Tema 1 Serie Ecuaciones diferenciales de primer orden PDF

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS SERIE DE EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

En los ejercicios 1-11 verificar si la función es solución de la ecuación diferencial dada. 1. y  xe3x y  6

9y  0

7. 3x 2 y  cos 3x  c ;

2.

y  6x 2e x ; y   2 y   y  12e x

3.

x x y  c1e  c2e 2 ; y   y   2 y  0

4.

y ce

 2x



5. y  cos x ln cos x  xsen x ; y  y  sec x 6.

y  e  x ln 1 

y   2   y 

x

x

9. e x  cy (x  2)2

(4  )

10. y 3 ( x  y)  cex / y ;

 (  2)

0

dy xy  2 dx ( x  2 y)

11. x 3  c (y  x )e y / x ;

;

 2x

1 (

8. x 3  cy 2 ; 3 ydx  2 xdy

y 5 6  0

 3x

dy 2 sen3 x  y 2 dx x x

 1)

2

 2 xy  y  dx  xydy  0 2

2

En los ejercicios 12-20 resolver las ecuaciones diferenciales por separación de variables. 12. x

16. ( y 2  xy 2 ) y  x  xy  0

dy  3y  0 dx

13. 2

(

2

17. e y (1  )  1

 1)

3

3

14. tan xsen ydx  sec x cos ydy  0 15.

2x

sen2

 (2 

2x

) sec2

0

18. 4 xyy   y 2 1 ; y (2)  1 19. (

 )

(

2

2

2

2



2

 2)

20. ( xy  x) dx  ( x2 y2  x2  y2  1) dy

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En los ejercicios 21-28 utilizar un cambio de variable para resolver la ecuación diferencial dada. (Sugerencia: considerar u  ax  by  c ). 21. y  sen( x  y  7)

24.

22. y  cos( y  x  3)

dy  x y 2 dx

25. (3x  2 y  1)dx  (3x  2 y  3)dy  0 2

23. ( x  y) y  4

26. ( x  y  4) dx  (2 x  2 y  3) dy  0

En los ejercicios 27-36 resolver las ecuaciones homogéneas utilizando el cambio de variable más conveniente. 27. y  

33. 2 xydx  ( y 2  3x 2) dy  0

x y xy

34. x 2y   4x 2  7 xy  2 y 2

2  2 

35.

29. ( x  y ) dx  xdy  0

36.

28.

(

30.

2



2

)

 cos2 ( / )[ 2

 (





]0

x y )e /

0

31. (4 x3 y  y4 ) dx  ( x4  4 xy3 ) dy  0 32. x 2 ydx  ( y 3  2 x 3) dy  0

En los ejercicios 37-43 verificar si las ecuaciones diferenciales dadas son exactas o no, en caso afirmativo determinar una familia de soluciones. 2

37. (

 3)

(

3



2

)

0

38. (2xy  sec 2 x)dx  ( x 2 2 y) dy  0 39. (sen  sen 

1

)

 ( cos  cos 

1

)

0

40. ( exsen y 2 ysen x) dx ( ex cos y 2 cos x) dy 0 41. (2 xy cos x2  2 xy 1) dx  (sen x2  x2 ) dy  0 42. [sen( xy)  xy cos( xy)]dx  x 2 cos( xy) dy 0 43.

2

sen( )

[ sen( )  cos( )]



0 Página 2 de 4

En los ejercicios 44-50 verificar si las ecuaciones diferenciales dadas son exactas o no, en caso afirmativo resolverlas, de otra manera, hallar un factor integrante si es posible y resolverlas posteriormente. 44. (x  3x 3sen y)dx  x4 cos ydy  0 45. (1 

2

)



2

49. (3

(  )

3

2

2

)

 (3

2

 7)

0

50. y (x  y  1)dx  x( x  3 y  2) dy  0

46. 2xydx  (4 y 3x 2 ) dy  0 47. (  sen  sen )

48. ( x  2)sen y dx  x cos y dy  0

 cos

0

En los ejercicios 51-62 resolver las ecuaciones diferenciales que sean lineales. 57. ( xy 1) dx  ( x2  1) dy  0

  5x2

51. 2

58. 3xy   2 y  x 3

52. y  2 y cot 2 x  cos 2 x

59. y   2xy  x 3

4

53. xy  y  x ln x

60. (1  cos )

54. y  x  4 xy 55. y   y sen x  sen x , y(0)  1

 [2  ( 1)3 ]

56. ( 1)

0

61. sen x

 (2 sen  tan )

0

dy  y cos x  xcos x sen x dx

x 62. xdy  (xy  2y  2e  )dx  0 , y (1)  0

En los ejercicios 63- 70 verificar si las ecuaciones diferenciales son o no de Bernoulli y en caso afirmativo resolverlas. 63. 3xy  2 y  x3 y2 64.



2



ln 3 6

67. 2 sen 2

65. xy   y  x 2 y 4 66. 2

 y( x  1)d  6y 3 dx  0

dx

 sen  cos 

2

cos x

68. xy  6 y  3xy2/3 69. (2 xy  x 2 y 5) y  1 70. ( x2 1)

dy  xy  ( x3  x) y2  0 , y (0)  1 dx

En los ejercicios 71-79 utilizar una ecuación diferencial para resolverlos. 71. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de elipses definida por x 2  3y 2  c 2 . Página 3 de 4

72. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas determinada por la función implícita

x 2  y 2  2c x . 73. Si la temperatura ambiente en una habitación es de 20 °C y un cuerpo se enfría en 20 minutos desde

100 °C a 60 °C, ¿dentro de cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta 40 °C? 74. Un cadáver se halla a las doce de la noche y se observa que tiene una temperatura de 82 °F. Una hora después su temperatura es de 76 °F. La temperatura de la habitación se mantuvo constante a 70 °F. Suponiendo que cuando estaba vivo su temperatura era de 98.6°F. Estimar la hora de su muerte. 75. Un depósito contiene 300 L de agua con una concentración de sal de 0.2 g/L. Agua conteniendo una concentración de sal de 0.4 g/L ingresa al depósito a una tasa de 2 L/seg. Una válvula abierta permite que salga el agua a la misma tasa. (a) Determinar la cantidad y la concentración de sal del depósito como una función del tiempo, (b) ¿cuánto tiempo tomará que la concentración de sal aumente a 0.4 g/L? 76. Se tiene un tanque lleno con 100 m3 de agua. El agua contiene cloro con una concentración de 0.6 g/m3. Se bombea agua al tanque con una concentración de 0 .15 g/m3, a una tasa de 5 m3/s. El agua fluye a otro tanque a una tasa de 5 m3/s. Calcular en qué momento la concentración será de 0.4 g/m3. 77. Después de hallar un fósil, un arqueólogo determina que la cantidad de C 14 presente en el fósil es 25 % de su cantidad original. ¿Cuál es la edad del fósil? 78. En la Zona Arqueológica de Teotenango, México, se encontraron restos humanos conteniendo 85 % de C 14. La vida media del C 14 es de aproximadamente 5700 años. Calcular la antigüedad de los restos.

79. Hallar una curva que pase por el punto P ( 0,2) , de manera que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en tres unidades.

Bibliografía 

Ibarra Escutia, Joel. Ecuaciones Diferenciales Matemáticas 5. 2013. México. Mc Graw Hill. ISBN 9786071509628. EAN: 9786071509628.

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Zill, Dennis. Wright, Warren. Ibarra, Joel. Matemáticas 5 Ecuaciones Diferenciales. 2018. México. CENGAGE LEARNING. ISBN 9786075265568. Página 4 de 4...