Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli PDF

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Informe investigativo de las Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli...

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NOMBRE: Ligia Verónica Guambo (14340) CARRERA: Minas 3 CATEDRA: Matemáticas III TEMA: Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli DOCENTE: Ing. Patricio Tierra PERIODO ACADEMICO Abril – Septiembre 2021

INDICE 1.

OBJETIVOS ........................................................................................................ 2

2.

DESARROLLO ................................................................................................... 2 1.0.

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli ......................................................... 3

3.

APLICACIONES ................................................................................................. 6

4.

CONCLUSIONES ............................................................................................... 6

5. RECOMENDACIONES ............................................................................................ 7 5.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS................................................................. 7

1. OBJETIVOS 1.1.Objetivo General Analizar y conocer la aplicaciopn de las ecuaciones diferenciales de Bernoulli. 1.2.Objetivos especificos ✓ Aplicar los conocimientos adquiridos basados en la investigacion para realizar la ejercicios. ✓ Brindar al estudiante un conocimiento mas amplio para su beuna aplicacion en los ejercicios a resolver. 2. DESARROLLO 2.0. Biografia Daniel Bernoulli Daniel Bernoulli (29 de enero de 1700 – 17 de marzo de 1782) matemático, estadístico, físico y médico. Nació en Groningen, Holanda. Su padre Johann Bernoulli, fue un investigador que realizó importantes aportes al primitivo desarrollo del cálculo. La familia tuvo que huir hacia los Países Bajos españoles debido a la persecución de los hugonotes. Tras un breve período en Frankfurt se establecieron en Basilea, Suiza. Bernoulli siempre fue un joven muy inteligente y curioso. En la secundaria logró notables calificaciones y dominaba tres idiomas, al graduarse ingresó a la universidad para estudiar medicina y obtuvo su título en el año 1721 gracias a su tesis sobre la respiración donde asumió el enfoque mecanicista que predominaba en la época y que estaba más cerca de sus inclinaciones intelectuales. Desde muy pronto manifestó su interés por las matemáticas. Aunque consiguió un título médico en 1721, fue profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en 1725. Posteriormente dio clases de filosofía experimental,

anatomía y botánica en las universidades de Groningen y Basilea, en Suiza.Bernoulli promovió en Europa la aceptación de la nueva física del científico inglés Isaac Newton. Estudió el flujo de los fluidos y formuló el teorema según el cual la presión ejercida por un fluido es inversamente proporcional a su velocidad de flujo. Utilizó conceptos atomísticos para intentar desarrollar la primera teoría cinética de los gases, explicando su comportamiento bajo condiciones de presión y temperatura cambiantes en términos de probabilidad. Sin embargo, este trabajo no tuvo gran repercusión en su época. Bernoulli murió el 17 de marzo de 1782 en Basilea. 1.0.Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli Consideraremos ahora un tipo algo especial de ecuaciones que se pueden reducir a una ecuación lineal mediante una transformación apropiada. Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de Bernoulli.(Ross, 1992) Definicion Una ecuación de la forma 𝒅𝒚 𝒅𝒙

+ P(x)y= Q(x)𝒚𝒏

se denomina ecuación diferencial de Bernoulli. Observamos que si n = 0 o 1, la ecuación de Bernoulli es realmente una ecuación lineal y, por tanto, es fácilmente resoluble como tal. No obstante, en el caso general en el que n ≠ 0 o 1, no se presenta esta situación tan sencilla, por lo que hemos de proceder de un modo diferente. Enunciamos y demostramos ahora el teorema ydx + 2xdy =0 M(x,y)= y, N(x,y)=2x

𝝏𝑴(𝒙,𝒚) 𝝏𝒚

=1≠2=

𝝏𝑵(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙

el cual proporciona un método de solución en el caso general. Supongamos que n ≠ 0 o 1. Entonces la transformaciòn 𝒗 = 𝒚𝟏− 𝒏 reduce la ecuacion de Bernoulli a una ecuacion lineal en 𝒗. 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦 𝑛 𝑑𝑥 Demostraciòn: multiplicamoa primeramente la ecuacion

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦 𝑛 por

𝒚−𝒏 , expresandola por tanto en la forma equivalente.(Mott, 2015) 𝒚−𝒏

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ P(x)𝒚𝟏 − 𝒏 = Q(x)

Si hacemos 𝒗 = 𝒚𝟏− 𝒏, entonces 𝑑𝑣 𝑑𝑥

= (1 - n) 𝒚𝟏− 𝒏

𝑑𝑦 𝑑𝑥

Y la ecuacion 𝒚−𝒏 1 𝑑𝑣 1−𝑛 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ P(x)𝒚𝟏 − 𝒏 = Q(x) se transforma en

+ P(x) 𝑣 = Q(x)

O, lo que es equivalente, 𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ (1 - n)P(x)𝑣 = (1 - n)Q(x)

Haciendo 𝑃1 (𝑥)= (1 - n) P(x) y 𝑄1 (𝑥)= (1 - n) Q(x), que es lineal en 𝑣. Ejemplo 𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ y =𝑥𝑦 3

Esta ecuacion es del tipo de Bernoiulli con n = 3. Primeramente multiplicamos los dos miembros de la ecuacion por 𝒚− 𝟑 y obtenemos la forma equivalente 𝒚− 𝟑

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝒚− 𝟐= x. 𝑑𝑣

Si lo hacemos 𝒗 = 𝒚𝟏− 𝒏 = 𝒚− 𝟐, entonces 𝑑𝑥 = -2𝒚−𝟏 anterior se transforma en la ecuacion −

1 𝑑𝑣 2 𝑑𝑥

+ 𝒗 = x;

Escribiendo esta ecuaciòn lineal en forma normal 𝑑𝑣 𝑑𝑥

– 2y = -2x,

Vemos que un factor integrante para estaecuaciòn es 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 − ∫ 2𝑑𝑥 = 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑣

Multiplicamos 𝑑𝑥 – 2y = -2x por 𝑒 −2𝑥, temenos 𝑒 −2𝑥 𝑑 𝑑𝑥

𝑑𝑣 𝑑𝑥

– 2𝑒 −2𝑥 𝑣 = -2 𝑥𝑒 −2𝑥

(𝑒 −2𝑥 𝑣) = -2 𝑥𝑒 −2𝑥

Integrrando ahora obtenemos 𝑒 −2𝑥 𝑣 = 𝑣=𝑥+

1 2 1 2

𝑒 −2𝑥 (2𝑥 + 1)= + c, + 𝐶𝑒 2𝑥 ,

Donde C es una constante arbitraria, Pero 𝑣=

1 𝑦2

,

𝑑𝑦 𝑑𝑥

y la ecuaciòn diferencial

Por lo que se obtienen entonces las soluciones de

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ y =𝑥𝑦3 en la forma

1 1 = 𝑥 + + 𝐶𝑒 2𝑥 2 𝑦 2 3. APLICACIONES La ecuacion Bernoulli representa el principio de la conservacion de la energia mecanica, el nombre de la ecuacion es aquellla en la cual la ecuacion diferencial en que es cualquier numero real. Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli. Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluídos. Un fluído se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluídos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluídos son tanto gases como líquidos. Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: •

El fluído se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en

un punto no varía con el tiempo. •

Se desprecia la viscosidad del fluído (que es una fuerza de rozamiento interna).

•

Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio

únicamente. 4. CONCLUSIONES Finalmente y para concluir se determino que, la resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas

prácticas. La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez de variación de una variable con respecto otra. Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación diferencial. 5. RECOMENDACIONES Siempre la informacion es adquirida debe ser netamente de fuentes confiables para su entendimiento. Una forma en la que se puede aprender especialmente la matematica es sabiendo perfectamente la teoria para poderlo hacer de una forma `practica, entonces por ello debemos practicar mucho ejercicios. 5. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Mott, R. L. (2015). Diseño de elementos de maquinas (Cuarta Edi). Ross, S. L. (1992). ECUACIONES DIFERENCIALES (Editorial Reverte (ed.)). Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Ecoe Ediciones. https://elibro.net/es/lc/espoch/titulos/69222...