Problemas Ecuaciones Diferenciales Lineales DE Primer Orden PDF

Preview

Summary

Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? t=10 añosLa población se triplicara a los 7 años y se cuadriplicara a los 10 añ...

Description

1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?

t=10.0021 años La población se triplicara a los 7.9265 años y se cuadriplicara a los 10.0021 años.

2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial Po? ¿Cuál será la población en 10 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t=10?

3. La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t .Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? dP / dt =KP ; P´ = KP

Solución:

(P´)/P=k ; ∫ ▒〖 dP /dt=∫ ▒ kdt 〗

t= tiempo en horas p: población de bacterias

ln P=kt + c, P=e kt +c ≡e kt∗ ec → P= c∗e kt

P0= población inicial

dP / dt =kP P=c 〖∗e 〗

K: constante de proporcionalidad

P (3 ) =c∗e3 k =400, c=400∗e−3 k

dP/dt: razón de crecimiento

P(10)=c∗e10 K =2000 400∗e(−3 k )∗e 10 k =2000

7k

e =5 7 k =ln 5 k =ln 5/7 ≈ 0.23 (−3∗0.23)

c=400 e

=200.6 P=200.6 e 0.23 t P 0=200.6 E0 =200.6 ≅201

kt

Ley de newton enfriamiento/ calentamiento 4. Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de 70° F al exterior, donde la temperatura del aire es de 10° F. Después de medio minuto el termómetro indica 50° F. ¿Cuál es la lectura del termómetro en t =1 min? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 15° F?

5. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20° C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar los 90° C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en 1 segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar los 98° C?

CIRCUITOS 6. Una inductancia de 2 Henrios y una resistencia de 10 Ohms se conecta enserie con una f.e.m. de 100 volts, si la corriente es cero cuando t = 0 ¿Cuál es la corriente después de t = 0,1s?

Datos L = 2h R= 10Ω V= 100V I = 0A t = 0s Pregunta I =? t = 0,1s Desarrollo

De acuerdo a la ecuación

(1.7)

dI + RI =E (t) dt Reemplazando los datos del problema se obtiene L

dI + 10 I =100 dt Simplificando se tiene 2

dI +5 I =50 dt La misma es una ecuación diferencial lineal, por lo tanto: 5 dt I =e−5∫ dt∗∫ e ∫ ∗50 dt −5 t 5t I =E ∗∫ 50 e ∗dt 10 e5 t +c −5 t I =e ∗¿ I =10+c e−5 t

Cuando se cumple que

I (0)= 0:

c=−10 Reemplazando el valor de c se obtiene: −5t I =10(1−e )

Cuando t= 0,1s −5∗0.1 I ( 0.1 )= 10(1− e ) I ( 0.1 )=3.93 A Por lo tanto la corriente después de t = 0,1s es I= 3,9A

7. Hallar la intensidad de corriente que circula por un circuito RL impulsada por la fuerza electromotriz V=V_0 e^ (-2r) cos2t cuando L= 0.4 henrios R= 5 ohmios, V_0= 100 voltios, i = 0 para t = 0 SOLUCION De acuerdo a la segunda ley de kuchoff, la corriente en el circuito es gobernada por la ecuación

Ri+L

di =V dt

y reemplazamos V =

V 0 e−2t

2t

V0 L ) e−2 t cos 2t di R + i=¿ di L

Reemplazando los valores numéricos

Entonces

di +12.5i=250 e−2t dt

i=e−12.5 t [∫ e

−12.5 t

ohm R =12.5 henrios L

y

V0 voltios =250 henrios L

cos 2πt y la solución de esta ecuación es :

250 e−2 t cos 2 dt + c ]

Siendo C una constante de integración efectuando la integral se tiene:

[

i=e−12.5 t 250 e 10.5 t

−2 t

i=1.66 e

[ 10.5 cos 2 πt +2 π sen 2 πt ]

[(10.5)2 +(2 π )2 ]

+C

]

−12.5 t

10.5 cos 2 πt +2 π sen 2 πt + ce

Usando ahora las condiciones iniciales de que para t = 0 , i = 0 , entonces : C = -17.43 Por tanto:

i=1.66 [ 10.5cos 2 πt+ 2 π sen 2 πt ] e−2t −17.43 e−12.5 t

cos...