09 Circuitos de Segundo Orden RLC PDF

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9. CIRCUITOSDESEGUNDOORDENLCY RLC

9.1.

INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior vimos como los circuitos resistivos con capacitancias o los circuitos resistivos con inductancias tienen variables que son calculadas mediante ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora vamos a ver que cuando en el mismo circuito tenemos inductancias y capacitancias las ecuaciones diferenciales resultantes serán de segundo orden, por lo cual los denominamos circuitos de segundo orden. También veremos cómo en circuitos con inductancias y capacitancias la energía almacenada por uno de estos elementos puede ser transferida al otro. Esto puede producir repuestas de tipo oscilatorio, incluso cuando no hay fuentes en el sistema. El procedimiento para encontrar las ecuaciones diferenciales de estos circuitos es el mismo que para los casos de orden uno. La solución de las ecuaciones diferenciales también es muy similar, pero ahora tendremos dos raíces de la ecuación característica, las cuales pueden ser reales diferentes, reales iguales o complejas conjugadas (con parte real igual o diferente de cero). En función de esto tendremos cuatro tipos de respuesta de estado cero: oscilatoria, subamortiguada, sobreamortiguada y críticamente amortiguada. Lo que será un poco más complejo ahora será el cálculo de las condiciones iniciales, ya que necesitaremos adicionalmente las condiciones iniciales de la primera derivada de la variable de interés.

9.2.

CIRCUITOLC–RESPUESTADEENTRADACERO El circuito de la Figura 9-1 muestra un circuito muy simple de segundo orden conformado por una capacitancia y una inductancia. Aunque este circuito no tiene fuentes, puede tener energía almacenada (condiciones iniciales) en cualquiera de los dos elementos o en ambos simultáneamente. La condición inicial del voltaje en la capacitancia nos fija el valor del voltaje en la inductancia, así como la condición inicial de la corriente en la inductancia nos determina la corriente en la capacitancia (pero con signo contrario). Voltaje en la capacitancia Vamos a encontrar la ecuación diferencial del voltaje en la capacitancia y resolverla (respuesta de entrada cero).

Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

Figura 9-1 La ecuaciones que describen el circuito son:

i L = −iC = −C Nodo:

dVC dt

Derivando

di L d 2V C = −C dt dt 2 − VC + VL = 0

VC = VL = L

Malla:

di L dt

=

diL dt

1 1 V L = VC L L

Igualando la derivada de la corriente de la inductancia tenemos:

diL 1 d 2V = −C 2C = VC dt dt L C

d 2V C 1 + VC = 0 dt 2 L

1 d 2VC + V =0 LC C dt 2 Como no hay entrada la respuesta depende exclusivamente de las condiciones iniciales con dos constantes indeterminadas A y B:

V C (t ) = Ae λ1t + Be λ2t Para encontrar la solución homogénea para el voltaje en la capacitancia necesitamos conocer dos condiciones iniciales que pueden ser

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VC (t o ) y

dVC (t o ) dt

.

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9.2. CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO

Para simplificar vamos a suponer que conocemos las condiciones iniciales del − circuito en cero para el voltaje de la capacitancia VC 0 = VC 0 y la corriente en la

( )= i

inductancia i L 0

( )

−

condición inicial de

L0

. A partir de estas condiciones debemos encontrar la

dVC (0) . Para esto hacemos uso de las relaciones entre dt

voltaje y corriente en la capacitancia:

dVC (t ) dt

i C (t ) = C

Despejando la derivada del voltaje tenemos:

dVC (t ) i C (t ) = dt C En el tiempo cero tenemos:

dVC (0 + ) dt

=

i C (0 + ) C

Ahora debemos conocer la corriente inicial en la capacitancia, y teniendo en cuenta que iC = −iL y que la corriente en la inductancia es continua:

dVC (0+ ) iC (0 + ) i (0 + ) i (0 − ) i = =− L =− L = − L0 dt C C C C De manera que ya tenemos las dos condiciones iniciales necesarias para resolver la ecuación:

VC (0 + ) = VC 0

( )

VC′ 0 + =

dV C (0 + ) i = − L0 dt C

Ahora encontramos la ecuación característica a partir de la ecuación diferencial

1 ⎞ ⎛ 2 ⎟VC = 0 : ⎜D + LC ⎠ ⎝

1 ⎞ ⎛ 2 ⎜λ + ⎟ =0 LC ⎠ ⎝ 1 λ2 = − LC La solución tiene por supuesto dos raíces complejas conjugadas:

λ1 = + j λ2 = − j

1 LC 1 LC

Así se obtiene la siguiente solución homogénea: Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

VCh (t ) = Ae λ1t + Be λ2t

VCh (t ) = Ae

j

1 t LC

+ Be

−j

1 t LC

Como no tenemos entrada el voltaje en el condensador es:

VC (t ) = Ae

j

1 t LC

+ Be

−j

1 t LC

Para encontrar las constantes indeterminadas utilizamos las condiciones iniciales:

VC (0 + ) = VC 0 = Ae 0 + Be 0 = A + B Para simplificar digamos que la corriente inicial en la inductancia es cero i L0 = 0 , así que:

( )

VC′ 0 + = −

1 1 i L0 Ae 0 − j Be 0 = 0 ⇒ = j C LC LC

A− B = 0 ⇒

A= B

Reemplazando en la primera condición:

A + A = V C0 V A = C0 2 Solución final: 1

1

−j j t t V V V C (t ) = C0 e LC + C0 e LC 2 2 1 1 t⎞ −j V ⎛ j t = C0 ⎜ e LC + e LC ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ ⎠

Usando la relación de Euler,

e jx = cos( x) + jsen( x); cos( x) =

e jx − e − jx e jx + e − jx ; sin( x) = , 2 2

podemos escribir:

V C (t ) =

VC 0 ⎡ ⎛ t ⎞⎤ 2 cos⎜ ⎟⎥ ⎢ 2 ⎣ ⎝ LC ⎠ ⎦

⎛ t ⎞ VC (t ) = VC 0 cos⎜ ⎟ ⎝ LC ⎠

ω=

1 LC

θ=0

Como se aprecia la respuesta es una señal oscilatoria de tipo AC con la amplitud de la condición inicial. La frecuencia de oscilación depende de los valores de L y C y no de las condiciones iniciales. Otra manera de resolverlo, dado que las raíces son complejas conjugadas, es asumir una solución de tipo senoidal con constantes indeterminadas A y φ :

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9.2. CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO

VC (t ) = A cos(ωt + φ ) con

ω

igual a la parte imaginaria de la raíz

ω=

1 . LC

De manera que VC (t ) = − ωA sen (ωt + φ ) '

Evaluando condiciones iniciales tenemos:

VC (0 + ) = A cos(φ ) = VC 0

A=

VC 0 cos(φ)

VC ' (0 + ) = − ωA sen (φ ) = − sen(φ ) =

iL 0 C

i L0 ωCA

De la segunda ecuación seno se concluye que si i L0 = 0 entonces

φ = 0 , y que

A = VC 0 . Así que VC (t ) = A cos(ωt + φ ) ⎛ t ⎞ VC (t ) = VC 0 cos ⎜ ⎟ ⎝ LC ⎠ tal como lo habíamos encontrado anteriormente. Si la corriente inicial en la inductancia no es cero, un análisis similar nos lleva al siguiente resultado:

⎛ 2 L⎞ ⎛ t ⎞ VC (t ) = VC 0 2 + ⎜ iL 0 + φ⎟ ⎟ ⋅ cos⎜ C⎠ ⎝ ⎝ LC ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ ω CVC 0 ⎠ 1 ω= LC En esta última formulación vemos que si i L 0 = 0 tenemos el mismo resultado ⎛

φ = tan −1 ⎜⎜

iL 0

inicial. Corriente en la inductancia Con el resultado del voltaje sobre el condensador se puede obtener la corriente en la inductancia i L (t ) :

i L = −iC = −C

( )= i

Para el caso en que i L 0

−

L0

dVC dt

tenemos:

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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

iL = − C

d ⎡ ⎛ t ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢VC 0 cos⎜ dt ⎣ ⎝ LC ⎠ ⎦

⎛ VC 0 ⋅ sen⎜ LC ⎝ C

=

i L (t ) = VC 0

9.3.

⎛ C ⋅ sen⎜⎜ L ⎝

⎞ ⎟ LC ⎠ t

t LC

⎞ ⎟⎟ ⎠

CIRCUITORLCSERIE

Figura 9-2 Ecuaciones que describen el circuito Nodo:

i R = iC = i L V R + V L + VC = 0

Malla:

RiR + LDiL +

iC =0 CD

Ecuación diferencial para la corriente Con las anteriores ecuaciones se obtiene la ecuación diferencial para iL

iL =0 CD 1 LD 2i L + RDi L + iL = 0 C 1 R iL = 0 D 2 i L + Di L + L LC 1 ⎞ ⎛ 2 R ⎜D + D + ⎟iL = 0 L LC ⎝ ⎠ Ri L + LDi L +

d 2i L dt

174

2

+

1 R di L i =0 + L dt LC L

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9.4. CIRCUITO RLC PARALELO

9.4.

CIRCUITORLCPARALELO

Figura 9-3 Ecuaciones que describen el circuito

i R + i L + iC = 0 V R VL V + + C =0 R LD 1 CD V R VL + + CDVC = 0 R LD

Nodo:

KVL:

V R = V L = VC

Ecuación diferencial para el voltaje Con las anteriores ecuaciones se obtiene la ecuación diferencial para VC (t ) .

LDVC + RVC + RLCD 2VC = 0

1 1 VC = 0 DVC + RC LC 1 1 ⎞ ⎛ D2 D+ + ⎟V C = 0 ⎜ RC LC ⎠ ⎝

D 2VC +

d 2V C dt

2

+

1 dVC 1 V =0 + RC dt LC C

9.5. COMPORTAMIENTODELARESPUESTASDESEGUNDOORDEN–ENTRADA CERO La forma general de ecuación diferencial homogénea de segundo orden es:

d 2 x (t ) dx( t) +b + cx(t ) = 0 2 dt dt la cual se puede escribir usando el operador D como:

(D

2

)

+ bD + c x = 0

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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

La ecuación característica de esta ecuación será:

λ 2 + bλ + c = 0 cuya solución es:

λ1 =

2 2 − b − b − 4c − b + b − 4c y λ2 = 2 2

De acuerdo a los valores que tengan λ1 y λ2 la respuesta homogénea puede tener distintas formas, como lo muestra la siguiente tabla.

Tabla 9-1. Diferentes tipos de respuesta homogénea según las raíces. TIPO

RESPUESTA

Sobreamortiguada

λt

GRÁFICA

λt

1 +k e 2 2 Raíces reales x(t ) = k1e diferentes: Condiciones iniciales: λ1 ≠ λ 2 x(0) = k 1 + k 2 λ1 ∈ ℜ x′ (0) = λ1 k1 + λ2 k 2 λ2 ∈ ℜ

b2 − 4c > 0

Críticamente amortiguada

x( t) = ( k 1 + k 2t)e λt

Raíces reales Condiciones iniciales: iguales:

λ1 = λ 2 = λ λ∈ ℜ

x(0) = k 1 x′ (0) = λk1 + k 2

b 2 −4c = 0

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9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE

x (t ) = k1e σt

x (t ) = e

(σ + jω )t + k e(σ − jω )t 2

[ A cos(ω t) + Bsen(ω t )]

Condiciones iniciales: Subamortigu ada

x(0) = A x ′(0) = σA + ωB

Raíces complejas conjugadas:

Otra forma:

λ1 = σ + jω λ2 = σ − j ω

Condiciones iniciales:

b2 − 4c < 0 b≠0

x (t ) = Keσt cos (ωt + θ ) x (0 ) = K cos (θ ) x′( 0) = θK cos(θ ) −ω Ksen(θ )

La relación entre las constantes es:

K=

A2 + B 2 ⎛ ⎝

θ = tan −1 ⎜ − No amortiguada Raíces puramente complejas:

λ1 = jω λ2 = − jω b2 − 4c < 0 b=0

9.6.

B⎞ ⎟ A⎠

x (t ) = k1 e jωt + k2 e− jωt x (t ) = A cos(ωt )+ B sen (ωt ) x (t ) = K cos(ωt + θ ) Condiciones iniciales: x(0) = A ; x ′ (0 )= B

CIRCUITORLCSERIECONENTRADACONSTANTE

Figura 9-4

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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

Ecuaciones que describen el circuito Nodo:

i R = iC = i L

Malla:

V in = V R + V L + V C = Ri R + LDi L + V C

Ecuación diferencial para el voltaje en el condensador Con las ecuaciones (1) y (2) se puede encontrar la ecuación diferencial para el voltaje en el condensador: iC = CDVC V in = Ri C + LDi C +V C = RCDV C + LD(CDV C ) +V C = LCD 2VC + RCDVC + VC Vin

R 1 DVC + VC LC L LC 1 1 d 2 VC R dVC + + VC = V in = Kte 2 L dt LC LC dt Solución de la ecuación diferencial: = D 2 VC +

La ecuación diferencial es de la forma: &x& + bx& + cx = F

donde b =

R 1 y c= LC L

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma: x = xh + x p

Solución homogénea: De la ecuación diferencial se obtiene la siguiente ecuación característica:

λ 2 + bλ + c = 0 λ1,2 =

− b ± b2 − 4 c 2

Si λ1 ≠ λ 2 Y se obtiene la siguiente solución homogénea: x h ( t) = Ae

λ1t

+ Be

λ2t

Solución particular: La solución particular es de la forma de la fuente, es decir, una constante:

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9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE

x p = Kte &x p = 0 &x& p = 0

Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene: &x& p + bx& p + cx p = F cx p = F

xp =

F c

Solución completa: La solución completa de la ecuación diferencial es: λt λt F x (t )= x h (t )+ x p = Ae 1 + Be 2 + c

Reemplazando los valores de la ecuación diferencial del voltaje en el condensador se obtiene: V in VC (t ) = Ae

λ1t

λ 2t

+ LC 1 LC λ1t λ2t V C (t ) = Ae + Be + Vin + Be

Condiciones iniciales:

(

Caso 1: Raíces reales diferentes b 2 − 4c > 0 V C (t ) = Ae

λ1t

)

+ Be

λ2t

+ Vin

V C (0) = A + B + Vin λt λt V&C (t ) = λ1 Ae 1 + λ2 Be 2 V&C (0)= λ1 A+ λ2 B

(

Caso 2: Raíces complejas conjugadas b 2 − 4c < 0

)

x (t )= e σt [A cos(ωt )+ B sen (ωt )]+ Vin x (0 ) = A + Vin x& (t ) =σ ⋅e σt [A cos(ωt ) + B sen(ωt ) ] +ω ⋅e σt [ − A sen(ωt ) + B cos (ωt )] &x( 0) = Aσ + Bω x(t ) = Keσ t cos (ωt + θ ) + Vin x (0) = F cos(θ ) + Vin t t x& (t )= σ ⋅ Ke σ cos(ωt + θ ) − ω⋅ Ke σ sen( ωt + θ ) x& (0) = σ ⋅ K cos(θ ) − ω ⋅Ksen(θ )

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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

Ejemplo 9-1 . Circuito R y LC con interruptor. En el circuito de la Figura 9-5 el interruptor se cierra en t = 0 . Encontrar:

Figura 9-5 a. La ecuación diferencial para i L (t ) cuando el interruptor está cerrado. b. La ecuación diferencial para vC (t ) cuando el interruptor está cerrado.

( ) e i′ (0 ) al cerrar el v (0 ) = V y i (0 ) = I .

c. v′c 0 +

+

L

−

c

interruptor si las condiciones iniciales son

−

c0

L

L0

Solución Parte a) La ecuación diferencial para i L (t ) la encontraremos usando el operador D:

1 ⋅ LD LD L // C : CD = 1 + LCD + LD 1 CD

LD ⎛ ⎜ 2 v in ⋅ ⎜ 1+ LCD LD ⎜ ⎜R+ 1 + LCD 2 ⎝ = LD

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠=v ⋅ in

LD v 1 + LCD 2 iL = L LD ⎞ ZL ⎛ LD ⋅ ⎜ R + ⎟ 1 + LCD 2 ⎠ ⎝ v in 1 = i L = v in ⋅ 2 2 R 1+ LCD + LD RLCD + LD + R

( ) (RLCD + LD + R )⋅ i 2

L

= v in

v 1 1 ⎞ ⎛ 2 D+ ⎟ ⋅ iL = in ⎜D + RLC RC LC ⎠ ⎝

d 2i L (t ) 1 di L (t ) 1 v i L (t ) = in + + 2 RC dt LC RLC dt

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9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE

Parte b)

Z L // C v C = v in R + Z L // C

LD ⎛ ⎜ 2 = vin ⋅ ⎜ 1 + LCD LD ⎜ ⎜ R+ 1 + LCD 2 ⎝

(RLCD

2

⎞ ⎟ LD ⎟ = vin ⎟ LD + R + RLCD2 ⎟ ⎠

)

+ LD + R vc = LDvin

1 1 ⎞ 1 ⎛ 2 D+ Dv ⎜D + ⎟v c = RC LC ⎠ RC in ⎝ d 2 vc (t ) 1 dvc (t ) 1 1 dvin ( t) v c (t ) = + + 2 dt RC dt LC RC dt Parte c) − El circuito equivalente, antes de cerrar el interruptor t = 0 , se muestra en la Figura 9-6(a). Como el interruptor está abierto no hay corriente por la resistencia y la fuente de voltaje no tiene efecto, así que solo debemos examinar lo que ocurre − con la inductancia y la capacitancia. Las condiciones iniciales son v c 0 = Vc 0 e

( )

( )

+

iL 0− = I L 0 . Ahora debemos encontrar las condiciones en t = 0 , al cerrar el interruptor. En ese momento intervienen la fuente y la resistencia. El circuito

equivalente en t = 0 tenemos:

+

se muestra en la Figura 9-6(b). Por continuidad en C y L

v c 0 − = VC 0 = v c 0 + y I L (0 − )= I L0 = I L (0 + )

( )

( )

+

A partir de estos valores podemos encontrar las condiciones en t = 0

(a)

(b) Figura 9-6

i.

i′L (0 + ) vC ( t) = vL (t ) = L

di L (t ) = Li ′L (t ) ⇒ dt

( )

i ′L 0 + =

( )

iL′ 0 + Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

i′L( t) =

1 v ( t) L C

( )

1 vC 0 + L 1 = VC 0 L

181

9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC

( )

v′c 0 +

ii.

i C (t ) = C

dVC (t )

dVC (t ) dt

1 1 iC (t ) = [i R (t ) − i L (t )] dt C C v t v − ( ) ( 1⎡ ⎤ C t) v ′c (t ) = ⎢ in − i L (t )⎥ C⎣ R ⎦ + + 1 ⎡v 0 − v C 0 + ⎤ vc′ 0 + = ⎢ in −iL 0 ⎥ C⎣ R ⎦

v ′c (t ) =

=

( )

( )

v c′ (0+ ) =

( )

( )

1 ⎡v in − V C0 ⎤ − i L0 ⎥ ⎢ C⎣ R ⎦

Ejemplo 9-2 . Circuito RC y L con interruptor. El circuito de la Figura 9-7 tiene una fuente de voltaje Vs de tipo D.C.; el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo antes de t 0 = 0 y alcanzó el estado estable. En t0 se abre el interruptor y se deja así por un corto tiempo hasta el instante t1 (sin llegar a estado estable). Encontrar para t ≥ t0 : a. la ecuación diferencial para vC (t ) . −

−

+

+

+

b. vC (t 0 ) , iL (t0 ) , vC (t 0 ) , i L( t0 ) , vC ' (t 0 ) +

+

c. vC (t1 ≥ t ≥ t 0 ) , vC ( t1 ) , vC ' (t 1 ) d. vC (t ≥ t 1 ) , si R = 2 Ω, L = 1 H y C = 1/8 F y Vs = 10V.

Figura 9-7

182

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9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE

Solución Parte a)

[

]

Tenemos que partir el problema en dos intervalos de tiempo: t 0 ,t1 y t ≥ t1 y encontrar la ecuación diferencial de cada caso, con sus respectivas condiciones iniciales y resolverla.

[

]

En t 0 ,t1 : Como el interruptor está abierto tenemos el circuito equivalente de la Figura 9-8, que corresponde a la descarga de la capacitancia a través de la resistencia y que es un circuito RC de primer orden cuya ecuación diferencial ya la conocemos del capítulo anterior:

dvC (t ) 1 + v (t ) = 0 dt RC C

Figura 9-8 +

Para resolver esta ecuación vamos a necesitar la condición inicial en t0 : vC (t 0 ) . Para t ≥ t 1 : Al cerra...