TEMA 4.2 Sistemas de segundo orden PDF

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TEMA 4.2 Sistemas de segundo orden...

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Grado en Ingeniería Eléctrica

4.2.2. Sistemas de segundo orden Sea el diagrama de bloques de la figura 4-7, este diagrama representa a un sistema de segundo orden, ya que el polinomio del denominador de la función de transferencia que relaciona las señales de entrada R(s) y salida C(s) del sistema es de segundo orden. Físicamente, este diagrama podría ser el modelo de un motor de corriente continua, el modelo de un sistema mecánico de traslación que conste de una masa, un resorte y un amortiguador, … 𝐾𝜔𝑛2 𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2

R(s)

C(s)

Figura 4-7. Sistema de segundo orden.

Los parámetros que determinan la respuesta de un sistema de segundo orden son la ganancia estática K, que tiene el mismo significado que en los sistemas de primer orden, el factor de amortiguamiento relativo ζ, que está directamente relacionado con la estabilidad del sistema y es el parámetro sobre el que se realiza el estudio de los sistemas de segundo orden, y la frecuencia natural no amortiguada ωn, que es la frecuencia de oscilación del sistema cuando el sistema no se amortigua como se verá más adelante. Al ser ωn una frecuencia, solo tomará valores positivos. La función de transferencia normalizada de los sistemas de segundo orden viene dada por la siguiente expresión: 𝐾𝜔2𝑛 𝐶(𝑠) = 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 El comportamiento de la respuesta transitoria del sistema depende de los polos de la función de transferencia del sistema que están determinados por la siguiente expresión: 𝑠1,2= −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √𝜁 2 − 1 Esta expresión depende de los valores del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada pero no depende de la ganancia estática del sistema. Como se ha comentado, se va a estudiar el comportamiento dinámico del sistema en función del valor de  (factor de amortiguamiento). Analizando la expresión de la que se obtienen los polos de la función de transferencia del sistema, se observa que el tipo de polos del sistema depende de la diferencia incluida dentro de la raíz cuadrada de la expresión obtenida (  2-1).

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

Universidad de Málaga

Automática

Grado en Ingeniería Eléctrica

Dando valores a , los polos que se obtienen son: • >1

polos reales negativos distintos ya que (  2-1) > 0 El valor absoluto del primer sumando siempre es mayor que el valor absoluto del segundo por lo que los polos siempre serán negativos, uno de ellos estará más cerca del eje imaginario que el otro y con mayor diferencia entre ellos mientras mayor sea el valor de  .

𝑠1,2= −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √𝜁 2 − 1

(−𝜁𝜔𝑛 < 0)

• =1

polos reales negativos iguales ya que (  2-1) = 0

• 0 0

𝑠1,2= 𝜔𝑛

El valor del primer sumando siempre es mayor que el valor del segundo por lo que los polos siempre serán positivos, uno de ellos estará más cerca del eje imaginario que el otro y con mayor diferencia entre ellos mientras menor sea el valor de .

𝑠1,2= −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √𝜁 2 − 1

(−𝜁𝜔𝑛 > 0)

Una vez conocida la posición de los polos del sistema en el plano complejo en función del valor de  , se puede conocer el comportamiento que presenta el sistema ante entrada escalón unitario ya que, como se estudió en el tema de descripción externa, la posición de los polos determina la expresión que se obtiene al realizar la transformada inversa de Laplace a una función de transferencia.

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De esta forma, los comportamientos que se obtienen en función de los valores de  son: • >1

sobreamortiguado: sistema estable y sin oscilaciones. Al tener el sistema polos reales negativos cuando se realiza la transformada inversa se obtienen términos exponenciales con exponente negativo. Como es sabido, estos términos exponenciales no introducen comportamiento oscilatorio. 𝑠1,2= −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √𝜁 2 − 1

• =1

(−𝜁𝜔𝑛 < 0)

críticamente amortiguado: sistema estable y sin oscilaciones. Análisis similar al caso anterior, no aparecen oscilaciones en la respuesta del sistema y es la respuesta más rápida sin que aparezcan oscilaciones. 𝑠1,2= −𝜔𝑛

• 0...