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Notas de aula - EDO ...

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Equações diferenciais ordinárias Referências - Boyce e DiPrima (2006); Simmons Krantz (2008); Zill e Cullen (2009)

* Equa Equaçõe çõe çõess Ex Exat at atas as e fat fatore ore oress inte integr gr grant ant antes es Vamos estudar, agora, uma classe de equações diferenciais de primeira ordem que, assim como as lineares e as separáveis, possui um método bem definido. Vamos tomar a equação diferencial

2𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑦´ = 0

Não se trata de uma equação de variáveis separáveis, nem de uma equação linear de primeira ordem. Mas, podemos notar que a função ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 2 tem a propriedade: 𝜕ℎ 𝜕𝑥

= 2𝑥 + 𝑦 2 e

𝜕ℎ

𝜕𝑦

= 2𝑥𝑦

Assumindo 𝑦 = 𝜙(𝑥):

(2𝑥 + 𝑦 2 ) + (2𝑥𝑦)𝑦´ =

𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝑑𝑦 + . =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥

𝑑 2 𝑑ℎ (𝑥 + 𝑥𝑦 2 ) = 0 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Assim, integrando ambos os lados, temos:

𝑥2 + 𝑥𝑦 2 = 𝐶

Onde 𝐶 é uma constante arbitrária e a equação acima é uma equação que define implicitamente as soluções da equação diferencial 2𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑦´ = 0.

O passo importante na discussão acima foi o reconhecimento de que existe uma função 𝜓(𝑥, 𝑦) tal que, dada a equação diferencial,

Temos

𝜕𝜓 𝜕𝑥

(𝑥, 𝑦 ) = 𝑀(𝑥, 𝑦) e

𝜕𝜓 𝜕𝑦

𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑦´ = 0

(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦). Nesse caso, 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝐶 define 𝑦 = 𝜙(𝑥)

implicitamente como uma função diferenciável de 𝑥. Assim: 𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑦´ =

E a equação diferencial torna-se:

𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝑑𝑦 𝑑 + . = 𝜓(𝑥, 𝑓(𝑥)) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 𝜓(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0 𝑑𝑥

Nesse caso, a equação 𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑦´ = 0 é dita exata.

1

Definição. Uma expressão diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 é uma diferencial exata em uma região 𝑅 do plano 𝑥𝑦 se ela corresponder ao diferencial de alguma função 𝑓(𝑥, 𝑦). Uma equação diferencial de primeira ordem da forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 é dita ser uma equação exata se a expressão do lado esquerdo for uma diferencial exata. O teorema a seguir nos fornece um critério para saber se a equação 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 é uma equação diferencial exata. Teorema. Suponha que as funções 𝑀(𝑥, 𝑦), 𝑁(𝑥, 𝑦) e suas derivadas parciais de primeira ordem são contínuas na região retangular 𝑅: 𝛼 < 𝑥 < 𝛽, 𝛾 < 𝑦 < 𝛿. Então, a equação 𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑦´ = 0 é uma equação diferencial exata em 𝑅 se, e somente se, 𝑀𝑦 (𝑥, 𝑦 ) = 𝑁𝑥 (𝑥, 𝑦) Em cada ponto de 𝑅. 𝜕𝜓 𝜕𝜓 (𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦) e (𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) se, e Isto é, existe uma função 𝜓 que satisfaz 𝜕𝑦 𝜕𝑥 somente se, 𝑀 e 𝑁 satisfazem 𝑀𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑁𝑥 (𝑥, 𝑦).

Uma explicação para esse teorema. Considerando que 𝑀(𝑥, 𝑦) e 𝑁(𝑥, 𝑦) têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas para todo (𝑥, 𝑦).

Agora, se a expressão 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 for exata, existem funções 𝑓 de modo que, para todo 𝑥 em 𝑅 , 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 =

Portanto, 𝑀(𝑥, 𝑦) = E

𝜕𝑓 𝜕𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

, 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑀 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑓 𝜕𝑁 = ( )= = ( )= 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Igualdade das derivadas parciais mistas é uma consequência da continuidade das derivadas parciais de primeira ordem de 𝑀(𝑥, 𝑦) e 𝑁(𝑥, 𝑦). A continuidade da demonstração do teorema consiste em mostrar que existe uma função 𝑓 para

a qual 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥 e 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦 sempre que a igualdade 𝑀𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑁𝑥 (𝑥, 𝑦) for válida. A 𝜕𝑓

𝜕𝑓

construção dessa função 𝑓 na verdade reflete um procedimento básico para solucionar equações exatas.

Exemplo. Use o método das equações exatas para resolver a equação diferencial

2

𝑑𝑦 𝑒 𝑦 + (𝑥𝑒 𝑦 + 2𝑦) 𝑑𝑥 = 0

Resolução.

Notemos que 𝑀𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦 e 𝑁𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦 , ou seja, 𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 . Logo, a equação diferencial é exata. 𝜕𝜓 = 𝑀 = 𝑒𝑦 𝜕𝑥

Ou seja,

𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦 + 𝜙(𝑦)

Mas, então,

Comparando com

𝜕𝜓

𝜕𝑦

𝜕𝜓 = 𝑥𝑒𝑦 + 𝜙´(𝑦) 𝜕𝑦

= 𝑁 = 𝑥𝑒 𝑦 + 2𝑦, temos:

Assim,

𝜙´(𝑦 ) = 2𝑦

𝜙 (𝑦 ) = 𝑦 2 + 𝐶 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦 + 𝑦 2 + 𝐶

Assim, as soluções da equação diferencial são dadas implicitamente por: 𝑥𝑒 𝑦 + 𝑦 2 + 𝐶 = 𝑐 𝑥𝑒 𝑦 + 𝑦 2 = 𝐾

Exercícios. 1) Resolva a equação diferencial:

2) Resolva o PVI:

(𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 2𝑥𝑒 𝑦 ) + (𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥2 𝑒 𝑦 − 1)𝑦´ = 0 𝑑𝑦 (𝑥𝑦 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = { 𝑑𝑥 𝑦(1 − 𝑥 2 ) 𝑦(0) = 2

Exemplo. Resolva a equação diferencial:

Resolução. Nesse caso,

E

(3𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) + (𝑥2 + 𝑥𝑦)𝑦´ = 0 𝑀𝑦 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦

3

𝑁𝑥 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦

Como 𝑀𝑦 ≠ 𝑁𝑥 , a equação diferencial não é exata. Vamos ver que ela não seria resolvida pelo método acima. Vamos procurar uma função ℎ(𝑥, 𝑦) tal que: ℎ𝑥 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 ℎ𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦

De ℎ𝑥 (𝑥, 𝑦), temos:

3 ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 + 𝑔(𝑦) 2

derivando em relação a y e comparando, temos:

3 2 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑔´(𝑦 ) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 2

Ou seja, 𝑔´(𝑦 ) = − 2 𝑥2 − 𝑥𝑦 1

Como 𝑔´ depende tanto de x como de y, é impossível resolver essa equação para 𝑔(𝑦).

--------- ------------ ---------- --------

Entretanto, se multiplicarmos a equação diferencial (3𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) + (𝑥2 + 𝑥𝑦)𝑦´ = 0 Por 𝑥, obtemos:

(3𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 ) + (𝑥3 + 𝑥2 𝑦 )𝑦´ = 0

Essa última equação é exata, o que nos permite mostrar que suas soluções são dadas implicitamente por 1 𝑥3 𝑦 + 𝑥2 𝑦 2 = 𝐶 2

Mas, porque multiplicamos por 𝑥? Vejamos a explicação a seguir sobre fatores integrantes especiais.

Fatores integrantes. Relembre que, para resolvermos uma equação linear 𝑦´ + 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡), utilizamos a ideia de fator integrante para tornar o lado esquerdo mais facilmente integrável. A ideia aqui será parecida, também utilizaremos um fator integrante para tornar uma equação não-exata em uma equação exata (nem sempre isso será possível, às vezes apenas). Isto significa que algumas vezes conseguiremos determinar 𝜇(𝑥, 𝑦) tal que, multiplicando a equação 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, teremos que 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

(1)

é uma equação exata (isto é, o lado esquerdo da equação é uma diferencial exata).

4

Bom, vamos verificar como faremos isso. Pelo critério da exatidão, temos que a equação (1) acima é exata se, e somente se, (𝜇. 𝑀)𝑦 = (𝜇. 𝑁 )𝑥

Pela regra do produto e lembrando que 𝜇, 𝑀 e 𝑁 são funções de 𝑥 e 𝑦, temos: 𝜇𝑀𝑦 + 𝜇𝑦 𝑀 = 𝜇𝑁𝑥 + 𝜇𝑥 𝑁

𝜇𝑦 𝑀 − 𝜇𝑥 𝑁 = 𝜇𝑁𝑥 − 𝜇𝑀𝑦

𝜇𝑦 𝑀 − 𝜇𝑥 𝑁 = (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 )𝜇

Se for possível encontrar um fator integrante 𝜇 que satisfaça a equação acima, então a equação diferencial 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 será exata e sua solução poderá ser obtida pelo método visto anteriormente.

Entretanto, a equação 𝜇𝑦 𝑀 − 𝜇𝑥 𝑁 = (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 )𝜇 é uma equação diferencial parcial e não temos ferramentas, nesse momento, para resolvê-la. Por isso, vamos adotar uma simplificação aqui: vamos supor que 𝜇 seja uma função de uma variável, dependendo apenas de 𝑥. Nesse caso, 𝜇𝑥 =

𝑑𝜇

𝑑𝑥

e a equação 𝜇𝑦 𝑀 − 𝜇𝑥 𝑁 = (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 )𝜇 pode ser escrita como: 0. 𝑀 −

𝑑𝜇 𝑁 = (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 )𝜇 𝑑𝑥

𝑑𝜇 𝑁 = (𝑀𝑦 − 𝑁𝑥 )𝜇 𝑑𝑥 𝑑𝜇 (𝑀𝑦 − 𝑁𝑥 ) = 𝜇 𝑑𝑥 𝑁

Porém, pode ser que o quociente

(𝑀𝑦 −𝑁𝑥 ) 𝑁

dependa tanto de 𝑥 como de 𝑦. Se após serem feitas

todas as simplificações algébricas possíveis, o quociente da variável 𝑥, então

(𝑀𝑦 −𝑁𝑥 )

𝑑𝜇 (𝑀𝑦 − 𝑁𝑥 ) = 𝜇 𝑑𝑥 𝑁

𝑁

se tornar dependente apenas

é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Neste caso, podemos encontrar 𝜇, pois a equação acima é uma equação separável bem como uma equação linear. Disso, chegamos que: 𝜇(𝑥) = 𝑒∫ (

𝑀𝑦 −𝑁𝑥 𝑁

)𝑑𝑥

.

De maneira análoga, se, na equação 𝜇𝑦 𝑀 − 𝜇𝑥 𝑁 = (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 )𝜇, o fator integrante procurado 𝜇 for uma função de uma variável, dependendo apenas de 𝑦, teremos 𝑑𝜇 𝑀 − 0 = (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 )𝜇 𝑑𝑦 𝑑𝜇

𝑑𝑦

𝑀 = (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 )𝜇

𝑑𝜇 𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 = 𝜇 𝑑𝑦 𝑀

5

Se

𝑁𝑥 −𝑀𝑦

será:

𝑀

for uma função de 𝑦 sozinho, então um fator integrante 𝜇 para a equação 𝜇 (𝑦 ) = 𝑒

𝑑𝜇

𝑑𝑦

=

𝑁𝑥 −𝑀𝑦 𝑀

𝜇

𝑁𝑥 −𝑀𝑦 ∫( )𝑑𝑦 𝑀

Assim, retomando o exemplo da equação diferencial (3𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) + (𝑥2 + 𝑥𝑦 )𝑦´ = 0, temos: 1 ((3𝑥 + 2𝑦) − (2𝑥 + 𝑦)) (𝑥 + 𝑦) (𝑥 + 𝑦 ) 𝑀𝑦 − 𝑁𝑥 = = 2 = = 2 𝑁 (𝑥 + 𝑥𝑦) 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑥(𝑥 + 𝑦) 𝑥 1 )𝑑𝑥

𝜇(𝑥) = 𝑒∫ (𝑥

= 𝑒ln 𝑥 = 𝑥

Na resolução do exemplo, foi exatamente esse fator integrante que utilizamos: 𝜇(𝑥) = 𝑥.

E se tivéssemos tentado encontrar 𝜇 (𝑦 )?

((2𝑥 + 𝑦 ) − (3𝑥 + 2𝑦)) (𝑥 + 𝑦 ) (−𝑥 − 𝑦) 𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 = =− = 2 2 (3𝑥𝑦 + 𝑦 ) (3𝑥𝑦 + 𝑦 ) 𝑀 𝑦(3𝑥 + 𝑦)

Que é uma função de 𝑥 e 𝑦 e não nos ajuda, neste caso.

Exercício. Torne a equação não-exata abaixo em uma equação diferencial exata e resolva-a. 𝑥𝑦𝑑𝑥 + (2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20)𝑑𝑦 = 0

Resposta. 𝑥2 𝑦 4 + 𝑦 6 − 5𝑦 4 = 𝑐 (o fator integrante usado foi: 𝜇 (𝑦 ) = 𝑦3 ) 2 2 1

1

6...