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Aplicacion EDO de segundo orden...

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4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

1. Una masa de kg se sujeta al extremo libre de un resorte que pende de una viga, alargándolo mts. De esta posición se le desplaza hacia abajo mts y se imprime una velocidad de hacia arriba. Además se le aplica un amortiguamiento con coeficiente a) Establecer y resolver la ecuación diferencial que corresponde al movimiento generado utilizando los datos dados. b) Reescribir la solución obtenida en (a) en la forma alternativa

c) Encontrar los tiempos para los que la velocidad es cero las dos primeras veces después de iniciado el movimiento. ¿Cuál es el cuasiperíodo y la cuasifrecuencia del movimiento? INDICACIÓN: Suponga para la solución de este problema que:

1) a) SOLUCIÓN: Primero tenemos que hacer la ecuación diferencial para la aplicación de los resortes, que para este caso es de la forma:

Donde:

Viendo los datos, primero debo obtener la constante de elongación (suponiendo que en ese instante, el cuerpo está en equilibrio). Para calcular, se obtiene de la siguiente fórmula:

, tenemos:

Reemplazando los datos, con

J.A.L.P. 1

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Además, al cuerpo se le aplica un amortiguamiento con coeficiente

. Y como datos

adicionales tenemos las condiciones iniciales:

NOTA: Se considera positivo cuando el cuerpo se desplaza hacia abajo, en caso contrario, negativo si se desplaza hacia arriba. Y , puesto que no se aplica ninguna fuerza externa al cuerpo. La ecuación diferencial normalizada es de la forma:

Poniendo los datos, tenemos que resolver esta ecuación con condiciones iniciales:

Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden homogéneo. Como los coeficientes que acompañan a las derivadas y a la solución son constantes, entonces podemos usar el método del polinomio característico. Entonces, resolveremos la ecuación cuadrática:

Tenemos dos soluciones complejas:

Las formas de las soluciones son:

Si las soluciones del polinomio característico son de la forma Por tanto, las soluciones son:

Y formando una combinación lineal con éstas soluciones, tenemos la solución general de la ecuación que es:

J.A.L.P. 2

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Imponiendo la condición

, tenemos:

Derivamos la solución general con respecto a :

Imponiendo la otra condición

, tenemos:

Por tanto, la solución particular (ecuación del movimiento) es:

b) SOLUCIÓN: Acordándose del movimiento amortiguado simple (visto en Física II), la amplitud y el ángulo de fase se obtiene por las fórmulas:

Entonces, tenemos los valores:

Por ende, la solución también se puede escribir de esta forma:

c) SOLUCIÓN: Tenemos que derivar la ecuación del movimiento, teniendo:

La velocidad es cero, cuando , o sea:

J.A.L.P. 3

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Aplicando el arcotangente:

Para que la velocidad sea cero en las dos primeras veces, se tiene son:

, por tanto, los tiempos

Y como , el cuasiperíodo es:

Y la cuasifrecuencia:

2. Un resorte en equilibrio (reposo) de largo y constante de rigidez está empotrado en la base de un tubo de acero que está lleno de un líquido viscoso que induce un roce proporcional a la velocidad con constante de proporcionalidad . En el extremo superior del resorte se deposita una bola de masa y luego se comprime hasta la mitad del largo del resorte y se suelta. Determine el primer instante en el cual el resorte vuelve a su largo de equilibrio. 2) SOLUCIÓN: La forma de la ecuación diferencial del problema de resortes es:

Normalizando tenemos:

J.A.L.P. 4

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Leyendo el problema, tenemos los siguientes datos:

Además, como el resorte se comprime (va hacia arriba), se impone la condición , y también el mismo resorte está en reposo, por ende condiciones iniciales:

. Colocando los datos, tenemos el problema con

Que resulta una ecuación diferencial de segundo orden homogéneo. Usando el polinomio característico, tenemos:

Por tanto, las soluciones particulares son:

Formando una combinación línea con éstas soluciones, tendremos la solución general de la ecuación:

Imponiendo la condición , el valor de la constante

Derivamos la solución

Imponiendo , el valor de

Por consiguiente, la ecuación del movimiento es: J.A.L.P. 5

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Para encontrar el instante , tenemos que hacer , es decir, resolver:

Por tanto, ocurre en el instante

.

3. Una masa de una libra se sujeta a un resorte y lo estira

pies hasta quedar en equilibrio.

Suponga que la constante de amortiguamiento del sistema es . La masa se suelta desde un punto que está pulgadas sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia debajo de pies/seg. Determine los valores de de modo que posteriormente la masa vuelva a pasar por la posición de equilibrio. 3) SOLUCIÓN: Como está en otras medidas, tenemos que considerar

. Y además

(Como dato adicional que Uds. tienen que saber). La ecuación diferencial de este problema a ocupar es:

Leyendo el problema, colocare los datos que nos entregan:

Para calcula la constante de rigidez, tenemos que considerar la condición de equilibrio:

Y . Nos faltan las condiciones iniciales. Sabemos que J.A.L.P. 6

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Por tanto, tenemos que resolver el siguiente problema de condiciones iniciales:

Como siempre, resolveremos esta ecuación usando el polinomio característico. Resolviendo la siguiente ecuación cuadrática:

Como nos dio una raíz única, entonces las soluciones particulares son:

Por ende, la solución general es:

Imponiendo la condición

, tenemos:

Derivando a la solución:

De nuevo, imponiendo la condición

, tenemos:

Por tanto, la ecuación del movimiento es:

Analizando, para que la masa vuelva a pasar por la posición de equilibrio, necesariamente hacemos , es decir:

En conclusión, para que exista , por obligación se tiene que cumplir que .

J.A.L.P. 7

, y

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4. Cuando una masa que pesa libras se cuelga de un resorte, lo estira pies, y llega al reposo en su posición de equilibrio. A partir de , se aplica una fuerza externa al sistema, igual a . Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una fuerza amortiguadora numéricamente igual a veces la velocidad instantánea. Analice los desplazamientos cuando crece indefinidamente. 4) SOLUCIÓN: Tenemos la ecuación diferencial de la forma:

Primero calcularemos la constante de rigidez, usando la condición de equilibrio:

La constante de amortiguamiento es:

Y la fuerza externa:

Las condiciones iniciales son La ecuación diferencial a resolver es:

Que es una ecuación diferencial de segundo orden no homogéneo. Primero resolveremos la parte homogénea, que es:

Usando el método del polinomio característico, tenemos que resolver la ecuación cuadrática:

Las soluciones particulares son:

Por consiguiente, la solución homogénea es: J.A.L.P. 8

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Para resolver la parte no homogénea, usaremos el método de los coeficientes indeterminados. Tenemos que comparar la función con:

Entonces:

Calculando , no es raíz del polinomio característico, por tanto el valor de Calcularemos ahora, el valor de . Por ende, las formas de los nuevos polinomios son:

.

Por tanto, la solución particular es de la forma:

Derivaremos dos veces con respecto a

Reemplazamos en la ecuación diferencial:

J.A.L.P. 9

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Tenemos que:

Por ende, la solución particular de la parte no homogénea es:

Y la solución general de la ecuación diferencial es:

Imponiendo la condición , tenemos:

Derivando la solución:

De nuevo, imponiendo la otra condición , tenemos:

Finalmente la ecuación del movimiento es:

J.A.L.P. 10

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Cuando

entonces . Ese va ser su desplazamiento a medida que crece indefinidamente

5. Se suspende una masa de un resorte con constante de rigidez . La masa está inicialmente en su posición de equilibrio y se le imprime una velocidad hacia abajo. Sobre la masa actúa una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad con constante . a) Si el sistema está sobre amortiguado demuestre que la masa nunca retorna al punto de equilibrio y determine el instante en que la masa alcanza la menor altura. b) Si , y además la masa está sujeta a una fuerza externa , determine el valor de que maximiza la amplitud de la solución particular de la ecuación 5) a) SOLUCIÓN: Tenemos la ecuación diferencial normalizada de la forma:

Se resuelve usando el polinomio característico, la cual tenemos que resolver la ecuación característica:

Como el sistema está sobre amortiguado, entonces existen raíces reales de la ecuación característica. Por tanto, se impone:

Nuestras soluciones de la ecuación característica son:

Y las soluciones particulares de la ecuación homogénea son:

J.A.L.P. 11

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Por ende, la solución general es:

Imponiendo la condición

, tenemos

Y con la otra condición

Resolviendo, tenemos los valores:

Por ende, la ecuación del movimiento es:

Para que la masa nunca retorne al punto de equilibrio, tenemos que hacer , entonces:

Por tanto, en el instante inicial, la masa se encuentra en el punto de equilibrio, pero a medida que pase el tiempo, nunca retornará a ese dicho punto. Para encontrar el instante en que la masa alcance su altura menor, tenemos que derivar la solución:

Hacemos , obteniendo que

En ese instante, la masa alcanza su altura menor. b) SOLUCIÓN: Formaremos la ecuación diferencial con esos datos

J.A.L.P. 12

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Para resolver la parte homogénea, usaremos la fórmula para hallar las soluciones de la ecuación característica, que son:

Por ende, la solución homogénea es:

Y para la parte no homogénea resolveremos usando el método de coeficientes indeterminados. Al comparar:

Entonces:

Calculando , no es raíz del polinomio característico, por tanto el valor de . Calcularemos ahora, el valor de . Por ende, las formas de los nuevos polinomios son:

Por tanto, la solución particular es de la forma:

Derivamos dos veces:

Reemplazando en la ecuación tenemos que:

J.A.L.P. 13

4.1 Aplicación de ecuaciones diferenciales de segundo orden – Ejercicios Resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Tenemos los valores:

Por ende, la ecuación del movimiento para este caso es:

Y la amplitud se obtiene:

tiene que ser mínimo. Derivando eso Para que la amplitud tenga un valor máximo, la función e igualando a cero, tenemos que el valor de la constante de rigidez es . Finalmente, la amplitud es máxima cuando

J.A.L.P. 14...