E.D.O de Primer Orden Exactas PDF

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TEORIA Y EJERCICIOS...

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LECCIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EXACTAS JUSTIFICACIÓN

En esta lección, basados en la teoría de diferenciales de funciones de dos variables, la cual involucra las derivadas parciales y la diferencial total de una función de dos variables así como la idea de la integral parcial, se estudiará un nuevo tipo de ecuación diferencial la cual tiene la forma M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, y donde el lado izquierdo, es decir, la expresión M (x,y) dx + N (x,y) dy representa a la diferencial total de alguna función F (x,y). Este nuevo tipo de ecuación diferencial se conoce con el nombre de ecuación diferencial ordinaria de 1er. orden exacta. OBJETIVOS:

El estudiante podrá:

1- Identificar si la ecuación diferencial es exacta.

2- Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta. PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE INTRODUCCIÓN: En la Lección 7: ¿Qué estudiamos?

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 Estudiamos las ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a una ecuación diferencial homogénea de grado 1 de homogeneidad.

Correcto. ¿Cómo dijimos que identificamos este tipo de ecuación diferencial?  Dijimos que la identificábamos, porque tienen la forma (a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0 tales que, a1x + b1y + c1 = 0 y a2x + b2y + c2 = 0 representan ecuaciones de rectas que se cortan, es decir, que tienen un punto en común.

¿Cómo identifican que, efectivamente, las rectas se cortan?  Lo podemos hacer buscando las pendientes de cada una de ellas y verificando que son distintas o también a través de sus vectores normales los cuales no son proporcionales.

Exactamente. Luego que ya se ha establecido que las rectas se cortan ¿Cuál es el siguiente paso? 

El siguiente paso, es buscar las coordenadas del punto de intersección,

denotémoslo (h, k), resolviendo el sistema a1 h  b1 k  c1  0  a 2 h  b 2 k  c 2  0

Muy bien. Obtenidas ya las coordenadas del punto de intersección ¿Qué debe hacerse?  Debe realizarse el cambio de variable

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x  u  h  dx  du  y  v  k  dy  dv

¿Con qué finalidad se realiza este cambio?  Con la finalidad de transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de homogeneidad.

Excelente. ¿Qué más estudiamos en la lección 7?  Estudiamos el mismo tipo de ecuación diferencial (a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0 pero, cuando las rectas a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0, son paralelas. ¿Cómo identifican que las rectas son paralelas? 

Lo hacemos a través de sus vectores normales, verificando que son

proporcionales.

Correcto. Luego que ya han establecido que las rectas son paralelas ¿Qué debe hacerse?  Se deben expresar las ecuaciones de las rectas en función de un mismo vector normal, sacando factor común la constante de proporcionalidad, según corresponda. Es decir, si (a1, b1) = k (a2, b2), entonces la ecuación diferencial se escribe [k (a2x + b2y) + c2] dx + (a2x + b2y + c2) = 0

¿Con qué finalidad se hace?

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 Con la finalidad de que ambos términos de la ecuación diferencial queden en función de a2x + b2y, para así realizar el cambio de variable  z  a 2 x  b2 y    dy  dz  a 2 dx  b2

y

z  a 2x b2

Muy bien. Con este cambio de variables ¿Cómo se transforma la ecuación diferencial?  La ecuación diferencial se transforma en:  dz  a 2dx  (K z + c1) dx + (z + c2)   = 0 b2  

Efectuando las operaciones correspondientes ¿Qué tipo de ecuación diferencial resulta?  Resulta una ecuación diferencial de variables separables.

Excelente. Vamos a iniciar la Lección 8 haciendo un breve repaso de ciertos aspectos de la teoría de diferenciales de funciones de varias variables, para luego resolver un nuevo tipo de ecuación diferencial el cual se conoce como ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta. Derivadas Parciales

Analicemos el siguiente ejemplo. Consideremos la función

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F(x, y) = xy2 + 3y.

Si se considera temporalmente la variable “y” como constante y “x” como variable ¿Cuál será la derivada de la función F(x, y) respecto de x?  Será y2

Correcto. Esto se escribe con la siguiente notación

F( x, y)  y 2 o también Fx(x, y) = y2 x

Si ahora, se considera la variable “x” como constante y “y” como variable ¿Cuál será la derivada de la función F(x, y) respecto de y?  Será (2xy + 3)

Exacto. Esto se escribe con la siguiente notación  F( x , y)  2 y  3 o también Fy(x, y) = 2xy + 3 x Observen entonces que F(x, y) = xy2 + 3y es una función de dos variables independientes "x" y "y". Lo que hemos determinado se denominan las derivadas parciales de primer orden de la función F(x, y).

Por lo visto en cursos de funciones vectoriales, sabrían decirme ¿Cómo viene dada la diferencial total de la función F(x, y)?  La diferencial total de la función F(x, y), denotada dF(x, y), viene dada por:

200

  F(x, y)   F(x, y)  dx +  dF(x, y) =   dy   x   y 

Si les pido que me indiquen cuál es la diferencial total de la función del ejemplo ¿Cómo queda?  La diferencial total de la función F(x, y) = xy2 + 3y es: dF(x, y) = y2 dx + (2xy + 3) dy

Abran sus guías en la página 32 y leamos la definición de diferencial exacta que allí aparece. DIFERENCIAL EXACTA La expresión diferencial P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 es una diferencial exacta, en una región R del plano xy, si corresponde a la diferencial total de alguna función, es decir, si existe una función F(x,y) tal que, la diferencial total de F(x,y) es P(x,y) dx + Q(x,y) dy dF(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy

Retomemos el ejemplo anterior F(x, y) = xy2 + 3y cuya diferencial exacta es dF(x,y) = y2dx + (2xy + 3) dy esto es, F( x , y) = y2 = P (x,y) x

F( x , y) = 2xy + 3 = Q(x, y) y

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Si ahora les pido que calculemos las derivadas parciales de segundo orden combinadas (o cruzadas) de la función F(x,y) ¿Qué obtienen?  Se obtiene   F(x, y)   = [y2] = 2y   y  x  y

   F(x, y)   = [2xy + 3] = 2y   x  y  x

¿Qué observan en los resultados?

 Observamos que

   F(x, y)    F(x, y)  =   y  x  x  y 

Recuerden que habíamos dicho que:  F( x, y) = P (x,y) x

F( x, y) = Q (x, y) y

¿Cómo podemos escribir la relación de igualdad entre las derivadas cruzadas usando las funciones P (x,y) y Q (x, y)? Puede escribirse   [P (x,y)] = [Q (x, y)] y x Correcto. Consideremos ahora otro ejemplo. Sea G (x, y) = x3y3 ¿Cómo obtienen la diferencial total de G (x, y)?  La diferencial total de G (x, y) viene dada como.

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 G ( x, y)  dG(x,y) =   dx +  x 

 G ( x, y)    dy  y 

donde   G ( x , y)  2 3   = 3x y  x 

  G ( x , y)   = 3x3y2  y   

entonces, la diferencial total de G(x,y) es dG(x,y) = 3x2y3 dx + 3x3y2

Exacto. Observen que de acuerdo con la definición podemos decir que la expresión (3x2y3 dx + 3x3y2 dy) es una diferencial exacta.

Si ahora les pido que calculen las derivadas parciales de segundo orden cruzadas, de la función G (x, y) ¿Qué obtienen?  Obtenemos:    G ( x, y)  2 2  = 9x y y  x y  x 

 G ( x, y)   = 9x2y2  y   

Al comparar los resultados ¿A qué conclusión llegan?  De acuerdo con los resultados podemos concluir que las derivadas cruzadas son iguales, es decir,

   G ( x, y)   =  x y  x 

  G ( x , y)     y 

 G ( x, y)  2 3 Si llamamos P (x,y) =   = 3x y y Q (x, y) =  x 

 G ( x, y)   = 3x3y2    y 

¿Cómo puede escribirse la relación de igualdad entre las derivadas cruzadas?

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 Puede escribirse

  [P (x,y)] = [Q (x, y)] x y

Por favor, abran sus páginas en la página 32 y leamos la proposición que allí aparece enunciada. PROPOSICIÓN: Sean P(x,y) y Q(x,y) funciones contínuas y diferenciables en un región R del plano xy. La expresión P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 es la diferencial total de una función F(x,y) si y sólo si

 P( x , y ) Q( x, y ) = x y

(es decir, las derivadas parciales de segundo orden cruzadas son iguales:

 2 F( x , y )  2 F( x , y )  x y y x



Consideren la familia de curvas para cada una de las funciones de los dos ejemplos anteriores, esto es: F(x, y) = xy2 + 3y = C, C constante. G (x, y) = x3 y3 = k, k constante.

Ya vimos, que la diferencial total para cada una de ellas es:  F( x, y)  dF(x,y) =   dx +  x 

  F( x, y)   dy = y2 dz + (2xy + 3) dy = 0    y 

 G ( x, y)    G ( x , y)   dy = 3x2y3 dx + 3x3y2 dy = 0 dG(x,y) =   dx +   x   y 

Las ecuaciones diferenciales y2 dx + (2xy + 3) dy = 0

3x2y3 dx + 3x3y2 dy = 0

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representan un tipo de ecuación el cual denominaremos ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta. Abran sus guías en la página 32 y leamos la definición. ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN EXACTA Una ecuación diferencial de la forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta si y solo si la expresión P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta, es decir, si existe una función F(x,y) tal que la diferencial total de la función F(x,y) es dF(x,y) =P(x,y) dx + Q(x,y) dy Lo que equivale a decir que existe una función F(x,y) tal que F( x, y )  F( x , y )  P( x , y ) y  Q( x , y ) x y

Hasta ahora hemos visto algunos ejemplos donde dada F(x, y) = C se puede obtener una ecuación diferencial exacta calculando la diferencial total de la función F(x, y), es decir,  F( x, y)   F( x, y)  dF =   dx +   dy = 0  x   y 

es una ecuación diferencial exacta.

Nos plantearemos ahora la situación contraria. Dada una ecuación diferencial de la forma

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 ¿Cómo determinan si es una ecuación

diferencial exacta?

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Considérese el siguiente ejemplo (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy = 0

¿Qué se debe hacer para chequear que es una ecuación diferencial exacta?  Se debería probar que existe una función F(x, y) tal que la diferencial total de

F(x, y) es (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy, esto es dF(x, y) = (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy es decir, debemos probar que (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy es una diferencial exacta.

Exacto. Si escriben P(x, y) = 5x + 4y

Q (x, y) = 4x – 8y3, para chequear

que P (x, y) dx + Q(x, y) dy es una diferencial exacta ¿Qué deben hacer?  Debemos aplicar la proposición, es decir, debemos verificar que  P( x, y)   Q( x, y)    y  =  x     

Correcto. ¿Se verifica entonces la proposición para este ejemplo?  Calculamos las derivadas.  P( x, y)    = 4  y 

en

donde puede observarse que

proposición se cumple. ¿A que conclusión llegan?

 Q( x, y)   =4   x   P( x, y)    Q( x, y)    , por lo tanto, la  =   y   x 

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 Concluimos que efectivamente (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy es una diferencial

exacta; y de acuerdo con la definición la ecuación diferencial (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta.

Muy bien. Si analizamos detenidamente la definición de ecuación diferencial exacta, para obtener la solución general ¿Qué debemos buscar?  Debemos buscar una función F (x, y) tal que la diferencial total de F(x, y) sea

igual a la diferencial exacta dada, esto es: dF(x, y) = (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy

Exacto. ¿Qué representa la función 5x + 4y, con respecto a la función F(x, y)?  F( x, y)   Representa   = 5x + 4y  x 

Correcto. ¿Qué representa la función 4x–8y3, con respecto a la función F(x,y)?

 Representa

 F( x, y)  3   = 4x – 8y y   

Ya sabemos que al derivar parcialmente respecto de una de las variables, la otra se asume como constante. ¿Cómo podríamos a partir de la derivada parcial  F( x, y)    = 5x + 4y, donde se asumió “y” como constante, obtener la función  x 

F(x, y)?

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 Podríamos integrar.

Bien. Pero esa integración también será parcial. ¿Cómo debemos considerar a la variable “y”, en ese caso?  Debemos considerarla como una constante.

Correcto. Entonces, es lógico suponer que al integrar parcialmente respecto de “x”, la constante de integración dependerá de la variable “y” y viceversa, sí integramos parcialmente respecto de “y”, la constante de integración dependerá de la variable “x”.  F( x, y)  Tomemos entonces la derivada parcial   = 5x + 4y e integramos  x 

parcialmente respecto de x, ¿Qué resulta?  Resulta:

F(x, y) =



  F( x, y)    x =  x 

x



(5x  4 y)dx 

y  ctte

5x2  4 yx  h( y) 2

Muy bien, hemos obtenido F(x, y) =

5x 2  4 yx  h( y) 2

donde h(y) (puede ser constante o depender sólo de y) se debe determinar. Si les digo ahora que ese resultado lo deriven parcialmente respecto de “y” ¿A quién deberá ser igual?

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 Deberá ser igual a Q(x,y) = 4x – 8y3

Exacto. Realicemos los cálculos

 F( x , y)    = 4x +  y 

 h( y )  3   = 4x – 8y y   



 h( y )  3   = -8y y   

Muy bien, como h(y) es una función de una sola variable, entonces  h( y)  dh ( y)    =   .  y   dy 

¿Cómo podremos entonces obtener la función h(y)

a

partir

de

la

 dh ( y)  3 ecuación   = 8y ? dy    Se puede obtener integrando



 dh ( y)   dy  dy =  

 8y

3

dy



h(y) = 8y3 +C

¿Qué hacen con esta función que obtuvieron?

 La sustituimos en F(x, y) =

5x2 + 4yx + h(y) obteniendo así: 2

F(x, y) =

5x2 + 8y3 + c 2

¿Qué representa la función F(x,y) respecto de la ecuación diferencial (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy = 0?

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 La función F(x, y) =

5 x2 + 4yx + 8y3 + C, representa la solución general de 2

la ecuación diferencial (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy = 0

Observen que aquí hemos usado un nuevo término que es el de la integración parcial. Abran sus guías en la página 33 leamos lo que allí aparece INTEGRAL PARCIAL DE LA FUNCIÓN H(x,y) RESPECTO DE LA VARIABLE "x" Se denota

 H( x, y ) x , viene dada por la igualdad x

 H(x, y) x  yctteH( x, y) dx

 h( y )

(con "y" constante y h(y) como constante de integración)

INTEGRAL PARCIAL DE LA FUNCIÓN H(x,y) RESPECTO DE LA VARIABLE "y" Se denota

 H( x, y) y , viene dada por la igualdad y

 H( x, y)  y   H( x, y) dy

 h( x )

x  ctte

(con "x" constante y h(x) como constante de integración)

Revisemos en la guía en la página 34 los pasos que se deben seguir para la obtención de la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de 1er. orden exacta.

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PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN EXACTA DE LA FORMA P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 1- Chequee que se satisface la proposición, es decir,

P( x , y )  Q(x , y )  y x

2- Aplique la definición de ecuación diferencial exacta, es decir suponga que existe una función F(x,y) tal que F( x , y ) F (x, y )  Q( x, y )  P( x, y ) ; x y 3- Integre parcialmente respecto de "x"

 F( x , y )  P( x, y ) , sume una x

función h(y) como constante de integración. 4- Derive parcialmente respecto de "y" la función F(x,y) =



x



F( x , y )  P( x, y ) x  h( y )

obtenida en el paso 3 5- Iguale la derivada parcial obtenida en el paso 4 a la función Q(x,y) x   F( x , y )   dh( y ) P( x , y ) x     Q( x, y )  dy y y    



6- Despeje

dh( y )  H( y ) dy

(H(y) es una función que sólo depende de la

variable "y") 7- Integre respecto de "y" la relación obtenida en el paso 6 a fin de conseguir la función h(y) h( y )  (C constante de integración)



H( y ) dy  C

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8- Sustituya h(y) en la función obtenida en el paso 3 x

F( x , y ) 

 P( x , y )  x



 H( y ) dy



C

9- La solución general de la ecuación diferencial exacta P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 x

es

F( x , y ) 

 P( x , y )  x



 H( y ) dy



C

= 0

Resuelvan el Problema 1 que aparece en sus guías en la página 35. Disponen para ello de 10 min. Trabajen de forma individual PROBLEMA 1:

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial: (e2y – y cos xy) dx + (2xe2y - x cos xy + 2y) dy = 0

Revisemos los pasos que siguieron para resolver el Problema 1. ¿Qué fue lo primero que hicieron?  Identificamos las funciones:

P (x, y) = e2y – y cos xy, Q (x, y) = 2xe2y - x cos xy + 2y  P( x, y)  Q( x, y)  y verificamos que   =    x   y 

  P( x , y )  ¿Qué obtuvieron al calcular   ?  y ...