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Derivadas DE Orden Superior...

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CALCULO II DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR La extensión a funciones de varias variables del concepto de derivada de orden superior, aunque teóricamente no ofrece ninguna dificultad, presenta ciertas complicaciones de naturaleza formal que se hacen especialmente patentes a la hora de establecer las reglas habituales de cálculo. Las complicaciones (al menos las pedagógicas) son algo menores cuando se trabaja en dimensión finita, ya que entonces el uso de derivadas parciales permite considerar a las derivadas de orden superior como objetos más “tangibles”. En forma similar a las derivadas ordinarias, es posible hallar las derivadas parciales de una función de varias variables, de segundo, tercer orden y superiores siempre y cuando tales derivadas existan. Las derivadas parciales de segundo orden se dan cuando diferenciamos una función 𝑓 (𝑥, 𝑦) por segunda vez. Definición. Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ una función definida en el conjunto 𝐷, las derivadas parciales de segundo orden son de la forma: 𝜕2𝑓 𝑓𝑥 (𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim 2 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝜕𝑥

𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕2𝑓 = lim 2 ∆𝑦→0 ∆𝑦 𝜕𝑦 Además se tiene las derivadas parciales de segundo orden con respecto a 𝑥 y a continuación con respecto a 𝑦 (𝑓𝑥𝑦 ), ó con respecto a 𝑦 a continuación con respecto a 𝑥 (𝑓𝑦𝑥 ). Notación. Las derivadas parciales de segundo orden se denotan: 1.- Derivar dos veces con respecto a 𝑥: 2.- Derivar dos veces con respecto a 𝑦:

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕 ( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥

=

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕 ( ) 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦)

=

𝜕𝑥 2

= 𝑓𝑥𝑥

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 2

= 𝑓𝑦𝑦

3.- Derivar primero con respecto a 𝑥 luego con respecto a 𝑦:

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕 ( ) 𝜕𝑦 𝜕𝑥

=

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦𝜕𝑥

= 𝑓𝑥𝑦

4.- Derivar primero con respecto a 𝑦 luego con respecto a 𝑥:

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕 ( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

=

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥𝜕𝑦

= 𝑓𝑦𝑥

Observación: 1. Además se tiene las derivadas parciales de segundo orden con respecto a 𝑥 y a continuación con respecto a 𝑦 (𝑓𝑥𝑦 ), ó con respecto a 𝑦, a continuación con respecto a 𝑥 (𝑓𝑦𝑥 ). 2. Las derivadas parciales del segundo orden de la forma:

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦𝜕𝑥

y

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦)

llaman derivadas parciales cruzadas de segundo orden de la función 𝑓 .

LIC. MARIA I. SERRUDO CH.

𝜕𝑥𝜕𝑦

se

CALCULO II Ejemplos 1. Para la función 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 6𝑥2 + 5𝑥3 𝑦 4 − 10𝑦 5 determinar las primeras y segundos derivadas parciales.

Solución Primeras derivadas parciales.  

𝑓𝑥 = 12𝑥 + 5𝑦4 (3𝑥2 ) = 12𝑥 + 15𝑥²𝑦 4 𝑓𝑦 = 0 + 5𝑥3 (4𝑦 3 ) − 50𝑦 4 = 20𝑥3 𝑦 3 − 50𝑦 4

Segundas derivadas parciales.  

𝑓𝑥𝑥 = 12 − 15𝑦 4 (2𝑥) = 12 − 30𝑥𝑦 4 𝑓𝑦𝑦 = 20𝑥3 (3𝑦 2 ) − 200𝑦 3 = 60𝑥3 𝑦 2 − 200𝑦³

Derivadas parciales mixtas.  

𝑓𝑥𝑦 = 0 − 15𝑥²(4𝑦 3 ) = 60𝑥²𝑦 3 𝑓𝑦𝑥 = 20𝑦 3 (3𝑥 2 ) − 0 = 60𝑥²𝑦³ Podemos observar que: 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

2. Hallar las primeras y segundas derivadas parciales de la función. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 4 𝑠𝑒𝑛3𝑥 +

𝑦 2 𝑒 3𝑥+1 𝑧

Solución: Primeras derivadas parciales.   

𝑦2

𝑓𝑥 = 𝑦 4 (3𝑐𝑜𝑠3𝑥) + ( 𝑧 ) 3𝑒3𝑥+1 = 3𝑦 4 𝑐𝑜𝑠3𝑥 +

𝑓𝑦 = 4𝑦3 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 2𝑦 2 3𝑥+1

𝑓𝑧 = 0 + 𝑦 𝑒

𝑒 3𝑥+1

𝑧 𝜕 1 ( 𝜕𝑧 ( 𝑧))

−1

= 𝑦 2 𝑒 3𝑥+1 ( 2 ) = 𝑧

3𝑦2 𝑧

𝑒 3𝑥+1

−𝑦 2 𝑒 3𝑥+1 𝑧2

Segundas derivadas parciales.   

𝑓𝑥𝑥 = −3𝑦4 ∗ 3 ∗ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 +

𝑓𝑧𝑧 = 𝑦 𝑒

(

−1

𝑧2

)=

𝑧

9𝑒3𝑥+1 = −9𝑦 4 𝑠𝑒𝑛3𝑥 +

2𝑒 3𝑥+1 𝑧 𝑦 2 𝑒 3𝑥+1 2 𝑧3

𝑓𝑦𝑦 = 4 (3𝑦2 )(𝑠𝑒𝑛3𝑥) + 2 3𝑥+1

𝑦2

= 12𝑦 2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 +

2𝑒 3𝑥+1

9𝑦 2𝑒 3𝑥+1 𝑧

𝑧

Derivadas mixtas 

𝑓𝑥𝑦 = 3(4𝑦 3 ) cos 3𝑥 +

𝜕 ( )=− 𝜕𝑧 𝑧 𝑧² 3𝑥+1 3𝑥+1 𝜕 (1) = − 2𝑦𝑒 2𝑦𝑒 𝜕𝑧 𝑧 𝑧²



𝑓𝑥𝑧 = 0 + 3𝑦 2 𝑒 3𝑥+1



𝑓𝑦𝑧 = 0 +

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3(2𝑦) 3𝑥+1 𝑒 = 12𝑦 3 𝑧 1 3𝑦 2 𝑒 3𝑥+1

cos 3𝑥 +

6𝑦𝑒 3𝑥+1 𝑧

CALCULO II 3. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la función: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑦 3 + 𝑥4 𝑦 + 𝑥𝑒 𝑦 Solución: 𝑓𝑦 = 3𝑥²𝑦 2 + 𝑥 4 + 𝑥𝑒 𝑦

Primeras derivadas parciales: 𝑓𝑥 = 2𝑥𝑦 3 + 4𝑥³𝑦 + 𝑒 𝑦 Segundas derivadas parciales 𝑓𝑥𝑥 = 2𝑦 3 + 12𝑥²𝑦

𝑓𝑦𝑦 = 6𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑒 𝑦

𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥𝑦 2 + 4𝑥3 + 𝑒 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

TEOREMA DE EULER (Teorema de la derivada mixta) Si 𝑓: ℝ2 → ℝ con derivadas parciales 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 , 𝑓𝑥𝑦 , 𝑓𝑦𝑥 definidas en toda una región abierta que contenga un punto (𝑎, 𝑏) y son todas continuas en (𝑎, 𝑏 ) entonces: 𝜕 2 𝑓 (𝑎, 𝑏) 𝜕 2 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥

Ejemplos 4. Hallar las derivadas de segundo orden de la función 𝑓 (𝑥, 𝑦 ) =

1

𝑥

+ 𝑥𝑦²

Solución: 1

Primeras derivadas parciales: 𝑓𝑥 = − 𝑥 2 + 𝑦² ; 𝑓𝑦 = 2𝑥𝑦 Segundas derivadas parciales: 𝑓𝑥𝑥 =

2

𝑥³

; 𝑓𝑦𝑦 = 2𝑥

Derivadas mixtas: 𝑓𝑥𝑦 = 2𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

5. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la función: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 2 − 8 Solución: Primeras derivadas parciales: 𝑓𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑦²; 𝑓𝑦 = −4𝑥𝑦 + 2𝑦

Segundas derivadas parciales: 𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥 ; 𝑓𝑦𝑦 = −4𝑥 + 2 Derivadas mixtas: 𝑓𝑥𝑦 = −4𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

6. Sea 𝑍 = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 𝑦 2 ) Hallar las derivadas parciales de segundo orden. Solución: Primeras derivadas parciales: 𝑓𝑥 = Segundas derivadas parciales𝑓𝑥𝑥 = Derivadas mixtas: 𝑓𝑥𝑦 = 2𝑥

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𝜕

(

1

𝜕𝑦 𝑥 2+𝑦 2

2𝑥 ; 𝑓𝑦 𝑥 2+𝑦 2 2 2(𝑦 −𝑥 2) (𝑥 2+𝑦²)²

;

) = 2𝑥 (−

2𝑦

=

𝑥 2+𝑦 2 2(𝑥 2−𝑦2 ) 𝑓𝑦𝑦 = (𝑥2+𝑦2 )² 2𝑦

(𝑥 2+𝑦²)²

)=

−4𝑥𝑦

(𝑥 2+𝑦²)²

= 𝑓𝑦𝑥

CALCULO II TEOREMA La función 𝑓: ℝ2 → ℝ, se llama función armónica, si verifica la “Ecuación de Laplace”, es decir, si: 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) =0 + 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥2 Nota.- La ecuación bidimensional de Laplace potenciales y distribuciones de temperatura en estado estacionario en el plano Ecuación de Laplace tridimensional 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =0 + + 𝜕𝑧2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥2 Nota.- La ecuación tridimensional de Laplace se satisface por las distribuciones de temperatura en el espacio en estado estacionario 𝑇 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) en el espacio, por potenciales gravitatorios y potenciales electrostáticos. EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Demostrar que la función 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 es armónica. Solución Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 , calculando las derivadas parciales. Primeras derivadas parciales:

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥

Segundas derivadas parciales:

= 3𝑥2 𝑦 − 𝑦 3 ;

𝜕 2𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 2

= 6𝑥𝑦

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 2

= 𝑥3 − 3𝑥𝑦 2

= −6𝑥𝑦

Sumando las segundas derivadas, tenemos. 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 − 6𝑥𝑦 = 0 + 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥2

Se verifica la ecuación de La place; por lo tanto la función 𝑓(𝑥, 𝑦) es armónica. 2.- Demostrar que la función 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦 2 − 2𝑧2 , verifica la ecuación de Laplace. Solución Sea 𝑓(𝑥, 𝑦 ) = 𝑥2 +𝑦 2 − 2𝑧2 , calculando las derivadas parciales. 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

Primeras derivadas parciales:

𝜕𝑥

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦)

Segundas derivadas parciales:

𝜕𝑥 2

= 2𝑥 ,

𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

= 2𝑦 ,

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑧

= −4𝑧

=2;

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦)

=2;

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑧2

= −4

𝜕𝑦

𝜕𝑦 2

Sumando las segundas derivadas parciales, tenemos: 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2+ 2− 4 = 0 + + 𝜕𝑧 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥2 Se verifica la ecuación de Laplace.

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CALCULO II 3.- Demostrar que la función 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧3 − 3(𝑥2 +𝑦2 )𝑧 verifica la ecuación de Laplace. Solución Sea 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧3 − 3(𝑥2 +𝑦 2 )𝑧 ; calculando las derivadas parciales. Primeras derivadas parciales:

𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

Segundas derivadas parciales.

𝜕𝑥

= −6𝑥𝑧;

𝜕 2𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 2

= −6𝑧;

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦

= −6𝑦𝑧 ;

𝜕 2𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 2

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑧

= −6𝑧 ;

= 6𝑧2 − 3𝑥2 − 3𝑦 2

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑧 2

= 12𝑧

Sumando las segundas derivadas, tenemos. 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) = −6𝑧 − 6𝑧 + 12𝑧 = 0 + + 𝜕𝑧2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥2 Se verifica la ecuación de Laplace. 4.- Demostrar que la función 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 −2𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥, es armónica. Solución Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −2𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ; calculando las derivadas parciales. 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

Primeras derivadas parciales:

Segundas derivadas parciales:

𝜕𝑥

= −2𝑒 −2𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑥;

𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 2

= −4𝑒−2𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥;

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 2

= −2𝑒 −2𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4𝑒 −2𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥

Sumando las segundas derivadas, tenemos. 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝑓(𝑥, 𝑦) + = −4𝑒 −2𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑒 −2𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0 𝜕𝑥2 𝜕𝑦 2

Se verifica la ecuación de Laplace, por lo tanto la función 𝑓 (𝑥, 𝑦) es armónica.

LIC. MARIA I. SERRUDO CH....