Resumen de Ecuaciones Diferenciales para universitarios. PDF

Preview

Summary

Jsjsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjs jsjsjsjs jsjsjsjs jsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjsjsjsjsj jsjjsjsjsjsjs jsjsjsjsjs jsjsjsjsjsjsjsjs jsjsjsjsjsjsj jsjsjsjsjsjsjs...

Description

CIENCIA - TECNICA - CULTURA

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ORIZABA ORIZABA, VERACRUZ

CARRERA:

INGENIERÍA ELÉCTRICA MÓDULO: ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO:

UNIDAD 5: INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER CATEDRÁTICO: M.C. ALFONSO MAÑÓN ALARCON ALUMNO: JAVIER DIAZ ARAIZA

Contenido 5.1 Teoría Preliminar........................................................................................... 3 5.2 Series de Fourier........................................................................................... 5

5.3 Series de Fourier en Cosenos, Senos y de medio intervalo.........................11 5.4 Bibliografía.................................................................................................. 19

5.1 Teoría Preliminar Las series de Fourier son series de términos coseno y seno y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Como aplicación constituyen una herramienta muy importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

2

La teoría de las series de Fourier es bastante complicada, pero la aplicación de estas series es simple. Las series de Fourier son, en cierto sentido, más universales que las series de Taylor, ya que muchas funciones periódicas discontinuas pueden desarrollarse en serie de Fourier, pero, desde luego, no tienen representaciones en serie de Taylor. La introducción de las series de Fourier (y de las integrales de Fourier) fue uno de los mayores avances jamás realizados en la física matemática y en sus aplicaciones en la ingeniería, ya que las series de Fourier (y las integrales de Fourier) son probablemente la herramienta más importante en la solución de problemas con valores en la frontera. La transformada de Laplace es con mucho la transformada integral más importante en ingeniería. Desde el punto de vista de las aplicaciones, las siguientes en importancia serían quizás la transformada de Fourier, aun cuando su manejo resulta un tanto más difícil que la transformada de Laplace. Se llama serie trigonométrica, una serie de la forma:

en que los coeficientes am y bm son reales y x es una variable real. Estas series, cuyo origen ha sido el problema de la representación analítica de funciones reales, tienen numerosas aplicaciones en Astronomía, Técnica, Física matemática y en Matemática pura. Los problemas planteados en el desarrollo de la teoría de series trigonométricas han contribuido de modo decisivo al progreso del Análisis matemático. Basta citar como ejemplos el concepto moderno de función, las definiciones de integral a partir de Riemann y la teoría de conjuntos de Cantor. Sustituyendo en [I] sen m x y cos m x por sus valores dados por las fórmulas de Euler:

Resulta

3

Si ponemos a-m = + am y b m = - bm resulta:

en que 2 cm = am — ibm siendo además c – m el conjugado de cm. Esta es la forma exponencial de las series trigonométricas, que se utilizan frecuentemente en la teoría de funciones cuasiperiódicas que vienen representadas por series trigonométricas más generales:

en que los λn son números reales. El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Sus áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma:

donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(t). Si f(t) es una función de variable real t, que es integrable en el intervalo [t0 – T/2, t0 + T/2] entonces se puede obtener el desarrollo en serie de Fourier de f en ese intervalo. Fuera del intervalo la serie es periódica, con período T. Si f(t) es periódica en toda la recta real, la aproximación por series de Fourier también será válida en todos los valores de t. 4

Luego la serie de Fourier asociada a f(t) es:

Donde a0, an y bn son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

5.2 Series de Fourier Las funciones periódicas que se presentan en problemas prácticos con frecuencia son bastante complicadas y es deseable representarlas en términos de funciones periódicas simples. Se verá que casi cualquier función periódica f(t) de periodo 2π que aparezca en las aplicaciones (por ejemplo, con relación a vibraciones) puede representarse por una serie trigonométrica la cual se denominará serie de Fourier de f. Las series de Fourier surgen de la tarea práctica de representar una función periódica f(t) dada en términos de funciones coseno y seno. Estas series son trigonométricas cuyos coeficientes se determinan a partir de f(t) mediante ciertas fórmulas (fórmulas de Euler), las cuales se establecerán primero. Después se considerará la teoría de las series de Fourier. Una función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir:

Donde a0 a1 ...ak ... y b1 b2 ... bk ... son los denominados coeficientes de Fourier.

Teniendo en cuenta los resultados de las integrales

5

Los coeficientes del desarrollo en serie valen:

La suma parcial de las series de Fourier es:

Si la función f(t) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.  

Si f(t) es una función par, f(t)=f(-t), los términos bk son nulos. Si f(t) es impar f(t)=-f(-t), los coeficientes ak son nulos.

Función par Si la función es par bk=0

6

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1 y periodo P=2 se obtienen los siguientes coeficientes.

Vamos a reconstruir la función f(t) a partir del desarrollo en serie de Fourier.

Función impar Si la función es impar, ak=0 7

Sea ahora la función de periodo P=2

Es una función impar, los coeficientes ak son nulos

El desarrollo en serie es

8

Notas a tener en cuenta de las Series de Fourier: La Serie de Fourier de



converge a

dentro del intervalo de

longitud T. Fuera de este intervalo la Serie de Fourier no converge a que nos queda son periodos de la Serie de Fourier de de dicho intervalo. 

y lo

que existe dentro

Si la función tiene un periodo T igual a la longitud del intervalo donde estamos expandiendo la Serie de Fourier obtendremos que la Serie de Fourier de

converge a la función

en todo su dominio y podemos decir, de

forma precisa, que se trata de la Serie de Fourier de especificar ningún intervalo. EJEMPLOS

2.-

9

sin tener que

3.

10

5.3 Series de Fourier en Cosenos, Senos y de medio intervalo Dada una función en el intervalo [0,p], los desarrollos de Fourier de senos o de cosenos permiten extender a todo el eje real la función como una función 2pperiódica, con simetría impar o par en un periodo. Dada una función acotada en [0,p], podemos definir  Su extensión par a [−p,p]



Su extensión impar a [−p,p]

11

Si ahora las funciones fp(x) y fi(x) definidas antes se extienden a todo el eje real como funciones 2p-periódicas, sus desarrollos son: Desarrollo de f(x) en serie de Fourier de cosenos

Desarrollo de f(x) en serie de Fourier de senos.

Series de Fourier de cosenos y senos Funciones pares e impares Se recuerdan aquí las definiciones de función par e impar, y algunas propiedades de este tipo de funciones. Definición: Una función es par si para los x pertenecientes al Dom(f), f(-x) = f(x) Ejemplos: 1. f(x) = x2 f(-x) = (-x)2 = (-1)2 . x2 = x2 = f(x) 12

2. f(x) = cos(x) f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x) Como consecuencia de la definición, la representación gráfica de una función par resulta simétrica con respecto al eje y. Definición: Una función es impar si para los x pertenecientes al Dom(f), f(-x) = - f(x) Ejemplos: 1. f(x) = x3 f(-x) = (-x)3 = (-1)3 . x3 = (-1)x3 = - f(x) 2. f(x) = sen(x) f(-x) = sen(-x) = - sen(x) = - f(x) Como consecuencia de la definición, la representación gráfica de una función impar resulta simétrica con respecto al origen de coordenadas. Propiedades:   

El producto de una función par y una función impar es impar. El producto de dos funciones pares es par. El producto de dos funciones impares es par.



Si f es una función par, entonces



Si f es una función impar, entonces

Entonces, el desarrollo en serie de función f par en (-p, p) resulta un sólo cosenos:

Fourier de una desarrollo de

donde los coeficientes se calculan con las

fórmulas:

Entonces, el desarrollo en serie de Fourier en el intervalo (-p, p) resulta sólo senos:

de una función f impar un desarrollo de

13

donde los coeficientes se calculan con la fórmula:

Desarrollo en serie de cosenos Si f es una función definida en el intervalo [0, p], y se busca obtener un desarrollo en serie de Fourier de sólo cosenos que la represente, se debe hacer una extensión par de la función al intervalo simétrico [-p, p], y realizar el desarrollo de esta nueva función en el intervalo [-p, p]. Para ello, se define entonces g(x) como:

Verifiquemos que g es una función par:  

si 0 < x < p, entonces -p < -x < 0, por lo tanto, g(-x) = f(-(-x)) = f(x) = g(x) si -p < x < 0, entonces 0 < -x < p, resultando g(-x) = f(-x) y g(x) = f(-x), siendo entonces g(-x) = g(x).

Queda entonces demostrado que g es una función par. Por lo tanto, si desarrollamos la función g(x) definida en [-p, p] en una serie de Fourier, como es una función par resultará una serie de sólo cosenos. Los coeficientes a0 y an resultan:

Desarrollo en serie de senos Si f es una función definida en el intervalo [0, p], y se busca ahora obtener un desarrollo en serie de Fourier de sólo cosenos que la represente, se debe hacer una extensión impar de la función al intervalo simétrico [-p, p], y realizar el

14

desarrollo de esta nueva función en el intervalo [-p, p]. entonces g(x) como:

Para ello, se define

Verifiquemos que g es una función impar: si 0 < x < p, entonces -p < -x < 0, por lo tanto, g(-x) = -f(-(-x)) = - f(x) = -g(x) si -p < x < 0, entonces 0 < -x < p, resultando g(-x) = f(-x) = -g(x), siendo entonces g(x) = -g(-x). Queda entonces demostrado que g es una función impar. Por lo tanto, si desarrollamos la función g(x) definida en [-p, p] en una serie de Fourier, como es una función impar resultará una serie de sólo senos. Los coeficientes bn resultan:

1.

15

16

2.

17

18

5.4 Bibliografía http://www.dmae.upct.es/~paredes/am_ti/apuntes/Tema%202.%20Series%20y %20transformadas%20de%20Fourier.pdf http://www.rac.es/ficheros/Revistas/REV_20100220_02112.pdf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilaciones/fourier/fourier.html https://www.giematic.unican.es/index.php/series/seriesfourier/sfmediorango

http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/fourier/Series%20de%20Fourier%20de %20cosenos%20y%20senos.html

19...