Resumo - EDO de 2 Ordem PDF

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Monitoria MAT147 – EDO de 2ª Ordem – Resumo – Guilherme Palla Teixeira 1. Independência Linear e Wronskiano Considere uma E.D.O. de 2ª ordem qualquer, onde sabemos que y 1 ( x ) e y 2 (x) são soluções particulares da mesma. Uma solução geral desta E.D.O. seria a combinação linear destas funções:

y geral ( x )=c 1 ∙ y 1 ( x ) +c 2 ∙ y 2 (x) A combinação linear só acontecerá se as funções forem independentes linearmente, ou seja:

y 1 (x ) =função dependente de x y 2 (x ) Podemos definir uma função chamada Wronskiano:

|

W ( y1 ; y2 )= Se o

|

y1

y2

'

y'2

y1

(Wronskiano de ordem 2)

W ( y 1 ; y 2 ) ≠ 0 , teremos um Conjunto Fundamental de Soluções, ou seja, a

combinação linear das duas soluções particulares. Logo, o cálculo do Wronskiano é outro meio de determinar duas funções como sendo C.F.S.

2. . E.D.O. de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes ''

'

a y +b y +cy =0

Seja a E.D.O.

uma E.D.O. homogênea de 2ª ordem com

coeficientes constantes. Vamos pressupor que a solução seria da forma

rx y ( x ) =e . Assim:

( a r 2 e rx )+ ( br erx ) +c erx =0 e rx ( a r 2 +br + c)=0 Uma vez que

e rx ≠ 0 , teremos:

ar ²+br + c=0 que depende do valor de ∆

para obter suas raízes. Vejamos cada caso:

Δ> 0 Δ=0 Δ< 0

onde

c1 y1 +c2 y 2 c1 y1 +c2 x y1 c e αx (¿ ¿ 1 cosβx+ c 2 senβx) ¿

r=α ± βi .

3. Método de Variação de Parâmetros 1

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y '' +b y ' +cy=g (x) , onde

Seja a E.D.O. E.D.O. será:

g(x)≠ 0 . Uma solução geral para tal

y geral ( x )=u1 ( x ) ∙ y 1 ( x ) +u 2(x )∙ y 2 (x) onde u1 e

u2 será a solução do sistema abaixo:

{

' ' u1 ∙ y 1 +u2 ∙ y 2 =0(Eq .1) ' ' ' ' u 1 ∙ y 1+u 2∙ y 2 =g ( x )(Eq.2)

A solução deste sistema, sendo correspondente, será:

u1 (x ) =−∫ u2 (x ) =∫

y 2 (x ) ∙ g ( x ) W ( y 1 ; y 2)

y1

e

y2

as soluções da E.D.O. homogênea

dx + c1

y 1 ( x )∙ g ( x ) dx+ c 2 W ( y 1 ; y 2)

Logo, a solução geral será:

y g ( x )=− y 1 ( x )∙∫

y 2 ( x) ∙ g ( x ) W ( y1 ; y2 )

dx+ y 2 ( x ) ∙∫

y1 ( x ) ∙ g ( x ) W ( y 1 ; y 2)

dx + c1 y 1 ( x ) +c 2 y 2(x )

4. Método de Redução de Ordem Considerando y 1 uma solução particular de uma EDO de segunda ordem, pelo Método de Redução de Ordem ou Teorema de D’Alembert, teremos como solução geral:

y g ( x )=v ( x ) ∙ y 1 ( x ) .

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