Ecuaciones Diferenciales PDF

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PROBLEMASe aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine lacorriente i(t), si i(0)=0. Determine la corriente conforme t→0.El circuito esta descrito en la Figura 1.SOLUCION:Entonces, aplicando la ley de mallas de ...

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PROBLEMA Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0)=0. Determine la corriente conforme t→0. El circuito esta descrito en la Figura 1.

SOLUCION: Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la corriente i(t), tenemos: L

∂i +iR= E (t ) … … ( 1 ) ∂t

La ecuación en forma estándar es: a2 ( x )

2 ∂y ∂ y +a 1 ( x ) +a0 ( x ) y=g ( x ) 2 ∂x ∂x

La forma estándar anterior representa una ecuación diferencial de 2º orden, donde su única variable dependiente es y y su variable independiente es x.

La ecuación diferencial que relaciona a las variables dependientes i(t) y q(t), en su forma de derivada es: i=

∂q ∂t

Para nuestro caso la ecuación diferencial a resolver, según la ecuación (1) y sustituyendo los valores del problema planteado, es:

0.1

∂i +50 i=30 … …(3) ∂t

Resolviendo la ecuación (3): I.

Forma estándar:

dy/dx+P(x)y=g(x)⇒di/dt+500i=300 II. e∫

Factor Integrante: p( x) dx

=e∫

e∫

500 dt

p( x) dx

=e

500t

III. Forma de la solución:

y = yc + yp ⇒ i(t) = itr(t) + ips(t) − p ( x )dx − 500 dt →itr ( t )=C e ∫ y c =C e ∫ −500 t

→itr ( t )=C e y p=

1 ∫ P (x ) dx

e

→ips (t )=

1 500 t

e

∫ e∫ P ( x) dx f ( t ) dx

∫ e500 t∗300 dt

→ips (t )=

300 ∫ e500 t dt e500 t

→ips (t )=

300 e 500t∗500 dt 500t ∫ 500∗e

3 −500t 500 t [e ] →ips (t )= ∗e 5 →ips (t )=

3 5

Por tanto la corriente (total en el circuito), buscada es: i ( t )=itr (t ) +ips ( t )

3 →i ( t ) =C e−500 t + … …(4) 5

Para encontrar el valor de C utilizamos los valores iniciales i(0)=0, es decir cuando el tiempo t es 0 la corriente i en el circuito es 0 también. Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación para la corriente resultante del circuito (4), tenemos: i ( t )=C e−500t +

∴C=

3 5

0=C e−500 ( 0) +

3 5

−3 5

De donde la Corriente Buscada es:

0=C ( 1 )+

3 5

0=C+

3 5

i ( t )=

−3 −500 t 3 e + … …(5) 5 5

Es evidente, observando la ecuación (5), que cuando t→∞, i(t)= 3/5, este resultado se hace más evidente cuando graficamos la corriente i(t), resultante como en la Figura 2. De aquí que se le llame transitorio al término:

−3 −500t e 5

Grafica de la corriente encontrada:...