Resumen, ecuaciones diferenciales PDF
| Title | Resumen, ecuaciones diferenciales |
|---|---|
| Author | Joel Llano Sanchez |
| Course | cálculo ii |
| Institution | Universidad de Las Palmas de Gran Canaria |
| Pages | 83 |
| File Size | 3.7 MB |
| File Type | |
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ECUACIONESDIFERENCIALES Definición: Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona una ó más variables independientes,lafunciónquedependedeella/s,yunaómásderivadasdedichafunción. EnelcasodeUNAvariableindependiente: ED:
expresióndonde:
, , , , ⋯ , 0
; ′ ;⋯ Derivadasordinarias
También,llamando ,sesuelenexpresardelasiguienteforma: ED:
siendo:
, , , , ⋯ , 0
Derivadas ; ′ ;⋯ ordinarias
Al tener la ecuación únicamente derivadas ordinarias, a la ED se la denomina ecuación diferencial ordinaria(EDO). EnelcasodeDOS(óMÁS)variablesindependientes: ED(dosvariables): expresióndonde:
;
, , ⋯ , , , , , , , 0
Derivadasparciales ⋯ ;
También,llamando , ,sesuelenexpresardelasiguienteforma: ED:
siendo:
, , ⋯ , 0 , , , , , ,
Página1
; ; ⋯ Derivadasparciales
Al tener la ecuación derivadas parciales, a la ED se la denomina ecuación diferencial en derivadas parciales(EDP). Definición:Ordende unaecuacióndiferencial,es elmayororden delasderivadas queintervieneen laecuación. Ejemplos:
Ecuacióndiferencialordinaria 2 sen ⟹ EDOdecuartoorden
Ecuaciónenderivadasparciales 3 ⟹ 3 EDPdesegundoorden
Definición: Grado de unaecuación diferencial, es el grado (exponente) de la máxima derivada que intervieneenlaecuación. Ejemplos:
EDOdesegundoorden 3 2 ⟹ ygradotres
Por sencillez, y desde ahora en adelante, salvo indicación expresa en contra, nos referiremos a las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs), dejando el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales(EDPs)parauncursosuperior. CONCEPTODESOLUCIÓNDEUNAECUACIONDIFERENCIAL
Llamamos solución de una ecuación diferencial en un determinado dominio (intervalo) Ω, a la funcióncuyasderivadassatisfacenlaecuacióndiferencial,paratodoendichodominio: , , , , ⋯ , 0
Ejemplo:Comprobemosque esunasolucióndelaEDO 2,paratodovalor ∈ : → 2 2 → 2 2 2 2
Página2
Cuando la solución se presenta en la forma , la denominamos solución explícita. En ocasiones, la solución se expresa como una función implícita, , 0, y se denomina solución implícita.
Ejemplo: , 1 0 0, semicircunferencia de radio 1, es una solución implícitadelaED: 0eneldominio(intervalo)1 1. , 0 → , 2 2 0 →
SustituyendoenlaED:
0
SOLUCIÓNGENERAL.SOLUCIÓNPARTICULAR Unaecuacióndiferencialpuedetener(ynormalmenteasíocurre)másdeunasolución.Parahallarlas solucioneshayqueresolverlaecuacióndiferencial. Resolver una ecuación diferencial implica básicamente integrar, y se integrará tantas veces consecutivas como sea el orden de la ecuación diferencial. Con cada integración aparecerá una constantearbitraria,deforma que laexpresiónfinalde lasolucióndependerádetantasconstantes arbitrariascomoseaelordendelaecuacióndiferencial. Ejemplo:
4
4 → 4 → 4 4 → 4 2 4 → 4 6 2 2
Alasoluciónquecontienetantasconstantes arbitrariascomoordendelaecuacióndiferencialsela denominasolucióngeneraldelaecuacióndiferencial. La solución general de una ecuación diferencial representa un haz de curvas que satisfacen la ED. Para cada elección del conjunto de constantes arbitrarias , convenientemente elegidas, obtendremosunacurvaconcretadehaz,yquedenominaremossoluciónparticulardelaED.
Página3
Ejemplo:
cos
cos → cos → sen
Enesteejemplo,altratarsedeunaEDdeorden1,lasolucióngeneralsolodependedeunparámetro ,yconsisteenelhazdecurvas: sen 4
2
2
1
10
5
0
5
2
10
0
1
2
4
Fig.01:Hazdecurvasdelasolucióngeneral sen
Paracadavalordiferentedelaconstanteobtendremos unacurvaconcretay quecorrespondecon unasoluciónparticulardelaEDO. Para 2;seobtienelacurva sen 2,soluciónparticulardelaED(curvaenverde).
Normalmente,lasconstantesarbitrariasqueaparecenenlasolucióngeneral nosuelen serfácilesde interpretar.Amenudo,labúsquedade unasoluciónparticularse haceindicandotantascondiciones (quehadecumplirdichasolución)comoseaelordendelaED. Página4
Para nuestro ejemplo, si deseamos la solución particular que pasa por el punto 0,1 (condición), tenemos: sen → 1 sen 0 → 1 → sen 1
Sin embargo, la búsqueda de una solución particular en base a condiciones que ha de cumplir la curva,plantealanecesidadde analizarlaexistenciayunicidad de lasoluciónbuscada,cuestiónque nosepresentaeligiendodirectamentelasconstantesarbitrarias. EXISTENCIAYUNICIDADDESOLUCIÓNDEUNAECUACIÓNDIFERENCIAL Normalmente,lascondicionesbajo lascualesunaEDdadatiene soluciónsonbastantesgenerales,y noespropósitodeestecursosuestudio,dejándoloparacursossuperiores. Noobstante,hayquetenerpresentequeexistenED que no tienensolución.Paraotras,susolución no puede expresarse mediante funciones trascendentes (no tienen primitiva), pero pueden describirsenuméricamente. Ejemplo:
sen
También debe tenerse en cuenta que para encontrar una solución particular no vale cualquier conjunto de condiciones para fijar las constantes arbitrarias. Puede que para unas condiciones concretasnohayasolución,oquehayados(omás,inclusoinfinitas)deunasoluciónparticular: Ejemplo:EstaED,paralacondición1 0,tieneinfinitassolucionesparticulares
1 0 1
→ → 1 1 1
Al observar que en ambos miembros de la igualdad solo quedan expresiones de una sola variable, procederemosaintegrarlosporseparado:
1 1 1 → ln ln1 ln 1 1 1 1
1 1 1 → → ln 1 ln ln 1 1 1
Paralacondicióndada:
1
11 0 0 → 0 1 1
Página5
Hayinfinitosvaloresdela constante ∈ 0 que verifican la ED.Para lacondicióndada, hay infinitassolucionesparticulares.
Silacondiciónfuera0 1,nosencontramosquesólohayunasoluciónparticular: 0
10
01
1 1 1 → 2 → 1 1
Enconsecuencia,lascondicionesquefijanlosteoremas deexistenciayunicidad desolución de una EDdeberántenerseencuentaparalabúsquedadeunasoluciónparticular. Como ya se ha comentado, estos teoremas se estudiarán en cursos superiores, por lo que en el presenteasumiremosqueseverifican dichas condiciones. Es decir, consideraremos queelproblema estáformalmentebienplanteado,yprocederemosaresolverlo. Por último comentar que algunas ED también tienen otras soluciones denominadas “singulares” (ó raras) que no pertenecen al haz de curvas de la solución general. Son casos especiales, por lo que solamentecomentaremossuexistencia. ESTUDIODELASECUACIONESDIFERENCIALES Antesdeempezarconelestudio delasED, hemos derecalcarla gran importancia quetienenenla Ingeniería debido a que muchas leyes de la Física se expresan matemáticamente en forma de ED. Esquemáticamente: MétodosAnalíticos
Sistema Físico
Modelo Matemático Paraestudio,controly prediccióndelSistemaFísico (generalmenteunaED)
MétodosNuméricos
Normalmente,enelestudiodelaEDsurgentrestiposdeproblemas: 1. DadalaEDyconocidounhazdecurvas,comprobarquedichohazessolucióndelaED. 2. Dadounhazdecurvas,hallarlaEDcorrespondiente. 3. DadalaED,hallarelhazdecurvasdelasolucióngeneral(**).
Página6
PROBLEMA TIPO1:Dadala EDyconocidoun hazdecurvas,comprobarquedicho hazessolución delaED. Pararesolverlobastarátomarlaecuacióndelhazde curvas, hallarlasderivadashastael ordenque requieralaEDencuestión,y sustituir dichas expresionesenlaED, comprobandoqueseverifica la misma. Ejemplo:DadalaEDO 0,comprobarque ⁄ essolucióngeneral.
SustituyendoenlaEDO:
→
0 ⟹ VerficalaEDO
Obsérvesequelasolucióngeneralrepresentaunhaz decurvas.Enconcreto, hipérbolas equiláteras. TodaslascurvasdelhazcumplenlaEDO.
0
0
Página7
Elejerciciotambiénpuedeproponerse deformamássencillasinospiden comprobar queunacurva en concreto (solución particular o una singular) es o no solución de la ED. Siguiendo con nuestro ejercicio,seríacomprobarsi,porejemplo,lacurva 1⁄ essolucióndelaED.
PROBLEMATIPO2:Dadounhazdecurvas,hallarlaEDcorrespondiente.
Conocida la función que depende de un conjunto de parámetros, , 1,2, ⋯ , , paraobtenerlaEDqueverificadichafunción,derivaremosésta,tantasvecescomoparámetroshaya (veces).Eliminandolosparámetrosenelsistemaresultante,hallaremoslaEDpedida.
Ejemplo:HallarlaEDcuyasoluciónes tan 1
Nºdeparámetros:1→derivaremosunavez: tan
1 ′ 1 cos
Para eliminar el único parámetro , podemos simplemente restar ambas expresiones. Finalmente, operando,encontramoslaEDpedida:
1 → cos 0 cos
PROBLEMATIPO3:DadalaED,hallarelhazdecurvasdelasolucióngeneral. Consiste en resolver la ED hallando la solución general. Es el tipo de problema que tiene mayor interésparanosotros.Eselmáscomplejo,yesalquededicaremosmayortiempoyatención. Como ya se mencionó, nos dedicaremos a resolver EDO. Para ello, aprenderemos a identificar algunostiposdeEDO,cuyassolucionessomoscapacesdehallaryexpresaranalíticamente. Parafacilitarelestudio,agruparemoslasEDOendosgrandesgrupos,segúnsuorden: A. Ecuacionesdiferencialesordinariasdeprimerorden,, , . B. Ecuacionesdiferencialesordinariasdeordensuperior(alprimero).
(AmbosgruposasuvezlossubdividiremosdeacuerdoconlaformadelaED). Recordemos que, resolver una ED supone hallar el haz de curvas que verifica dicha ecuación, con tantosparámetros(constantesarbitrarias),comoseaelordendelaED. En este casohallaremosla solucióngeneral.
Página8
En caso de que sólo nos interese una curva del haz de soluciones, deberemos indicar los valores concretos que han de tomar las constantes, ó fijar tantas condiciones como sea el orden de la ED (parapoderdeterminarlasconstantes).Enestecasohallaremosunasoluciónparticular.
Ejemplo: Hallar del haz de curvas de la solución de la EDO 0, la que pasa por el punto 1,1, 1 1. 0 → →
→ → →
Solución → ln ln → ln ln ln → ln ln → general
Lasolucióngeneralesunhazdecurvasconsistentesenhipérbolasequiláteras.
Lacurvaenconcretoquenosinteresaeslaquepasaporelpunto1,1:
1 Solución → 1 1 → 1 → particular 1
Lacurvapedidaeslasoluciónparticularhallada. Observaciones:
Lacondiciónquedebecumplirlacurvapedidaes quedebeperteneceralhaz decurvasdela solucióngeneral,yademáspasarporelpunto 1,1 → | 1 → 1 1
Recuérdese que con cualquier condición arbitrariamente escogida NO siempre se puede obtener una solución particular. Incluso para una determinada condición puede haber más de unasoluciónparticular(verejemploenapartadosanteriores).Porejemplo, para nuestro ejercicionohaysoluciónparalacondición1 0.
Recordemostambiénquelascondicioneselegidashan de satisfacerdeterminados teoremas de existencia y unicidad de la solución, no estudiados en este curso. Por ello, se insiste en que,alosefectosdeestecurso,supondremoselproblema bienplanteado,yprocederemos aresolverlo.
Página9
A. ECUACIÓNDIFERENCIALORDINARIADEPRIMERORDEN Es el primer grupo en el que hemos clasificado las EDO a estudiar. Para facilitar su estudio y resoluciónprocederemosasuvezaclasificarlasendistintossubgrupossegúnlaformadelaED. Aprenderemos a reconocer según la forma los distintos tipos de EDO, y a aplicar diversas técnicas adecuadasasuformapararesolverlas. Enocasiones,unaEDOpuedeclasificarsecomo pertenecienteadosómássubgrupos distintos,ysu resoluciónpodráefectuarsesiguiendodiversastécnicas.Seescogerálatécnicaqueseconsideremás sencilla. La solución final siempre será la misma, independientemente de la técnica aplicada (problemabienplanteado,unicidaddesolución). Definición: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden puede expresarse, bien de forma implícita, , ,óbiendeformaexplícita ,
AcontinuaciónvamosadarlarelacióndelosdiferentestiposdeEDOdeprimerordenquevamosa estudiar. Son los tipos más conocidos, para los que se conoce un procedimiento para obtener su solución.EstaclasificaciónnoincluyetodaslasEDOdeprimerorden,nitodoslosgruposconocidos: 1.
Devariablesseparadas
2.1.
Homogénea.
2.2.
Reducibleahomogénea
3.1.
Diferencialexacta
3.2.
Reducibleadiferencialexacta(Factorintegrante)
4.1.
Lineal
4.2.
Reduciblealineal(Bernoulli)
Ademásdelosgrupos mencionadoshayotroscuyoestudio estámás alládelospropósitos de este curso,comolasdeRicatti,LagrangeoClairaut. Página10
PROBLEMADEVALORINICIAL Paracadauno delostipos deEDO, quemencionamosantes,severáel procedimientoparaobtener lasolucióngeneral. Nomenosimportanteesladeterminaciónde unasoluciónparticularconcretadelaEDO deprimer orden. Para obtener una solución particular, puesto que la solución general de una EDO de primer orden sólotieneunaconstantearbitraria,nosbastará,bienconocerelvalorconcretodedichaconstante,ó bien calcularla a partir de una condición que ha de verificar la solución particular buscada. Por ejemplo, del haz de curvas de la solución general, la que pase por el punto del plano , ; es decir,laquecumpla .Enestecaso,aestacondiciónselallamacondicióninicial,yalvalor dondesefijadichacondición,puntodeinicio(abscisadelpuntodeinicio): , Condicióninicial:
,valorconcreto ,puntodeinicio
A una EDO de primer orden, acompañada de una condición inicial se la llama problema de valor inicial,PVI(ódeCauchy).
, Problemadevalorinicial: "Hallar "
Ejemplo: Resolver la EDO , ∈ , y encontrar la solución particular para ln 3, siendo,laconstantedeintegración.Hallartambiénlacurvaquepasaporelpunto0,2. → → 1 → 1 → 1 1 → ln1 → 1Solucióngeneral
ln 3 → 1 1 → 3 1Soluciónparticular
Parahallarlacurvaquepasapor0,2:
1 → ∙ 1 1 0 2 → 3 → ln 3 → → 3 1Soluciónparticular
Hemos obtenidolamismasolución particulardedosformas;definiendolaconstante de integración ó...
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