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T´ opicos Sobre Equa¸ c˜ oes Diferenciais Ordin´ arias

Paulo Doutor e Paula Rodrigues Faculdade de Ciˆencias e Tecnologia - 2016 -

FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

2

Conte´ udo 1 Equa¸ c˜ oes diferenciais de 1 ordem 1.1

5

Modelos com equa¸c˜oes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Modelo de crescimento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Modelo de crescimento log´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Outros modelos de EDO de 1 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2

Conceitos base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3

Resolu¸ca˜o de equa¸co˜es diferenciais de 1 ordem . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1

Equa¸co˜es de vari´ aveis separ´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2

Equa¸ca˜o linear de 1 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3

M´etodos num´ericos para a resolu¸c˜ao de EDO . . . . . . . . . . . . . 30

2 Equa¸ c˜ oes diferenciais de 2 ordem e sistemas de equa¸ c˜ oes

35

2.1

Modelos com EDO de 2 ordem e sistemas de EDO . . . . . . . . . . . . . 35

2.2

Equa¸co˜es lineares de 2 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

´ CONTEUDO

FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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Cap´ıtulo 1 Equa¸ c˜ oes diferenciais de 1 ordem 1.1

Modelos com equa¸c˜ oes diferenciais

As equa¸c˜oes diferenciais s˜ ao uma ferramenta usual na modela¸ca˜o de sistemas biol´ ogicos ou ecol´ogicos. Muitas das aplica¸co˜es t´ıpicas, por exemplo, dinˆ amica populacional, epidemiologia ou evolu¸ca˜o de rea¸co˜es, relacionam o estado do sistema com a sua taxa de varia¸ca˜o. Uma equa¸ca˜o diferencial ordin´ aria (EDO) ´e uma igualdade envolvendo fun¸co˜es de estado (x = x(t) ou y = y(t)) que expressam quantidades dependentes de uma vari´avel independente, t, (muitas vezes representando a vari´avel tempo), que pode ou n˜ao figurar explicitamente na equa¸ca˜o e as derivadas das fun¸co˜es de estado x′ = x′ (t), x′′ = x′′(t), etc. Apresentam-se alguns problemas que podem ser modelados utilizando equa¸co˜es diferenciais ordin´ arias e que servir˜ ao para motivar a apresenta¸ca˜o dos conceitos e t´ecnicas relacionadas.

1.1.1

Modelo de crescimento exponencial

ao – Lei de Malthus) Para uma poExemplo 1 (Crescimento de uma populac ¸˜ pula¸ca˜o de indiv´ıduos defina-se P = P (t) como o n´ umero de indiv´ıduos no instante de 5

˜ 1.1. MODELOS COM EQUAC ¸ OES DIFERENCIAIS tempo t. A taxa de varia¸ca˜o da popula¸ca˜o depender´ a de P , sendo maior ou menor consoante P o for. Por simplicidade, assumimos que a u´nica varia¸ca˜o na popula¸ca˜o s˜ ao os nascimentos, n e as mortes m e que estes acontecem a uma taxa constante. Ent˜ ao a popula¸ca˜o evolui segundo a equa¸ca˜o diferencial P ′ = (n − m)P. Esta equa¸c˜ao ´e conhecida como a lei de Malthus, considera-se que a varia¸ca˜o da popula¸ca˜o ´e proporcional ao tamanho da popula¸ca˜o, em cada instante. Note-se que se n > m ent˜ ao P ′ > 0 logo a popula¸ca˜o cresce e se n < m ent˜ao P ′ < 0 logo a popula¸ca˜o decresce. Exemplo 2 (Crescimento de uma c´elula) Suponhamos que uma c´elula ´e colocada num ambiente ideal e que os qu´ımicos necess´ arios ao seu metabolismo atravessam suficientemente r´apido a membrana de forma a que o crescimento da c´elula dependa apenas do metabolismo no interior da c´elula. Pretende-se determinar a fun¸ca˜o m = m(t) que descreve a varia¸ca˜o da massa da c´elula a partir de um instante inicial t0 em que m(t0 ) = m0 . Como o resultado do metabolismo depende da massa das mol´eculas envolvidas espera-se que a taxa de crescimento da c´elula seja proporcional a` massa da c´elula em cada instante de tempo. Esta varia¸c˜ao da massa pode ser descrita pela equa¸ca˜o m′ (t) = am(t) sujeita a` condi¸ca˜o inicial m(t0 ) = m0 . Na equa¸ca˜o, m(t) representa a massa da c´elula em fun¸ca˜o do tempo, m′ (t) a respetiva taxa de crescimento e a uma constante de proporcionalidade positiva. Exemplo 3 (Decaimento radioativo) Resultados experimentais mostram que os elementos radioativos desintegram-se a uma taxa proporcional `a quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) ´e a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t, ent˜ ao a taxa de varia¸ca˜o de Q(t) com FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ DIFERENCIAIS DE 1 ORDEM CAP´ITULO 1. EQUAC ¸OES respeito ao tempo t ´e dada por: Q′ = −kQ(t) onde k ´e uma constante positiva que depende do elemento. Por exemplo, para o carbono14 o valor aproximado de k ´e 1, 244 × 10−4 e para o r´ adio o valor aproximado de k ´e 1, 4 × 10−11.

Comum a todos estes exemplos ´e o facto da taxa de crescimento (decaimento) ser proporcional `a quantidade existente. Todos eles podem ser descritos pela EDO x′ = kx, k ∈ R.

(1.1)

` equa¸ca˜o diferencial podemos juntar uma condi¸ca˜o sobre o comportamento da solu¸ca˜o A num certo instante, obtendo o seguinte modelo x′ = kx, k ∈ R e x(t0 ) = x0 .

(1.2)

Facilmente se verifica as fun¸co˜es x(t) = Cekt, onde C ´e uma constante arbitr´ aria, s˜ ao solu¸ca˜o da EDO (1.1) uma vez que substituindo na equa¸ca˜o diferencial obtemos uma proposi¸ca˜o verdadeira. E que x(t) = x0 ek(t−t0 ) ´e solu¸c˜ao de (1.2), uma vez que, para al´em de ser solu¸c˜ao da equa¸ca˜o diferencial, verifica ainda a condi¸ca˜o x(t0 ) = x0 . Quando a taxa de crescimento ´e positiva (k > 0), x(t) cresce exponencialmente e quando k < 0, x(t) decai exponencialmente e quando k = 0, x(t) ´e constante. A figura 1.6 ilustra as trˆes possibilidades. FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ 1.1. MODELOS COM EQUAC ¸ OES DIFERENCIAIS

Figura 1.1: Solu¸co˜es particulares de (1.2) para k positivo (linha tracejada), negativo (linha cont´ınua) e nulo (linha pontilhada).

1.1.2

Modelo de crescimento log´ıstico

Na sec¸c˜ao anterior consider´ amos modelos de crescimento de popula¸co˜es que n˜ ao inclu´ıam fatores como a limita¸ca˜o dos recursos dispon´ıveis ou a competi¸ca˜o intra-esp´ecie. Vamos agora introduzir estes fen´ omenos. Exemplo 4 (Crescimento de uma populac ¸˜ ao – Modelo log´ıstico) Consideremos a varia¸ca˜o ao longo do tempo de uma popula¸ca˜o com x(t) indiv´ıduos no instante t. Vamos considerar que os recursos dispon´ıveis para o seu crescimento s˜ ao limitados (pode ser a quantidade de nutrientes numa caixa de petri, ou a abundˆ a ncia de presas para um predador, etc.) e/ou h´ a competi¸ca˜o entre os indiv´ıduos da mesma esp´ecie (pode ser competi¸ca˜o pelo alimento. espa¸co, acasalamento, etc.). Suponhamos que a taxa de crescimento k ´e proporcional a` quantidade de nutrientes a, da seguinte forma k = pa, sendo p constante (pode representar um ´ındice de fertilidade). FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ DIFERENCIAIS DE 1 ORDEM CAP´ITULO 1. EQUAC ¸OES Suponhamos tamb´em que a quantidade de nutrientes varia ao longo do tempo, a = a(t) pois ´e consumida pela popula¸ca˜o de acordo com a equa¸ca˜o a′ (t) = −bx′ (t), com b > 0 (esta afirma que a quantidade de nutrientes decresce proporcionalmente ao crescimento da popula¸ca˜o sendo b uma constante de proporcionalidade que representa o consumo de cada indiv´ıduo por unidade de tempo). Ent˜ ao a quantidade a + bx ´e constante ao longo do tempo i.e. a(t) + bx(t) = b0 ⇐⇒ a(t) = b0 − bx(t), b0 ∈ R e ent˜ao k = p(b0 − bx(t)). Obtivemos desta forma uma nova equa¸ca˜o diferencial que descreve o crescimento de uma popula¸ca˜o levando em conta que a popula¸ca˜o n˜ao pode crescer indefinidamente x′ = px(b0 − bx). Note que o segundo membro ´e uma par´ abola (na vari´ a vel x) com a concavidade voltada para baixo, que tem dois zeros em x = 0 e x = b0 /b. Ent˜ a o, x′ > 0 para 0 < x < b0 /b, a popula¸ca˜o cresce; e x′ < 0 para x > b0 /b, a popula¸ca˜o decresce. A constante K = b0 /b ´e chamada a capacidade de suporte da popula¸ca˜o. Podemos reescrever a equa¸ca˜o da seguinte forma mais usual  x . x′ = rx 1 − K

(1.3)

onde r = pb0 . Este modelo ´e conhecido como modelo de crescimento log´ıstico. A solu¸ca˜o geral ´e da forma x(t) =

CKert , 1 + Cert

(1.4)

com C uma constante arbitr´ aria. A solu¸c˜ao do problema associado `a condi¸ca˜o inicial x(0) = x0 ´e da forma x(t) =

Kx0 ert . K + x0 (ert − 1)

(1.5)

Na figura 1.2 est˜ ao representadas duas solu¸co˜es particulares para o caso r = 1, K = 10 e x0 = 1 (linha cont´ınua) e x0 = 19 (linha tracejada). No caso x0 < K a popula¸ca˜o ´e crescente e para x0 > K a solu¸ca˜o ´e decrescente. Em ambos os casos, aproxima-se assiptoticamente da capacidade de suporte da popula¸c˜ao K . FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ 1.1. MODELOS COM EQUAC ¸ OES DIFERENCIAIS

Figura 1.2: Solu¸co˜es particulares do modelo de crescimento log´ıstico para o caso r = 1, K = 10 e x0 = 1 (linha cont´ınua) e x0 = 19 (linha tracejada). Na figura 1.3 ´e apresentado o resultado de experiˆencias levada a cabo por G.F. Gause, em 1934 sobre o crescimento de popula¸c˜oes de organismos unicelulares. Note que estas popula¸co˜es exibem comportamento semelhante ao crescimento log´ıstico que acab´ amos de descrever (com x(0) < k). No pr´ oximo exemplo vemos que as mesmas equa¸co˜es tamb´em servem para modelar um problema totalmente diferente. ˜ o de uma epidemia) Exemplo 5 (Propagac ¸a Os primeiros modelos sobre propaga¸c˜ao de epidemias remontam a Kermack e McKendrick, em 1927. Neste exemplo, vamos estudar o modelo cl´ assico Suscet´ıveis-Infetados(SI) nascimentos ou mortes. Para uma certa doen¸ca infeciosa, pretende-se estudar a evolu¸ca˜o do n´ umero de infeciosos numa popula¸ca˜o ao longo do tempo. Relativamente a esta doen¸ca, os indiv´ıduos s˜ao suscet´ıveis ou infeciosos e assuma-se que um indiv´ıduo infecioso n˜ao recupera da infe¸ca˜o, durante o per´ıodo considerado. O n´ umero de indiv´ıduos num instante de tempo t em cada FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ DIFERENCIAIS DE 1 ORDEM CAP´ITULO 1. EQUAC ¸OES

Figura 1.3: Experiˆencias de G.F. Gause, em 1934, envolvendo duas popula¸ca˜o de organismos unicelulares (Paramecium caudatum e Paramecium aurelia), que mostram crescimento log´ıstico.

uma das classes ser´ a denotado por S = S(t) e I = I(t). Vamos considerar que o n´ umero total de indiv´ıduos n˜ ao se altera ao longo do tempo e ´e dado por N = S(t) + I(t). O n´ umero de novos infeciosos num intervalo de tempo [t, t + ∆t] ´e o n´ umero de indiv´ıduos infeciosos no instante inicial do intervalo, I(t), multiplicado pelos contactos que em m´edia um indiv´ıduo tem nesse intervalo de tempo, c∆t, vezes a probabilidade desse contacto ser com um indiv´ıduo suscet´ıvel S(t)/N = (N − I(t))/N . Obtemos, I(t + ∆t) = I no final

I(t) I no in´ıcio

+ c∆tI(t)

N − I(t) N

novos infeciosos

Dividindo ambos os termos por ∆t e passando ao limite quando ∆t se aproxima de zero (o intervalo de tempo muito pequeno) temos agora I ′ = cI (t)

N − I(t) . N

Note-se que temos de novo a equa¸ca˜o de crescimento log´ıstico   I ′ I = cI 1 − , N com r = c e K = N . FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ 1.1. MODELOS COM EQUAC ¸ OES DIFERENCIAIS ˜ 1 Este modelo prevˆe que, no limite t → +∞, toda da popula¸ca˜o estar´ a Observac ¸ao infetada. Esta conclus˜ ao n˜ ao ´e razo´ avel, mesmo para doen¸cas com transmiss˜ ao muito alta. Relembre-se que este modelo ´e apenas indicado quando se consideram curtos per´ıodos de tempo, durante os quais ´e razo´avel considerar que os indiv´ıduos se mant´em transmiss´ıveis sem consequˆencias para os pr´ oprios. Em alternativa, em vez de uma doen¸ca podemos pensar num caso de coloniza¸ca˜o, sem consequˆencias negativas para o hospedeiro. Exerc´ıcios 1 1. Indique uma solu¸ca˜o geral do modelo SI. 2. Considerando N = 1000 e c = 2, determine uma solu¸ca˜o particular para o caso I(0) = 3. Qual o n´ umero de infetados ao fim de 5 unidades de tempo?

1.1.3

Outros modelos de EDO de 1 ordem

˜o) Exemplo 6 (Migrac ¸a Um fen´ omeno comum quando se considera o crescimento de uma popula¸ca˜o ´e o contributo dos movimentos de migra¸ca˜o da popula¸ca˜o. Vamos alterar o modelo de crescimento exponencial de forma a incluir a entrada e sa´ıda de indiv´ıduos com taxas constantes i, e, respetivamente. Desta forma, obt´em-se x′ = kx − e + i.

(1.6)

Estamos a considerar que a migra¸ca˜o n˜ ao est´ a dependente do tamanho da popula¸c˜ao. Podemos considerar ainda outras situa¸co˜es. A emigra¸ca˜o dos indiv´ıduos ´e proporcional ao tamanho da popula¸ca˜o x′ = kx − ex + i. Por exemplo, e = 0.01 significaria que emigra 1% da popula¸ca˜o por cada unidade de tempo. A migra¸ca˜o varia ao longo do tempo e ´e, por exemplo, sazonal. Imaginemos uma situa¸c˜ao em que uma popula¸ca˜o animal numa determinada regi˜ ao aumenta no ver˜ ao e diminui no inverno pro movimentos de migra¸ca˜o de acordo com fun¸ca˜o peri´ odica m(t) = a cos(bt). FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ DIFERENCIAIS DE 1 ORDEM CAP´ITULO 1. EQUAC ¸OES Exemplo 7 (Arrefecimento de um corpo) Um corpo cuja temperatura ´e superior `a temperatura do ambiente envolvente est´ a em arrefecimento. Vejamos como avaliar a temperatura do corpo como fun¸ca˜o do tempo. Seja T = T (t) a temperatura do corpo no instante de tempo t, T0 a temperatura no instante t = 0, e Ts a temperatura constante do ambiente envolvente. A derivada de T corresponder´ a `a taxa de arrefecimento. Como a temperatura decresce, esta derivada ser´ a negativa. Assumimos que a taxa de arrefecimento ´e proporcional a` diferen¸ca T − Ts , isto ´e, T ′ = −k(T − Ts ), onde k ´e uma constante positiva determinada pela condi¸co˜es f´ısicas da troca de calor. A solu¸ca˜o geral desta EDO ´e

T(t)

T (t) = ce−kt + Ts .

t

Figura 1.4: Solu¸ca˜o do problema definido por T ′ = −k(T − Ts ), T (0) = T0 para k = 1, Ts = 20 e T0 = 100.

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˜ 1.1. MODELOS COM EQUAC ¸ OES DIFERENCIAIS A solu¸ca˜o do modelo T ′ = −k(T − Ts ), e T (0) = T0 ´e ent˜ ao T (t) = (T0 − Ts )e−kt + Ts . A figura 1.4 mostra uma solu¸ca˜o particular. Note que quando t tende para infinito o primeiro termo de e−kt tende para zero, pelo que a temperatura se aproxima assimptoticamente de Ts . Exerc´ıcios 2 1. Modifique o modelo SI, apresentado no Exemplo 5, de forma a incluir a entrada por imigra¸ca˜o de indiv´ıduos infetados a uma taxa constante a. 2. Verifique que os modelos dos Exemplos 6 e 7, podem ser escritos na forma x′ = ax+b, com a e b parˆ ametros reais. Exerc´ıcio 3 Fa¸ca corresponder as equa¸co˜es aos problemas descritos (mais do que uma equa¸ca˜o pode coincidir com uma descri¸ca˜o, e vice-versa). Os problemas: 1. A taxa de varia¸ca˜o da popula¸ca˜o de um determinado pa´ıs ´e proporcional das taxas de nascimento e morte, bem como do n´ umero de imigrantes, que chegam a uma taxa constante ao pa´ıs. 2. A taxa de varia¸ca˜o da popula¸ca˜o de um pa´ıs depende das taxas de nascimento e morte e existe emigra¸c˜ao do pa´ıs a uma taxa constante. 3. A taxa de reprodu¸ca˜o de uma determinada esp´ecie de peixes est´ a sujeita aos limites impostos pela capacidade do ambiente e da popula¸ca˜o. A popula¸c˜ao pode ser reduzida pela pesca que decorre a uma taxa constante. FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ DIFERENCIAIS DE 1 ORDEM CAP´ITULO 1. EQUAC ¸OES 4. A temperatura de um edif´ıcio varia de acordo com a temperatura exterior que varia periodicamente (baixa durante a noite e alta durante o dia). N˜ ao h´ a aquecimento ou ar condicionado. 5. A temperatura de um edif´ıcio varia de acordo com a temperatura exterior que varia periodicamente (baixa durante a noite e alta durante o dia). Existe uma fonte de aquecimento que est´ a a ser aplicada a uma taxa constante. 6. A temperatura de um edif´ıcio varia de acordo com a temperatura exterior que ´e constante. N˜ ao h´a aquecimento ou ar-condicionado. 7. A temperatura de um edif´ıcio varia com a temperatura exterior que ´e constante. Existe uma fonte de aquecimento que est´a a ser aplicada a uma taxa constante. 8. Uma substˆ ancia radioativa desintegra-se a uma taxa proporcional a` quantidade presente. 9. A quantidade de cloro numa piscina varia da seguinte forma: o cloro ´e adicionado a uma taxa fixa, a a´gua na piscina ´e bem misturada, e a ´agua est´ a a ser removida a partir da piscina de modo que o volume total seja constante. As equa¸co˜es (todas as constantes s˜ ao positivas): (e1) x′ = −kx;

(e7) x′ = −k(x − sin(t)) + c;

(e2) x′ = −kx + c;

(e8) x′ = −k(x − sin(t));

(e3) x′ = −kx1/3 ;  x (e4) x′ = kx 1 − ; K  x (e5) x′ = kx 1 − + c; K  x (e6) x′ = kx 1 − − c; K

(e9) x′ = −k(x − sin(t)) − c; (e10) x′ = −k(x − K) + c; (e11) x′ = −k(x − K) − c; (e12) x′ = −k(x − K);

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1.2. CONCEITOS BASE (e13) x′ = kx;

(e15) x′ = kx − c;

(e14) x′ = kx + c;

1.2

Conceitos base

Uma equa¸ca˜o onde a inc´ ognita ´e uma fun¸ca˜o e que relaciona os valores da fun¸ca˜o com os das suas derivadas e da vari´avel independente denomina-se equa¸c˜ao diferencial. Defini¸ c˜ ao 1 Uma igualdade do tipo F (t, x, x′ , x′′, . . . , x(n) ) = 0 onde F ´e uma fun¸ca˜o que depende de uma vari´avel independente t, real, x = x(t) ´e uma vari´ avel real dependente ao as derivadas de x em ordem a t denomina-se equa¸ca˜o diferencial de t e x′ , x′′, . . . , x(n) s˜ ordin´ aria de ordem n ou, mais simplesmente, EDO de ordem n. Vejamos dois exemplos. Exemplos 8 1. A equa¸ca˜o y ′ = y − t2

(1.7)

onde t ´e a vari´avel independente, y = y(t) ´e a fun¸ca˜o inc´ognita, denominada vari´ avel dependente e y ′ a derivada de primeira ordem de y ´e uma equa¸ca˜o diferencial ordin´ aria. Esta equa¸ca˜o diferencial ´e de primeira ordem pois a derivada de ordem mais elevada que nela est´ a envolvida ´e a primeira. 2. A equa¸ca˜o y.y ′′ − ty ′ = 0 ´e um exemplo de uma equa¸ca˜o diferencial de segunda ordem. FCT-UNL – T´ opicos sobre Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias – 2019/20

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˜ DIFERENCIAIS DE 1 ORDEM CAP´ITULO 1. EQUAC ¸OES Defini¸ c˜ ao 2 Uma solu¸ca˜o particular de uma EDO num intervalo I ⊂ R ´e uma fun¸c˜ao x = x(t) que satisfa¸ca a equa¸ca˜o nesse intervalo I, ou seja, uma fun¸c˜ao x com derivadas x′ , x′′, . . . , x(n) que transformam a equa¸c˜ao numa proposi¸ca˜o verdadeira, qualquer que seja o valor de t ∈ I . Na equa¸ca˜o (1.7) y ′ est´ a relacionada com um ponto (t, y), o que permite associar a cada ponto (t, y) o declive y ′ = y − t2 . Defini¸ c˜ ao 3 Uma representa¸ca˜o geom´etrica que a cada ponto do plano (t, y) associa o declive y ′ calculado a partir de uma equa¸ca˜o diferencial denomina-se campo de dire¸c˜oes. Exemplo 9 A figura 1.5 representa o campo de dire¸co˜es da equa¸ca˜o y ′ = y − t2 . y 3

2

1

0

-1 -2

-1

0

1

t

Figura 1.5: Campo de dire¸co˜es da equa¸ca˜o y ′ = y −...