EDO Lineal Homogenea PDF

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Resumen de las EDO Lineales Homogeneas...

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Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Homog´eneas con Coeficientes Constantes

´ n: Introduccio Para iniciar con el estudio de este tipo de E.D.O’s. se deber´a recordar que la forma de gen´erica de una ecuaci´on diferencial homog´enea es : ay′ + by = 0 Donde: a 6= 0 y b son constantes. Para obtener una manera alternativa de resolver este tipo de ecuaciones se despejar´a y ′ de (1), obteniendo de esta manera la naturaleza de la nueva soluci´on, la misma que se describe a continuaci´on:

ay′ + by = 0 b y′ = − y a y ′ = ky Donde k es una constante Esta es la u ´nica funci´on elemental no trivial cuya derivada es una constante m´ ultiple de s´ı misma es la funci´on exponencial emx . En este apartado se dar´a a conocer las soluciones exponenciales para las ED lineales homog´eneas de orden superior, an y n + an−1 y (n−1) + ... + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0 ´ rico: Desarrollo Teo Ecuaci´on Auxiliar:

(1)

2 Para lograr obtener esta eccuaci´on primero se considerar´a una ecuaci´on de segundo orden:

ay′′ + by ′ + cy = 0

(2)

donde a, b, c son constantes. Si se intenta encontrar una soluci´ on de la forma mx y = e (*), la misma que se derivar´a dos veces para hacer los reemplazos correspondientes en la ecuaci´on (2), para de esta manera llegar a la ecuaci´ on auxiliar. La resoluci´on es la siguiente: Derivando (*) obtenemos: y ′ = memx (a) y ′ = m2 emx (b) Reemplazando (a) y (b) en (*): am2 emx + bmemx + cemx = 0 ´o emx (am2 + bm + c) = 0 am2 + bm + c = 0

(3)

mx

Esta ecuaci´on se cumple debido a que e 6= 0 para toda x, es obvio que la u ´nica forma en que y = emx pueda satisfacer la ecuaci´on diferencial (2) es cuando se elige m como una ra´ız de la ecuaci´on cuadr´atica. Tipos de Soluciones Debido a que (3) se resuelve mediante la ecuaci´on general: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a se obtienen dos ra´ıces las mismas que recaen en los siguientes casos: Caso I: Ra´ıces Reales y Distintas Bajo la suposici´on de que la ecuaci´on auxiliar (3) tiene dos ra´ıces reales desiguales m1 y m2 ,encontramos dos soluciones, y1 = em1 x y y2 = em2 x . Siendo funciones linealmente independientes en (−∞, ∞) y, por tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la soluci´on general de (2) en este intervalo es: y = c1 em1 x + c2 em2 x (4)

3 Caso II: Ra´ıces Reales Repetidas Cuando m1 = m2 , necesariamente se obtiene s´ olo una soluci´on exponenb m1 x cial, y1 = e . De la f´ormula cuadr´atica se encuentra que m1 = − puesto 2a que la u ´nica forma en que se tiene que m1 = m2 es tener b2 − 4ac = 0. Obtenemos de (5) una segunda soluci´on: y2 = em1 x

R R e2m1 x dx y2 = em1 x dx 2m x 1 e y2 = xem1 x

(5)

b En (5) hemos usado el hecho de que − = 2m1 . La soluci´on general es a entonces: y = c1 em1 x + c2 xem1 x (6) Caso III: Ra´ıces Complejas Conjugadas Si m1 y m2 son complejas, entonces se puede escribir m1 = α + iβ y m2 = α − iβ , donde α y β > 0 son reales i2 = −1. De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por tanto, y = c1 e(α+iβ)x + c2 e(α−iβ )x Para luego obtener la soluci´on general: y = eα(c1 cos(βx) + c2 sen(βx)) Ejercicios Resueltos Ejercicio 1: * 2y ′′ − 5y ′ − 3y = 0

2m2 − 5m − 3 = 0 (2m + 1)(m − 3) = 0 1 m1 = − y m2 = 3 2 La soluci´on es:

(7)

4 x y = c1 e 2 + c2 e3x −

********************************************** Ejercicio 2: * y ′′ − 10y ′ + 25y = 0

m2 − 10m + 25 = 0 (m − 5)2 = 0 m1 = m2 = 5 La soluci´on es: y = c1 e5x + c2 e5x ************************************************* Ejercicio 3: * y ′′ + 4y ′ + 7y = 0

m2 + 4m p +7=0 −4 ± 16 − 4(1)(7) x= 2 √ √ m1 = −2 + 3i y m2 =√−2 − 3i α = −2 y β = 3 La soluci´on es: √ √ y = e−2x (c1 cos( 3x) + c2 sen( 3x)) Ejercicios Propuestos 1.- 9y ′′ + y ′ = 0 2.- y ′′ − 10y ′ + 18y = 0

5

3.- y ′′ + 37y = 0 4.- y ′′ − 7y ′ = 0 5.- 19y ′′ + 67y ′ + 183y = 0 6.- 87y ′′′ + y ′′ = 0...