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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SEPARADAS

y'

f ( x)

SEPARABLES F ( x)dx G ( y )dy 0 HOMOGÉNEAS M ( x, y) dx N ( x, y)dy RED. HOMOG. y '

f

( x0 , y0 ) pto. de corte Paralelas

M y

EXACTAS

N

ln x

x

cambio

M

ln y

SOL.:

Fdx

u

M y

N x

N x N

M y

N x

p( x),

( x)

p ( y ),

(y )

F

Mdx C

C

Ndy

SOL.: yh

r( x )

yh y' p( x) y

SEGUNDO ORDEN

y' '

r( x) y q , q 0,1

cambio u

1 yq

f ( y) f , con f

f ( x, y' ) f ( y , y' )

cambio y' z

yh Ce

y

C

Mdx dy

yp pdx

C( x) e

pdx

1

SOL.: y

f (x )

y' '

Gdy

x0

y

BERNOULLI

C

SOL.:

M EC. LINEALES y' p( x) y

fdy

y v y0 cambio u ax by

N x

M y FACTOR INT.

y

cambio y ux

0

ax by c a ' x b ' y c'

SOL.:

( fdx

C1 )

C2

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden n es una ecuación del tipo:

an 1 y ( n 1 K a 1 y ' a 0 y

y (n

0

donde an-1, ..., a1, a0 son números reales. El polinomio característico de la ecuación es un polinomio de grado n cuyos coeficientes son los coeficientes de la EDO, es decir

P( t)

tn

a n 1t n

1

K a 1t

a0

Por cada raíz de multiplicidad r del polinomio característico tendremos r soluciones linealmente independientes de la EDO. Como la suma de las multiplicidades de las raíces de un polinomio de grado n es n, trabajando con todas las raíces obtendremos n soluciones linealmente independientes de la EDO, y por consiguiente una base del espacio de soluciones. Sea entonces m una raíz de P(t) las soluciones que aporta m son las siguientes: 1) Si m

R y tiene multiplicidad 1, tenemos la solución

y 2) Si m

emx

R y tiene multiplicidad r, tenemos las r soluciones

y1

e mx , y 2

xe mx , K , yr

x r 1e mx

3) Si m=a+bi C y tiene multiplicidad 1, entonces m a bi es también raíz simple de P(t) y obtenemos dos soluciones (una por cada raíz):

y1

eax cosbx , y 2

eax senbx

4) Si m=a+bi C y tiene multiplicidad r, entonces m a bi es también raíz de multiplicidad r de P(t) y obtenemos 2 r soluciones (r por cada una):

e ax cosbx , y 2

y1 yr

1

x e ax cosbx , K , y r

e axsen bx , y r 2

x

xe ax senbx , K, y 2r

r 1

e axcosbx x r 1e axsenbx...