBA son:

FBA

-0.02669 -0.005 -0.03341 0.02669 0.005 -0.04667

t

A este vector hay que sumarle el vector de esfuerzos de empotramiento perfecto del elemento. Y obtenemos los esfuerzos en los estremos del elemento:

EsfuerzosBA

0.0033047 -0.005 -0.018415 0.056695 0.005 -0.061670

t

Ojo, porque este vector de esfuerzos está calculado en coordenadas globales y asociado a los extremos B y A (en ese orden).

AXIL

FLECTORES

CORTANTE 0.0033 MN

0.018415 MN/m

2

ql 8

0.005 MN

0.06167 MN/m

0.0255MN / m

0.05669 MN

Cálculamos ahora los esfuerzos en los estremos del elemento EF (coordenadas locales y globales coinciden).

A. Carnicero

12

El método matricial

El vector desplazamientos es UEF=( -0.01905·10-3, -0.4895969·10-3,0, -0.532683·10-3,0)t Y los esfuerzos producidos por estos desplazamientos son: FEF=KEF· UEF son:

FEF

-0.032805

0.005

0.032805

-0.005

0.01

t

Que dado que no hay esfuerzos en las barras, nos permiten obtener directamente los esfuerzos en los estremos de la barra.

FLECTORES

CORTANTE

AXIL

0.01 MN/m 0.005 MN

0.0328 MN

Los gráficos siguient...