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Briones Aguilar Gpe. del Rocío. GITP11075

Carrera:

Ingeniería

en Tecnologías

de

la

Producción Materia: Matemáticas para Ingeniería I

Integrantes:

Grupo: GITP11075-S Equipo: Mayólica

1 Bri nes Aguilar Guadalupe del Rocío 2 Cár enas Cano Erick Fernando 3 Car illo Rodríguez Alejandro 4 Co ejo López Marco Antonio 5 Del ado Guerrero Miguel Ángel 6 Gal án Baeza Jahir de Jesús 7 Gar ía Mejía Jacob 8 Gu rra Rangel Johana Naomi 9 Her ández Quevedo Jorge Axel 10 11 Loyola Espinoza José Bernardo 12 13 M ndez Barrientos Ángel Alfredo

Dolores Hidalgo C.I.N, Gto. Octubre 2019

Indice “DERIVADAS DE CAMBIO”......................................................................................................................2 Briones Aguilar Gpe. del Rocío..............................................................................................................2 Derivadas Parciales.......................................................................................................................................5 Cardenas cano Eric Fernando..............................................................................................................5 Derivadas de orden superior y mixtas..........................................................................................................9 Carrillo Rodriguez Alejandro...............................................................................................................9 “Derivación parcial implícita”....................................................................................................................10 Conejo López Marco Antonio.............................................................................................................10 Vector gradiente, derivada direccional.......................................................................................................12 Jahir de Jesús Galván Baeza...............................................................................................................12 Vector unitario producto escalar o producto punto...................................................................................14 GARCÍA MEJÍA JACOB...................................................................................................................14 “Vector unitario y producto cruz”..............................................................................................................16 Alumno: Johana Naomi Guerra Rangel...............................................................................................16 2 Máximos y mínimos en derivadas parciales............................................................................................17 Jorge Axel Hernández Quevedo..........................................................................................................17 Derivadas parciales.....................................................................................................................................19 Loyola Espinoza José Bernardo..........................................................................................................19 Derivadas parciales de orden superior.......................................................................................................21 Méndez Barrientos Angel Alfredo.........................................................................................................21 Bibliografias................................................................................................................................................25

“DERIVADAS DE CAMBIO” Briones Aguilar Gpe. del Rocío.

El concepto de derivada de una función f(x) surge como solución del problema de trazar la recta tangente a la curva de ecuación y = f(x) en un punto de la misma. Para un campo de dos variables f (x, y) nos plantearemos, en la siguiente sección, el problema de hallar el plano tangente a la superficie de ecuación z = f (x, y) en un punto de dicha superficie y veremos que de dicho planteamiento surge, de manera natural y por analogía con la definición de derivada, la noción de diferencial de un campo escalar de dos variables. En esta analogía desempeñan un papel fundamental las derivadas parciales que son las que se obtienen derivando una función de varias variables con respecto a una de ellas cuando se dejan las demás constantes. Derivadas parciales. Sea f: U → R un campo continuo de dos variables y sea (a, b) un punto interior del conjunto U. La derivada parcial de f con respecto a x en el punto (a, b) es, si existe el límite, el número.

f ( x , b ) −f (a , b) ∂y ( a , b )=lím y → x−a ∂x

LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO El cociente

f ( c +h )−g (c) h es la razón de cambio promedio en el intervalo entre c y c+h. El límite:

lím h → 0

f ( c+h )−g(c) h

entonces la razón de cambio instantáneo o simplemente la razón de cambio de f con respecto a x cuando x=c. Así pues, la derivada se interpreta también como la razón de cambio instantánea. En ocasiones nos referimos a la tasa de cambio como la razón de cambio.

TANGENTE A LA CURVA

Para calcular la ecuación de la recta tangente a la curva � = �(�) en el punto � (�, �) necesitamos conocer la pendiente de la recta. Para ello, tomamos un punto cercano � de abscisa � + ℎ y trazamos la recta secante ��. A medida que el punto � se acerca al punto � la recta secante se convierte en la recta tangente. Como la pendiente de la recta secante �� vale:

tanα=

f ( x +h )−f (x ) h

Img 1.1 Calculo de la tangente a una curva.

Pendiente La pendiente de la recta tangente a una curva se puede encontrar por medio de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos cuya distancia entre sí tiende a cero (Cálculo Diferencial). El límite de una función es el valor al que tiende la función cuando la variable independiente tiende a un valor dado, sin tomar ese valor. Ejemplo: Sea f(x,y)= x 3 y −2 x 2 y 2 + y 3 Determinar fx (1, -2) y fy (1, -2) Como fx (x,y)= 9 x 2 y−4 xy 2 fx(1, -2) = -34 Como fy(x,y) = 3 x 3 -4 x 2 y +3 y 2 ,luego : fy(1, - 2) =23

Derivadas Parciales. Cardenas cano Eric Fernando. Universidad tecnológica del norte de Guanajuato. [email protected]

I .INTRODUCCION. En matemáticas una ecuación en derivadas parciales, es una relación entre una función matemática u de varias variables independientesx,y,z,t y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidas en el espacio y el tiempo.

II .DEFINICION.

La derivada parcial en cálculo diferencial, es una derivada de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática

Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones fx y fy respectivamente, definidas

siempre y cuando existan los límites.

Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para obtener fy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.

EJEMPLOS

Calcular fx y fy para la función Solución

Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta

Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes:

Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan

Ejemplo 3.2

Para la función

encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el punto (1, ln2)

Solución

Como

Como

la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2) es

la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln2) es

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 3.1. Por lo tanto,

Derivadas de orden superior y mixtas Carrillo Rodriguez Alejandro Universidad Tecnológica del Norte de Guanajuato [email protected]

I.

INTRODUCCION: de segundo orden mixtas es f xy o El símbolo ∂ significa derivada f yx . parcial Para una función de dos variables Nota: El orden de los símbolos en los subíndices z=f (x , y ) ,las derivadas parciales de las parciales mixtas es justamente lo opuesto y son ellas al orden de los símbolos cuando se usa la ∂ z /∂ x ∂ z /∂ y mismas funciones de x y y. En notación de operador de diferenciación parcial: consecuencia, se pueden calcular las derivadas parciales de segundo orden y de orden superior. De hecho, se encuentra la derivada parcial de ∂ z /∂ y con respecto a y, y la derivada parcial de con respecto a x. Los últimos tipos de derivadas parciales se denominan derivadas parciales mixtas. En resumen, las segundas, terceras derivadas parciales y la derivada parcial mixta de están definidas por:

Derivadas parciales de segundo orden:

( )

∂2 z ∂ ∂ z = ∂ x2 ∂ x ∂ x

y

( )

∂ ∂z ∂2 z = 2 ∂y ∂y ∂ y

( ) ∂ z ∂ ∂z =(f ) = ( ) = ∂ x ∂ y ∂x∂ y 2

f xy=(f x )y =

( )

Solución: ∂f x =arc sen ( x− y ) + , ∂x √ 1− ( x− y) 2

( )

∂2 z ∂ ∂z = ∂x∂ y ∂ x ∂ y

−x ∂f = ∂ y √ 1−( x− y)2

( )

Derivadas parciales de segundo orden mixtas:

y

( )

∂2 z ∂ ∂z = ∂ y ∂ x ∂ y ∂x

y x

III. Ejemplos: 1. f ( x . y )=arc sen (x− y )

∂ ∂2 z ∂3 z = 2 ∂ y3 ∂ y ∂ y

y

2.

f ( t ,u )=

cos 2tu t 2+u 2

Solución: ∂ f −2u ( t +u ) sen 2 tu−2 t cos 2 tu , = ∂t ( t 2+u 2) 2 2

II.

Símbolos alternos: Las derivadas parciales de segundo y tercer orden también se denotan mediante f xx , f yy , f xxx ,etcétera. La notación de subíndice para las derivadas parciales

y

2

f yx

Derivadas parciales de tercer orden:

∂3 z ∂ ∂2 z = 2 ∂ x3 ∂ x ∂ x

∂ z ∂ ∂z = ∂ y ∂ x ∂ x∂ y

2

∂ f −2 t ( t +u )sen 2 tu−2 u cos 2 tu = 2 ∂u ( t 2 +u2) 2

2

“Derivación parcial implícita”. Conejo López Marco Antonio. N. de lista. 4.

El círculo de radio 1 con centro en el origen, puede representarse implícitamente mediante la ecuación x 2 + y 2 = 1 o explícitamente por las ecuaciones y = √ 1 − x 2 y y = − √ 1 − x 2. Una representación explícita de una curva del plano xy está dada por un par de ecuaciones que expresan y en términos de x o x en términos de y y son de la forma y=g(x) o x=g(y).[ CITATION RSP03 \l 2058 ] y = x sen x y=5−53x Ahora bien, existen ecuaciones como x 4 − 4x 2 + y 2 = 0 En las que ninguna variable está en forma explícita. Se dice entonces que dicha ecuación define implícitamente una variable en términos de la otra. Sin embargo, existen procedimientos para calcular la derivada de este tipo de funciones, tal procedimiento se conoce como derivación implícita.[ CITATION PHa96 \l 2058 ]

Conejo López Marco Antonio. N. de lista. 4. Ejemplos. Hallar

dy dx

para

5

y + y+ x =0

❑

Solución Para esto se deriva respecto a x en ambos lados ❑ dy 5 ( y + y + x❑ ) dy ( 0 ) → dy ( y 5 )+ dy ( y )+ dy ( x ) =0 →5 y 4 dy + dy +1=0 dx dx dx dx dx dx dx

dy dy ( 5 y 4 +1 )=−1→ = −1 dx dx 5 y 4 +1

Hallar

dy dx

para

2

2

3

y + x + x =0

❑

Solución Para esto se deriva respecto a x en ambos lados.

d d dy d 2 2 3❑ d ( ) ( y + x + x ) = 4 → ( y 2 x 2) + ( x 3 )=0→ 2 x y 2 +2 x 2 y +3 x 2=0 dx dx dx dx dx

2

dy 3 x + 2 xy = 2 dx 2x y

2

Vector gradiente, derivada direccional. Jahir de Jesús Galván Baeza. Universidad Tecnológica del Norte de Guanajuato. Dolores Hidalgo C.I.N. Guanajuato. México. [email protected]

Cada derivada parcial en el punto (Xo,Yo,Zo) se llama componente del gradiente en ese punto. La derivada en un punto de una función real de variable real informa de lo que varía la función por cada unidad que varía la variable independiente en ese punto. La misma información da el gradiente con cada una de sus componentes: informa de lo que varía la función por cada unidad que varía cada variable en el punto que se considere. Así, que el gradiente de una función f (x.y.z) en

I.

INTRODUCCIÓN.

El presente trabajo mostrara una indagación realizada a partir de un tema asignado por el ingeniero encargado de impartir la materia de Matemáticas para Ingeniería sobre el cual se desarrollo el siguiente trabajo, mostrando lo que se refiere el tema, que es lo que abarca y ejemplos de su

unidad que varía x en los entornos más pequeños de 3 manteniéndose y Y z en los valores y = −2 y z = 4 , f varía 2; que f no varía si y varía en pequeños entornos de -2 con x y z constantes en 3 y 4; y que f disminuye 1 por cada unidad que se incrementa z en pequeños entornos de 4 con x e y en 3 y -2.

aplicación.

II.

el punto (3,−2, 4) sea (2, 0, −1) significa que, por cada

DESARROLLO DE CONTENIDOS.

El gradiente de la función f en cualquier punto (x, y, z) se designa por

Vector gradiente.

( ∂∂ fx , ∂∂ fy , ∂∂ fz )

∇f =

Gradiente es la generalización de derivada a funciones de más de una variable. Es útil en física e ingeniería. También lo es la derivada direccional, con la que el gradiente está relacionado. Para facilitar la comprensión de ambos conceptos, nos ocupamos de ellos aquí pensando principalmente en sus aplicaciones.

Derivada direccional. Cada vector del espacio ordinario tiene un módulo y una dirección. Cuando se fija un vector dr = (dx,dy,dz) = dxi + dyj + dzk dando valores concretos

Se llama gradiente en un punto de una función real de

a dx,dy,dz , se fija su módulo y su dirección. Cada

varias variables reales al conjunto ordenado de las

valor de la diferencial de la función f en un punto (x,

derivadas parciales de esa función en ese punto.

y,z) es el producto escalar de su gradiente en ese

Por tanto, el gradiente de una función f x (x,y,z) en el punto (x0,y0,z0) es

punto por un vector dr, es decir,

∇f ∙ d r=

( ∂∂ xf ) ( Xo , Yo, Zo ), ∂∂ fy ) ( Xo ,Yo , Zo ) , ∂∂ zf )( Xo

∂f ∂f ∂f dy + dz = df dx+ ∂y ∂x ∂z

En cada punto (x,y,z) el gradiente ∇f es fijo, tiene un valor concreto; pero el vector dr puede ser

Se denota por ∇f . Es decir,

cualquiera; puede tener cualquier módulo y cualquier

( ∂∂ fx ) ( Xo . Yo . Zo ) , ∂∂ yf

∇f ( Xo , Yo . Zo )

dirección. Ejemplo La diferencial de f (x,y,z)= 3x 2yz + 5xz + 6) en el punto (1,−1,−1) es

df ( 1 ,−1 ,−1 )=∇f ( 1 ,−1 ,−1 ) ∙ dr =d Aplicaciones. Su valor para el vector dr = (dx,dy,dz) = (−1, 3,−2) es

Si tienes una función de varias variables, f(x, y), y un

-14. Para dr = (3,2,1), que tiene el mismo módulo

vector en el espacio de entradas de la función, v , la

que el anterior, pero dirección distinta, la diferencial

derivada direccional de f a lo largo del vector v te dice la

vale -1.

tasa de cambio f a medida que la entrada se mueve con el vector de velocidad v.

EJERCICIO PRÁCTICO.

La notación aquí es Vvf y se calcula al tomar el producto

Gradiente y derivada direccional.

punto entre el gradiente de f y el vector v es decir,

∇f ∙ ∇.

El gradiente de f (x, y, z) -3x2yz + 5xz + 6 es

∇f −(6 xyz +5 z ,3 x 2 z , 3 x 2 y , 5 x ) La derivada en cualquier punto (x, y, z) en la dirección del vector (1,−2,−1), cuyo módulo es √6, es

Cuando uses la derivada direccional para calcular la pendiente, primero asegúrate de normalizar el vector v. El

valor

máximo

Duf (x , y) 2

2

Duf ∇f ∙ u (6 xyz +5 z , 3 x z ,3 x y , 5 x

√

√ 6 xyz ∙ 5 z−√ 6 x2 z− 3 x 2 y− 5 x 2 √6 √6

|∇f (x , y )|

de en

la el

derivada punto

direccional p(x,y)

es

y se alcanza cuando el vector unitario u

tiene la misma dirección que

∇f ( x , y ).

Es una función que da la derivada de f en cada punto (x, y, z) en la dirección del vector (1,−2,−1). Esa derivada en (x, y, z) – (1,0,-1), es

−5

√

2 +√ 6 3

Imagen 1.1 vectores

Significa que, por cada unidad que se avanza en pequeños entornos del punto (1,0,−1) en la dirección del vector (1,−2,−1), la función se incrementa

−5

√

2 + √ 6=−1.63 3

El producto escalar (8) o (9) es máximo si cosα =1; o sea, si α = 0, que significa que la dirección de u es la del gradiente. Entonces (8) y (9) valen ∇f. Por tanto, la derivada direccional de una función en un punto es máxima en la dirección de su gradiente en ese punto, y vale el módulo de ese gradiente. Por eso se dice que el módulo del gradiente de una función en un punto es la derivada direccional máxima de la función en ese punto.

Imagen 1.2 El gradiente de f es un vector en el plano xy.

III.

CONCLUSIÓN.

Con la realización del presente trabajo desarrolle una indagación completa, consulte libros calificados brindados

por el Ingeniero evaluador. Adquirí nuevos conocimientos

temas de nuestra vida cotidiana, referente al tema que se

en el ámbito de las matemáticas, con el cual logre darme

me asigno y su intersección en el tema de planos y relieves

cuenta de una nueva aplicación de las matemáticas en

como claro ejemplo de aplicación.

Vector unitario producto escalar o producto punto. GARCÍA MEJÍA JACOB Universidad Tecnológica del Norte de Guanajuato

Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores. Para sacar la magnitud del producto punto de los vectores es elevar el resultado al cuadrado y sacar su raíz, prácticamente igual que como lo hacíamos solo que aquí será nada más del escalar. Si se pide la magnitud de los vectores dados es igual que como lo veníamos haciendo. La dirección cambia, existen dos maneras de sacar la dirección de un producto punto: 1) La primera es Θ [U.V(Producto Punto) / |U||V|

=

Cos^-1

Es decir, para sacar la dirección es el coseno a la menos 1 de la división del producto punto entre la multiplicación de las magnitudes de los dos vectores. 2) Y la segunda da el mismo resultado pero es primero sacar Beta y después alfa y restar ambas. En formulas sería: β = Tan^-1 Y1/X1 El Producto punto de dos vectores será un número escalar y se hará de la siguiente manera: Teniendo los vectores U = (X1,Y1,Z1) y V = (X2,Y2,Z2) El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2...