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Practica realizada en el entorno de matlab...

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APROXIMACION DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR Cesar Silva Ortega

24 DE MARZO DE 2021 DR. GERARDO TREJO CABALLERO Ing. Mecatronica

índice Resumen .............................................................................................................................................. 2 Marco teórico ...................................................................................................................................... 2 Objetivos............................................................................................................................................ 10 Desarrollo .......................................................................................................................................... 10 Pruebas y resultado resultadoss ......................................................................................................................... 11 Discusión Discusión............................................................................................................................................ 19 Anexos ............................................................................................................................................... 20 Conclusión ......................................................................................................................................... 25 Referencias ........................................................................................................................................ 25

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Resumen A continuación se muestra el análisis de tres sistemas de control de los cuales se nos facilitó la función de transferencia a estos tres sistemas se les observara y calculara sistemas de control cuya respuesta se pueda aproximar a la original o principal dada de orden superior, estos sistemas a evaluar cumplen lo siguiente. se realizó con enfoque informal de aproximación de sistemas o bien dicho mediante la discriminación de polos insignificantes, única y exclusivamente de manera informal también conocido como el método convencional los criterios solicitados en los sistemas.

Marco te teórico órico Los sistemas de control de orden superior frecuentemente contienen polos cuya contribución a la respuesta transitoria del sistema pudiera considerarse despreciable. Acorde a lo anterior, es posible encontrar sistemas de orden más bajo con respuestas “parecidas” a la del sistema de orden superior. En este capítulo, se tratará de la adición de ceros y polos, tanto en la cadena abierta como en cascada. Se desprenderá que éstos también van a influir notablemente, tanto en la estabilidad, así como en la evolución temporal de la señal de salida. Otro aspecto que se abordará será la determinación de los sistemas equivalentes reducidos, esto es, la búsqueda de un modelo de menor grado que simplifique el análisis de los equipos. Para conseguirlo se necesitará introducir el concepto de polos dominantes. Para fines de análisis y diseño, se pueden clasificar los polos de un sistema en función de su contribución a la respuesta transitoria del sistema como polos dominantes y polos insignificantes. Los polos dominantes se suelen emplear para controlar el desempeño dinámico del sistema mientras que los polos insignificantes se utilizan para asegurar que la función de transferencia sea físicamente realizable.

Adición de un polo en la cadena abierta La adición de un polo en la cadena abierta tiende a que el sistema en su conjunto sea más lento y pierda estabilidad. Una de las formas, para llegar a esta conclusión, es a través de las técnicas del lugar de las raíces, LDR. Estas técnicas describen, mediante criterios gráficos, las raíces del polinomio característico, 1+G(s), H(s)=0, a partir de la información de la cadena abierta. Los resultados son los polos de la cadena cerrada y por lo tanto definirán la estabilidad y el tipo de respuesta temporal. Si a un sistema subamortiguado, por ejemplo, el indicado en la figura 1.1, se le añade un polo en la cadena abierta, las ramas del LDR (soluciones del conjunto cerrado dependiente de la ganancia estática) se orientan hacia el semiplano positivo. De este efecto se concluye que el sistema se hace más inestable y lento. 2

Figura 1.1 Efecto de añadir un polo en la cadena abierta.

Con el fin de tener un marco de referencia idéntico se va a utilizar la misma planta piloto, facilitando la explicación de los efectos de añadir los polos y ceros, tanto en la cadena abierta como cerrada. Se ha elegido un modelo de segundo orden simple y subamortiguado, con una frecuencia natural de 1 [rad/s], un factor de amortiguamiento de 0.5 y una ganancia estática unitaria

Figura 1.1 Respuesta al escalón de la planta referencia con un polo añadido en cascada.

En la figura 1.2 se contempla la respuesta ante la entrada en escalón del conjunto realimentado, utilizando la planta referencia (𝜔𝑛 = 1, 𝜉 = 0.5 𝑦 𝑘 = 1), y variando la constante del polo añadido. Se observa que la evolución más rápida se da cuando no hay polo añadido, TP = 0s. Por otro lado, mientras la constante del polo añadido esté más alejada del eje imaginario que los polos complejos, los polos dominantes serán complejos conjugados y con mayor sobreoscilación. Si se hace elevada la constante de tiempo del polo añadido, por ejemplo TP = 5s,

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Figura 1.2 Respuesta al escalón con un polo añadiendo en la cadena abierta. Adición de un polo en ser serie ie Si se añade un polo en cascada, a medida de que aumente su constante de tiempo asociada, Tp, el conjunto total se volverá más lento y sobreamortiguado.

Figura 1.3 Efecto de añadir un polo en serie. En general, los polos en serie o en cascada hacen que el sistema sea más lento, ya que suponen un filtro paso bajo, atenuando la respuesta del espectro de alta frecuencia. Estas componentes frecuenciales están relacionadas con la rapidez del sistema aunque también con el ruido. Por tanto, el sistema será más lento pero también será más inmune a las perturbaciones. Empleando la planta referencia (𝜔𝑛 = 1, 𝜉 = 0.5 𝑦 𝑘 = 1) y al añadirle en cascada un polo, se observa que el sistema es más rápido cuando no se le agrega, Tp=0. Si la constante de tiempo del polo añadido aumenta, disminuirá la frecuencia de corte del filtro paso bajo, permitiendo sólo un procesamiento de la señal de las componentes más bajas de la frecuencia. En el análisis temporal significará que tenderá a ser más sobreamortiguado y más lento. Adición de un cero en la cadena abierta Los ceros en la cadena abierta hacen que el sistema se vuelva más estable y más rápido. Este efecto se observa empleando el LDR. Las ramas son atraídas hacia la ubicación del cero. Luego si el cero está en el semiplano negativo, las ramas se alejarán del semiplano positivo y consecuentemente, el sistema se volverá más estable y también más rápido. 4

Figura 1.4 Efecto de añadir un cero en la cadena abierta. a) Diagrama a bloques, b) LDR sin polo y con un cero con una constante de tiempo de 0.5s. No obstante, un aumento desmedido de la constante de tiempo del cero, TZ, provocará un aumento de la sobreoscilación. En la figura 1.4 se le ha añadido un cero en la cadena abierta a la planta de referencia. La salida del sistema sin el cero es más lenta que cuando se le ha añadido un cero con una constante de tiempo de 0.5 s y de 1s. Al aumentar excesivamente la constante de tiempo su comportamiento deja de ser adecuado.

Figura 1.5 Respuesta al escalón unitario de la planta referencia al que se le ha añadido un cero en la cadena abierta

Adición de un cero en serie Los ceros en serie tienen una componente predictiva o anticipadora como consecuencia de su efecto derivativo. En el dominio frecuencial, los ceros suponen una amplificación del espectro de la alta frecuencia. Por lo tanto es fácil de entender que ante una excitación el sistema al que se le ha agregado el cero, la respuesta será con mayor sobreoscilación y con una disminución del tiempo de pico.

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Para su verificación considérese un sistema de segundo orden al que se le añade un cero de primer orden. Al conjunto se le aplica una entrada en escalón. En transformada de Laplace permitirá una descomposición en dos fracciones:

Si se llama 𝑦 ∗ (𝑡) a la respuesta del sistema sin el cero, la salida del conjunto ante una entrada en escalón será:

La respuesta es una combinación lineal entre la respuesta del sistema sin el cero más la derivada de la respuesta. Nótese por el teorema de la diferenciación que s es el operador derivador respecto del tiempo. Suponiendo que el modelo sea el de referencia (𝜔𝑛 = 1, 𝜉 = 0.5 𝑦 𝑘 = 1), la salida ante una entrada en escalón será dada por la suma de sus dos partes. En la figura 1.6 queda reflejada la respuesta del sistema con el cero añadido en cascada. El tiempo de pico disminuye cuando se añade el cero, véase la evolución de 𝑦(𝑡) y de 𝑦 ∗ (𝑡). También se aprecia el carácter típico de la derivada de una señal, la anticipación. La derivada de la señal de salida, sin el cero (𝑇𝑧 𝑦′ ∗ (𝑡)), es predictiva respecto a y*(t).

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Figura 1.6 Respuesta de la planta referencia al que se le ha añadido un cero con una constante de tiempo de 0.5s.

A la planta referencia se le ha añadido varios ceros en serie, cuyas constantes de tiempo de los ceros se han hecho variar y se le han aplicado una entrada en escalón. En la figura 1.7 se nota que un aumento de la constante de tiempo, por aplicación de la ec. 7.2, supone un incremento de la influencia de la componente derivativa. El conjunto presenta mayor sobreoscilación y una disminución del tiempo de pico.

Figura 1.7 Evolución de la planta con la adicción de un cero en la cadena cerrada.

Sistema equivalente reducido Los modelos de las plantas, en la práctica, suelen superar a los sistemas de segundo orden. Sin embargo, la influencia de los polos de la cadena cerrada no son todos de igual importancia. Aquellos que están más cerca del semiplano positivo son más lentos en su evolución temporal que otros orientados hacia el -∞ del semiplano negativo. A los polos más próximos al semiplano positivo se les llama dominantes y a los otros polos insignificantes. La regla práctica de clasificación de unos sobre otros depende de si el polo dominante es complejo conjugado o de primer orden. Si es complejo conjugado, debe de haber una distancia sobre el eje real de 5 a 10 veces el valor de la constante de amortiguamiento, entre el polo dominante y el resto de los polos. Para los polos dominantes de primer orden, el valor de la constante del polo dominante debe de ser al menos 5 a 10 veces mayor que el de los polos insignificantes.

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Figura 1.8 Reglas para la determinación de la región de los polos dominantes

La reducción del orden del sistema simplifica tanto la fase de análisis como de diseño. En la práctica, se emplean las características dinámicas de los sistemas de primer o de segundo orden para definir los requisitos de diseño, aunque el sistema sea de mayor orden. Desde luego no tiene sentido hablar del coeficiente de amortiguamiento o de la frecuencia natural de un sistema si es de tercer, cuarto o de orden superior. El comportamiento de los sistemas de orden elevado puede aproximarse por otro equivalente de segundo o primer orden. La respuesta del equivalente no es idéntica, no tiene tantos matices, pero se aproximan y se hace factible aplicar reglas sencillas tanto para la predicción de su comportamiento como para el diseño. Hay dos formas de reducir el orden de un sistema: 1. Por aplicación de la teoría de polos dominantes. Los polos ubicados en la región de insignificantes pueden ser eliminados. 2. Mediante la cancelación entre el efecto de un polo y un cero próximo entre sí. Una vez reducido el grado del polinomio característico se ajustará la ganancia estática para que el comportamiento en el régimen permanente sea idéntico. Esta condición requiere que las ganancias estáticas sean idénticas, tanto la del reducido como la del modelo de la planta: lim 𝐺(𝑠) = lim 𝐺𝑒𝑞 (𝑠)

𝑠−→0

𝑠−→0

Ejemplo Dibujar la respuesta aproximada al escalón unitario del siguiente sistema: 𝐺1 (𝑠) =

(𝑠2

3(𝑠 + 5) + 2𝑠 + 5)(𝑠 + 3)

Para el primer caso, la planta está constituido por un polo complejo y conjugado, 𝑠1,2 = 1 ± 𝑗2, y por un polo de primer orden, 𝑠3 = −3. No están separados a una distancia de 8

5 veces la constante de amortiguamiento del polo dominante. Sin embargo, el efecto del polo de primer orden y del cero se puede cancelar. Si se hace la reducción, habrá diferencias entre la respuesta de la planta y la de su equivalente, debido a la discrepancia de constantes de tiempo entre el polo y el cero a cancelar. El equivalente reducido estará determinado por el polo complejo conjugado y por una ganancia 𝑘 ∗ que mantenga la misma ganancia estática que la planta: 𝐺𝑒𝑞 (𝑠) =

𝑠2

3𝑘 ∗ (3)(5) 5 3𝑘 ∗ −→ 𝐺𝑒𝑞 (0) = = 1→𝐺𝑒𝑞 (𝑠) ≈ 2 = 𝐺! (0) = (5)(3) + 2𝑠 + 5 𝑠 + 2𝑠 + 5 5

El equivalente reducido es un sistema de segundo orden simple, luego será posible calcular sus valores característicos de la evolución temporal: 𝜋

𝑡𝑠 = 𝜎 = 𝜋 𝑡𝑝 =

𝜋 2

𝜋

= 1.57𝑠 𝑀𝑝 = 𝑒 −2 = 0.2079−→ 20.79%

𝜗 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 = 1.1 𝑟𝑎𝑑

𝑡𝑟 =

𝜋−𝜗 2

= 1𝑠

Figura 1.9 Comparación entre el sistema original y el sistema aproximado.

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Objetivo Objetivoss Generales 1. Aplicar lo aprendido en clase por el profesor. 2. Aplicar los conocimientos que se an adquirido durante las sesiones sobre el sofware Matlab. 3. Comprender lo que nos conviene o no para realizar el análisis es una muy buena alternativa para cuando no se cuenta con herramientas adecuadas.

Desarrollo 𝑠+10

a) 𝑀(𝑠) = 𝑠4+8.1𝑠3+17.8𝑠2+11.7𝑠+1 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 1

b) 𝑀(𝑠) =

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑛𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 4 𝑠 + 10 𝑀(𝑠) = (𝑠 + 5)(𝑠 + 2)(𝑠 + 1)(𝑠 + 0.11) 𝑠 + 10 𝑀 (𝑠) = (5)(2)(1)(𝑠 + 0.1)

𝑠2 +3𝑠+2

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 5 (𝑠 + 2)(𝑠 + 21 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑀(𝑠) = 2 (𝑠 + 2𝑠 + 2)(𝑠 + 20)(𝑠 + 10)(𝑠 + 5) (𝑠 + 2)(𝑠 + 1) 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑀(𝑠) = 2 (𝑠 + 2𝑠 + 2)(20)(𝑠 + 10)(5)

c) 𝑀(𝑠) =

𝑠5 +37𝑠4 +422𝑠3 +1770𝑠2+2700𝑠+200

1.5𝑥109

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3

𝑠3 +3408𝑠2 +1.204𝑥106 𝑠+1.5𝑥109

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜

1.5𝑥109 𝑀(𝑠) = 2 (𝑠 + 230.34𝑠 + 472046.06)(𝑠 + 3177.65)

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2

𝑀(𝑠) =

1.5𝑥109 (𝑠2 + 230.34𝑠 + 472046.02)(3177.52)

10

Pruebas y re resultados sultados 𝑎) 𝑀(𝑠) =

𝑠 + 10 𝑠4

+

8.1𝑠3

+ 17.8𝑠2 + 11.7𝑠 + 1

Figura 2.1 Ubicación de los polos del sistema a) en el plano complejo s.

Figura 2.2 Respuesta para la función escalón unitario del el sistema a).

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Figura 2.3.1 Respuesta para función rampa unitaria del sistema a).

Figura 2.3.2 Acercamiento a la respuesta para función rampa unitaria del sistema a).

12

Figura 2.4.1 Respuesta para la función parábola unitaria del sistema a).

Figura 2.4.2 Acercamiento a la respuesta para la función parábola unitaria del sistema a). 𝑠2 + 3𝑠 + 2 𝑏) 𝑀(𝑠) = 5 𝑠 + 37𝑠4 + 422𝑠3 + 1770𝑠2 + 2700𝑠 + 200

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Figura 3.1 Ubicación de los polos del sistema b) en el plano complejo s.

Figura 3.2 Respuesta para la función escalón unitario del el sistema b).

14

Figura 3.3.1 Respuesta para función rampa unitaria del sistema b).

Figura 3.3.2 Acercamiento a la respuesta para función rampa unitaria del sistema b).

15

Figura 3.4.1 Respuesta para la función parábola unitaria del sistema b).

Figura 3.4.2 Acercamiento a la respuesta para la función parábola unitaria del sistema b).

𝑐) 𝑀(𝑠) =

1.5𝑥109 𝑠3 + 3408𝑠2 + 1.204𝑥106 𝑠 + 1.5𝑥109

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Figura 4.1 Ubicación de los polos del sistema c) en el plano complejo s.

Figura 4.2 Respuesta para la función escalón unitario del el sistema c).

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Figura 4.3.1 Respuesta para función rampa unitaria del sistema c).

Figura 4.3.2 Acercamiento a la respuesta para función rampa unitaria del sistema c).

18

Figura 4.4.1 Respuesta para la función parábola unitaria del sistema c).

Figura 4.4.2 Acercamiento a la respuesta para la función parábola unitaria del sistema c).

Discusión Los resultados obtenidos mediante el método informal demuestran que este método es una opción bastante viable a la hora de analizar sistemas de control, ya que se puede reducir el orden del sistema y así poder determinar mediante un sistema aproximado el comportamiento del sistema original. Tabla 1.- Sistemas originales propuestos y sistemas aproximados Sistema

a)

b)

c)

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𝑶𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂

𝑠 + 10 𝑠4

+ 8.1𝑠 3

+

17.8𝑠 2

𝑠 2 + 3𝑠 + 2 + 11.7 + 1

𝑠 + 10 (𝑠 + 5)(𝑠 + 2)(𝑠 + 1)(𝑠 + 0.1)

𝑠 + 10 (5)(2)(1)(𝑠 + 0.1)

𝑠5

+

37𝑠 4

(𝑠 2

+ 422𝑠 3

+

1770𝑠 2

𝑠3

+ 2700𝑠 + 2000

+

3408𝑠 2

1.10𝑥109 + 1.204𝑠𝑥106 𝑠 + 1.5𝑥109

(𝑠 + 2)(𝑠 + 1) + 2𝑠 + 2)(𝑠 + 20)(𝑠 + 10)(𝑠 + 5)

1.5𝑥109 (𝑠 2 + 230.34𝑠 + 472046.06)(𝑠 + 3177.65)

(𝑠 + 2)(𝑠 + 1) + 2𝑠 + 2)(20)(𝑠 + 10)(5)

1.5𝑥109 (𝑠 2 + 230.34𝑠 + 472046.06)(3177.65)

(𝑠 2

Anexos 𝑠+10

a) 𝑀(𝑠) = 𝑠4+8.1𝑠3+17.8𝑠2+11.7𝑠+1 clear; clc; close all; %Ubicación de los polos en el plano complejo s D1=[1 5] ; polos1= roots(D1); plot(real(polos1),imag(polos1),'pr','LineWidth',3); hold on; D2=[1 2]; polos2= roots(D2); plot(real(polos2),imag(polos2),'pg','LineWidth',3); hold on; D3=[1 1]; polos3= roots(D3); plot(real(polos3),imag(polos3),'py','LineWidth',3); hold on; D4=[1 0.1]; polos4= roots(D4); plot(real(polos4),imag(polos4),'pb','LineWidth',3); grid on; xlabel('Eje Real'); ylabel('Eje imaginario'); hold on; title('Grafica de raices de la ecuación caracteristica del sistema'); legend('(s+5)','(s+2)','(s+1)','(s+0.1)');

clc, clear, close all, %% Respuesta escalón unitario % Sistema original original de orden 4 N4=[1 10]; D4=conv([1 5],conv([1 2],conv([1 1],[1 0.1]))); M4= tf(N4,D4); 20

% sistema aproximado de roden 1 D1=conv([1 0.1],conv([5],conv([2],[1]))); M1=tf(N4,D1); figure (1); step(M4,M1); grid on; title('Respuesta temporal a la función escalón unitario'); legend('Sistema original(orden 4)','Sistema aproximado(orden 1)'); %% Respuesta rampa unitaria %Sistema original de orden 4 figure (2); N4r=[1 10]; D4r=conv([1 5],conv([1 2],conv([1 1],[1 0.1 0]))); M4r=tf(N4r,D4r); step(M4r); grid on; title('Respuesta temporal para R(s)=1/s^2'); % sistema aproximado de orden 1 D1r=conv([1 0.1],conv([5],conv([2],[1 0]))); M1r=tf(N4,D1r); step(M4r,M1r); grid on; title('Respuesta temporal a la función rampa unitaria'); legend('Sistema original(orden 4)','Sistema aproximado(orden 1)'); %% Respuesta parábola unitaria %Sisrema original de orden 4 figure (3); N4p=[1 10]; D4p=conv([1 5],conv([1 2],conv([1 1],[1 0.1 0 0]))); M4p=tf(N4p,D4p); step(M4p); grid on; title('Respuesta temporal para R(s)=1/s^3'); % sistema aproximado de orden 1 D1p=conv([1 0.1],conv([5],conv([2],[1 0 0]))); M1p=tf(N4,D1p); step(M4p,M1p); grid on; title('Respuesta temporal a la función parabola unitaria'); legend('Sistema original(orden 4)','Sistema aproximado(orden 1)'); 𝑠2 +3𝑠+2

b) 𝑀(𝑠) = 5 𝑠 +37𝑠4 +422𝑠3 +1770𝑠2+2700𝑠+200 clear; clc; close all; %Ubicación de los polos en el plano complejo 21

D1=[1 2 ...