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general 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Elementales 9 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

Description

´Indice general 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Elementales

9

1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Integraci´ on Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3. Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4. EDO lineal de primer orden homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5. EDO lineal de primer orden no homog´ enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5.1. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6. Ecuaciones reductibles a los casos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.6.1. Ecuaciones ”homog´eneas” de alg´ un grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.6.2. Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6.3. Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6.4. EDO de segundo orden donde no aparece la variable dependiente . . . . . .

26

1.6.5. EDO de segundo orden donde no aparece la variable independiente . . . . .

27

1.7. Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.7.1. Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.7.2. Modelo malthusiano m´ a s realista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.7.3. Modelo log´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.7.4. Modelo cazador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.7.5. Modelo epidemiol´ ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.7.6. Modelo de alelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.8. Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden superior 3

41

2.1. Ecuaciones Lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.1.1. Solucion Homog´enea a coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.1.2. Solucion Particular a coeficientes constantes (M´etodo de Lagrange o Variaci´ on de Par´ametros) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.1.3. Soluci´ on a coeficientes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.1.4. Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.2. Ecuaciones Lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.2.1. Transformaci´ on a un sistema vectorial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.2. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.2.3. Espacios S y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.4. Wronskiano de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.2.5. Coeficientes Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.2.6. Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3. Transformada de Laplace

72

3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.2. El espacio Cα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

3.3. Funciones especiales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.3.1. Escal´ on de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.3.2. Pulso entre a y b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.3.3. Delta de Dirac

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.4. Transformada de una derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.5. Transformada de una integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.6. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.7. Igualdad de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.8. Convergencia Uniforme de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

3.9.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

3.9.2. Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

3.10. Convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

3.11. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3.12. Antitransformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.9. Diferenciabilidad e integrabilidad de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

85

4. Sistemas Lineales de EDO

96

4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.2. Sistemas Lineales en R

96

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.2.1. M´etodo de sustituci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.2.2. M´etodo de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.3. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4. Sistemas Homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5. Soluciones Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.6. Exponencial de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.1. Caso diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6.2. Caso no diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5. Ecuaciones Diferenciales No Lineales

135

5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.2. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3. Sistemas Cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4. Diagramas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.4.1. Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.5. Estabilidad con funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6. Series de potencias y funci´ on de Bessel

176

6.1. Soluciones en forma de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.1.1. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.1.2. El m´etodo de la serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.1.3. Justificaci´ on del m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.1.4. M´etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.2. La ecuaci´ on de Bessel en una aplicaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5

´Indice de figuras 1.1. Osmosis por una membrana semipermeable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Medici´ on de las concentraciones en presencia de la membrana semipermeable. . . . .

10

1.3. Dos soluciones de la EDO y ′ = 0 iguales salvo constante en cada intervalo. . . . . .

14

1.4. Curva Braquist´ ocrona con x ∈ [0,

π ], 2

y ∈ [−1, 0] , par´ ametro k = 1 y constante C = 0. 18

1.5. Comportamiento de la temperatura de un cuerpo T (t) frente a una temperatura ambiente constante TA (t) = 0 (k = 1, w = 1) y constante C = 10. . . . . . . . . . . √ k k2 +w2

√ w . k2 +w2

21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.7. Comportamiento de la temperatura de un cuerpo T (t) frente a una temperatura ambiente oscilante TA (t) = 0 + 10 sen(t) (k = 1, w = 1) y constante C = 10. . . . . .

22

1.8. Bote con rapidez b cruzando un r´ıo cuya corriente tiene rapidez a. . . . . . . . . . .

24

1.9. Poblaci´ on mundial desde 1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.10. Poblaci´ on mundial y tasa de crecimiento entre 1950 y 2050 . . . . . . . . . . . . . .

29

1.11. Poblaci´ on y tasa de crecimiento de Chile entre 1950 y 2050 . . . . . . . . . . . . . .

30

1.12. Poblaci´ on y tasa de crecimiento de India y Zimbabwe entre 1950 y 2050 . . . . . . .

31

1.13. Sistema mec´ anico de un resorte y una masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.14. Sistema mec´ anico de una cadena bajo el efecto de g con un extremo cayendo. . . . .

38

2.1. Analog´ıa electromec´ anica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2. Regimen Sobreamortiguado (arriba), Criticamente Amotiguado (centro) y Subamortiguado (abajo), con C1 = C2 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3. Posibles valores de λ1 y λ2 en C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.4. Diagrama de Bifurcaci´ on de λ1 (b) y λ2 (b) en C, con b → 0. . . . . . . . . . . . . . .

46

1.6. Relaci´ on entre sen φ =

y cos φ =

2

2.5. Representacion de los espacios H y S en 2 dimensiones sobre C (I). . . . . . . . . .

59

3.1. Gr´ afico de la onda cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

6

3.2. Gr´ afico de la onda de dientes de sierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.3. Regi´ on donde las funciones son de orden exponencial con C = 100 y α = 15 . . . . . .

77

3.4. Escal´ on de Heaviside con a = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.5. Pulso entre a = 3 y b = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.6. Distintas funciones fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.1. Poluci´ on en dos estanques del ejemplo 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.2. Comportamiento de la poluci´ on en estanque 2 del ejemplo 4.2.2 . . . . . . . . . . . 101 4.3. Masas atmosf´ericas del ejemplo 4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4. Modelamiento de los amortiguadores de un auto del ejemplo 4.6.1 . . . . . . . . . . 121 5.1. Soluciones de equilibrio para el modelo de conejos y ovejas . . . . . . . . . . . . . . 144 5.2. Soluciones de equilibrio del p´endulo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.3. Soluciones de equilibrio del p´endulo linealizado en torno al origen . . . . . . . . . . 146 5.4. Intersecci´ on de C´ onicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.5. Soluciones (5.5) y (5.6) para k > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.6. Soluci´ on del sistema para una condici´ on inicial en el plano de fases XY . . . . . . . 150 5.7. Diagrama de fase completo para k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.8. Diagrama de fase para k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.9. Diagrama de fase para k = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.10. Diagramas de fase de (5.7) para dos condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.11. Soluciones de (5.7) para dos condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.12. Unicidad de la trayector´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.13. Intersecci´ on de Recorridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.14. A la izquierda, el recorrido orientado de (5.10), y a la derecha el de (5.11) . . . . . . 155 5.15. Trayectorias que convergen al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.16. Punto silla

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.17. Diagrama de fase del sistema (5.12). A la izquierda α < 0, β > 0, y a la derecha α > 0, β < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.18. Diagrama de fase del sistema (5.12). A la izquierda α < 0, β < 0, y a la derecha α > 0, β > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.19. Diagrama de fase del sistema (5.12) para α = 0. A la izquierda β > 0, y a la derecha β < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7

5.20. Diagramas de fase de (5.13) para λ2 /λ1 > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.21. Diagramas de fase de (5.13) para λ2 /λ1 < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.22. Diagramas de fase de (5.13) para λ2 y λ1 < 1 de signos distintos.

. . . . . . . . . . 163

5.23. Diagramas de fase del modelo de conejos y ovejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.24. Diagramas de fase del p´endulo subamortuguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.25. Plano traza/determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8

Cap´ıtulo 1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Elementales 1.1.

Introducci´ on

A modo de introducci´ on consideremos el fen´omeno de Osmosis en presencia de una membrana semipermeable. Se consideran dos medios A y B separados inicialmente (t = 0) por una pared impermeable. Cada medio est´ a representado por una soluci´ on, siendo sus concentraciones iniciales 0 < CB0 respectivamente. En un instante inmediatamente posterior (t > 0) se coloca una memCA brana semipermeable entre los dos medios que permite solamente el paso del agua, pero no de las mol´eculas del soluto (ver figura).

Figura 1.1: Osmosis por una membrana semipermeable. Se observa experimentalmente el movimiento paulatino de agua a trav´es de la membrana desde la soluci´ on de baja concentraci´on de soluto (soluci´ on A) hacia la soluci´ on con alta concentraci´ on de

9

soluto (soluci´ on B) hasta alcanzar asint´ oticamente el valor medio M=

CA0 + CB0 . 2

(1.1)

M´ as precisamente, en el siguiente gr´afico se muestra el resultado del experimento consistente en la medici´ on directa de CA (t) y CB (t): concentraciones de soluto que hay en la soluci´ on A y B respectivamente en funci´ on del tiempo:

Figura 1.2: Medici´ on de las concentraciones en presencia de la membrana semipermeable. Experimentalmente, y debido al paso de agua del medio A al medio B, se obtiene que la concentraci´ on de soluto en A aumenta mientras que la concentraci´ on de soluto en B disminuye hasta alcanzar asint´ oticamente el valor promedio M . Hay adem´ as una cantidad conservada a trav´es del tiempo: CA (t) + CB (t) =M 2

∀t > 0.

(1.2)

De la relaci´ on anterior se puede obtener la concentraci´ on en B conociendo la concentraci´ on en A, por lo que basta estudiar CA (t). Si se hace un gr´ afico de log(CA (t) − M) en funci´ on del tiempo, resulta aproximadamente una recta de pendiente negativa −σ. Una hip´ otesis razonable es entonces un ajuste exponencial de CA(t) a la as´ıntota de abscisa M, esto es, CA(t) = M − K e−σt

(1.3)

donde K es una constante que se obtiene imponiendo la condici´ on inicial CA (0) = CA0

⇒

0 = K = M − CA

CB0 − CA0 . 2

(1.4)

Esto nos provee de una f´ormula expl´ıcita para la concentraci´ on en A en funci´ on del tiempo, que finalmente no es m´ as que un modelo simplificado de la realidad. 10

No completamente satisfechos con esta f´ ormula, desear´ıamos comprender m´ as sobre el proceso o ley que rige fen´ omeno f´ısico de la Osmosis. La idea clave1 consiste en estudiar si existe una relaci´on simple entre CA(t) y su variaci´ on o derivada C ′A (t). Tenemos que: CA′ (t) = σ K exp(−σ t) = σ K exp(−σ t) + σ M − σ M = σ(M − (M − K exp(−σ t))) esto es ′ CA (t) = σ(M − CA (t)).

(1.5)

Tenemos entonces una relaci´ on diferencial simple que podemos interpretar como la ley f´ısica de la Osmosis: el aumento de concentraci´ on en A es proporcional en cada instante a la diferencia de concentraci´ on entre el promedio asint´ otico de concentraciones y la concentraci´ on en A. La constante de proporcionalidad es σ cuyo valor num´erico cuantifica la permeabilidad de la membrana. El conocimiento de la ley (1.5) provee una interpretaci´ on m´ as intuitiva de la soluci´ on (1.3), ley que puede por analog´ıa servir para modelar otros problemas similares. Actualmente, se sabe que la mayor´ıa de los sistemas naturales pueden modelarse a trav´es de relaciones entre cantidades y sus variaciones y variaciones de sus variaciones2 . En t´erminos matem´ a ticos, estamos hablando de identidades o ecuaciones que hacen intervenir una funci´ on y sus derivadas. Notemos que, por un lado, del punto de vista experimental, es mucho m´ as f´ a cil medir una variable f´ısica que medir directamente las relaciones con sus derivadas. Sin embrago, del punto de vista del intelecto humano, es a menudo m´ as f´ acil adivinar u obtener las relaciones entre las derivadas de una magnitud que apreciar la magnitud directamente. Si podemos resolver o simplemente describir las ecuaciones diferenciales, habremos aumentado la comprensi´ on del mundo que observamos. Ejercicio Propuesto 1.1.1. Si en el gr´ afico del experimento de la figura 1.2, el aumento de la concentraci´ on en A hubiese resultado con una forma sigmoide (esto es estrictamente creciente hacia la as´ıntota pero con un punto de inflexi´ on) ¿Qu´e modelo diferencial propondr´ıa usted para este fen´ omeno? Definici´ on 1.1.1. Una Ecuaci´ on Diferencial Ordinaria (abreviada EDO) es una identidad de la forma F (x, y ′(x), y ′′ (x), . . . , y(n) (x)) = 0 donde x es la variable independie...