Sistema de ecuaciones diferenciales PDF

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TAREA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALESProblema 1 Dos tanques se encuentran interconectados. El segundo tanque se llena con el primero, el cual a su vez desahoga a otro equipo. La altura que ocupa el fluído del primer tanque está determinada por h 2 y la altura del tanque 2 es h 1. Las ecuaciones...

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TAREA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Problema 1 Dos tanques se encuentran interconectados. El segundo tanque se llena con el primero, el cual a su vez desahoga a otro equipo. La altura que ocupa el fluído del primer tanque está determinada por h2 y la altura del tanque 2 es h1. Las ecuaciones que describen el vaciado de dichos tanques interconectados son las siguientes: 𝒅𝒉𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟔(𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 ) 𝒅𝒕

𝒅𝒉𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟔(𝒉𝟏 − 𝒉𝟐) − 𝟎. 𝟎𝟔𝒉𝟐 𝒅𝒕 h1(0) = 0 , h2(0) = 1000, h = 1 Utilizando el Método de Runge-Kutta de orden 4 calcule los valores faltantes en la Tabla: t

h1

h2

k1,1

k1,2

k2,1

k2,2

0

0

1000

60

?

54.6

-111

1

54.8767

?

50.0204

-103.3334

45.4198

?

2

?

Solución: h1(2)=100.5328; h2(1)=888.5504; k1,2(0)=-120; k2,2(1)= -95.6328

Problema 2 El mezclado imperfecto en un reactor continuo de tanque perfectamente agitado se puede modelar como dos o más reactores con recirculación entre ellos. En este sistema se lleva a cabo una reacción isotérmica irreversible del tipo A

B

de orden 1 k con respecto al reactante A. Con los datos que se dan a continuación calcule la concentración del reactante A en los dos reactores 1 y 2 (C A1 y CA2 respectivamente) durante el tiempo necesario para alcanzar el régimen permanente. Ensaye diferentes tamaños de paso de integración y compare los resultados. Utilice el método de RK-4. Datos: F=25 L/min

CA0=1 mol/L

FR=100 L/min

CA1(0)=1.0 mol/L

CA2(0)=0.0 mol/L

k=0.2 (L/mol)0.8 min-1

Después de realizar un balance del componente A en cada uno de los reactores, se llega al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝒅𝑪𝑨𝟏 = 𝟏. 𝟐𝟓𝑪𝑨𝟐 + − 𝑪𝑨𝟏 − 𝟎. 𝟐𝑪𝑨𝟏𝟏.𝟖 𝒅𝒕 𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝒅𝑪𝑨𝟐 𝟏𝟐𝟓 (𝑪𝑨𝟏 − 𝑪𝑨𝟐) − 𝟎. 𝟐𝑪𝑨𝟐𝟏.𝟖 = 𝟐𝟎 𝒅𝒕 NOTA.- El régimen permanente se alcanza cuando ya no hay variación en las concentraciones.

Problema 3 En un reactor tipo tanque perfectamente agitado se lleva a cabo una reacción química exotérmica, cuya temperatura se controla por medio de un líquido que circula por medio de una chaqueta que se mantiene a una temperatura uniforme Tj. Calcule la temperatura T y la concentración CA de la corriente de salida cuando el reactor trabaja a régimen transitorio y hasta que alcanza el régimen permanente para el caso de una reacción de primer orden. Utilice el método de Runge-Kutta de Cuarto Orden y los siguientes datos, para un paso de integración de 500 s: CA0 = CA(0) = Concentración del reactante A en el flujo de alimentación = 5 gmol/L T(0) = 300 K F = Gasto de alimentación al reactor = 10 ml/s V = Volumen del reactor = 2000 ml T0 = Temperatura del flujo de alimentación = 300 K H = Calor de reacción = - 10000 cal/gmol U = Coeficiente Global de transmisión de Calor = 100 cal/°C s m2 A = Área de transmisión de calor = 0.02 m2 k = Constante de velocidad de reacción = 8 X 1012exp(-22500/1.987 T) s-1 Tj = Temperatura del líquido que circula por la chaqueta = 330 K Cp = Calor específico de la masa reaccionante = 1 Kcal/Kg °C  = Peso específico de la masa reaccionante = 1 Kg/L Balance de materia para el reactante A: 𝒅𝑽𝑪𝑨 = 𝑭𝑪𝑨𝟎 − 𝑭𝑪𝑨 − 𝒌𝑽𝑪𝑨𝒏 𝒅𝒕 𝒅𝑽𝝆𝑪𝒑𝑻 = 𝑭𝝆𝑪𝒑(𝑻𝟎 − 𝑻) − ∆𝑯𝒌𝑽𝑪𝒏𝑨 − 𝑼𝑨(𝑻 − 𝑻𝒋 ) 𝒅𝒕 𝒅𝑪𝑨 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝟓 − 𝑪𝑨 ) − 𝟖 𝑿 𝟏𝟎𝟏𝟐 𝒆𝒙𝒑 (− ) 𝑪𝑨 𝒅𝒕 𝟏.𝟗𝟖 𝑻 𝒅𝑻

PVI

𝒅𝒕

= 𝟎. 𝟎𝟎𝟓(𝟑𝟎𝟎 − 𝑻) + 𝟖 𝑿 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒆𝒙𝒑 (−

𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎 𝟏.𝟗𝟖 𝑻

) 𝑪𝑨 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟏(𝑻 − 𝟑𝟑𝟎)

CA(0) = 5 gmol/L T(0)= 300 K Solución:

t= 3000 s = 50 min; CA= 1.0802 gmol/l; T = 338 K...