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Sistemas Dinámicos de Primer Orden I. INTRODUCCIÓN

Una parte considerable de los sistemas dinámicos que se encuentran en aplicaciones industriales se corresponden con sistemas de orden bajo, primer y segundo orden, por lo que conocer en detalle las características de la respuesta temporal y de la respuesta en frecuencia de este tipo de sistemas agiliza en gran medida su análisis y muchas de las decisiones de diseño. Esta razón justifica un estudio pormenorizado de este tipo de sistemas II. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN

La función de transferencia de un sistema de primer orden se caracteriza por tener el polinomio del denominador de primer grado. En función de cómo sea el numerador, se consideran tres tipos de sistemas de primer orden: 1. Sistema de primer orden sin cero: tiene una constante como numerador.

Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la ganancia K, que coincide con la ganancia estática G(0), y la constante de tiempo τ . La ganancia estática K puede tener cualquier signo, sin embargo para que este sistema sea estable se debe cumplir que 0 > τ. Teniendo en cuenta esta restricción, no se incluye el caso particular del integrador G(s)= 1/s. 2. Sistema de primer orden con cero nulo o derivador filtrado

Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la ganancia K, que en este caso no coincide con la ganancia estática G(0) que es igual a 0, y la constante de tiempo τ . La ganancia K puede tener cualquier signo, mientras que τ debe ser positivo para que el sistema sea estable. 3. Sistema de primer orden con cero no nulo.

En este último caso, los parámetros son la ganancia K, que vuelve a coincidir con la ganancia estática G(0) como en el sistema de primer sin cero, la constante de tiempo T asociada al cero y la constante de tiempo τ asociada al polo o constante de tiempo del sistema. La ganancia K y la constante de tiempo T pueden tener cualquier signo, mientras que τ debe ser positivo para que el sistema sea estable.

III. SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN

Los sistemas dinámicos de primer orden se caracterizan porque justamente están regidos o entendidos por una ecuación diferencial de primer orden , dicha expresión relaciona la salida con la entrada del sistema que determinará su comportamiento según sea el caso: Escalón , impulso unitario o rampa. Este tipo de sistemas dinámicos pueden ser lineales o linealizados , la ecuación que los describe es la siguiente:

Aplicaciones : Sistemas con capacidad para almacenar materia o energía. Sistemas que presentan una resistencia asociada con el paso de flujo de masa o energía.  Sistemas hidráulicos.  Sistemas térmicos. IV. OBTENCION DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Se parte de la ecuación característica de un sistema de primer orden:

Al dividir la ecuación anterior para a0 se obtiene dos parámetros característicos:

Siendo τ la constante del tiempo y K la ganancia estática (estado estable) o ganancia del proceso, dando como resultado al sustituir dichas expresiones en la primera:

Aplicando la transformada de Laplace para la solución descrita se obtiene la función de transferencia:

De donde al despejar la salida del sistema y(s) se obtiene la respuesta de un sistema de primer orden sin cero:

Siendo f(s) la entrada que puede tomar las funciones en el dominio de Laplace de los 3 tipos de perturbaciones: Impulso unitario: f(s)=1 Escalón: f(s)=1/A Rampa: f(s)=m/s2 De modo que se pueda entender su comportamiento en el dominio del tiempo.

V. APLICACIONES

Cero nulo o derivador filtrador

Cero no nulo

VI. ANALISIS DE RESPUESTAS Análisis de Respuesta: Entrada Escalón Unitario

Variando τ

en:

Variando k:

Análisis de Respuesta: Entrada Impulso

Variando τ en:

Variando k:

Análisis de Respuesta: Entrada Rampa

Variando τ en:

Variando k:

VII. COMPARACIÓN CON FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE 2° ORDEN Función de transferencia para sistemas dinámicos de segundo orden:

En F.T. de 2° Orden, la tendencia de respuesta del sistema depende:  

Tipo entrada Parámetros...