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Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Ecuaciones Diferenciales II Semestre de 2012 MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1. Problemas de enfriamiento La razón de cambio en el tiempo de la temperatura de un cuerpo es pr...

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Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales luis Javier Trejo Silva

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Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado Jorge Alonso 3 APLICACIONES DEL MÉT ODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERE… Miguel Lòpez Cruz INT RODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Pablo Tovar

Instituto Tecnológico de Costa Rica Ecuaciones Diferenciales MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor

Escuela de Matemática II Semestre de 2012

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1. Problemas de enfriamiento La razón de cambio en el tiempo de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio ambiente. Sea: T: temperatura del cuerpo Tm: temperatura del medio ambiente dT : razón de cambio de la temperatura del cuerpo dt

Entonces se tiene que:

dT  k (T - Tm ) dt donde k es una constante de proporcionalidad positiva.

2. Problema de crecimiento y decrecimiento Si N(t) denota la cantidad de sustancia (o población) presente en un tiempo t determinado y si la razón de cambio de esta sustancia con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad de sustancia presente, entonces se tiene que: dN  kN(t ) dt

donde: dN(t ) : denota la razón de cambio de la sustancia dt k: denota la constante de proporcionalidad 3. Caída de cuerpos con resistencia del aire Consideremos un cuerpo de masa m que cae verticalmente. En esta caída influye la gravedad y existe una resistencia del aire (la cual en muchos problemas se asume que es proporcional a la velocidad del cuerpo). En este tipo de problemas, también se asume que tanto la gravedad como la masa permanecen constantes. Además por conveniencia se asume que la dirección hacia abajo es positiva. Segunda ley de Newton: La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la razón de cambio en el tiempo del momentum, o para una masa constante: dv (1) Fm dt 1

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donde: F: es la fuerza neta que se ejerce sobre el cuerpo v: es la velocidad del cuerpo. Para la situación considerada existen dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo: a. La fuerza g de impulso, debida a la gravedad, la cual viene dada por el peso w del cuerpo, y por lo tanto viene descrita por mg, o sea que w = mg. b. La fuerza de resistencia debido al aire, dada por –kv, donde k  0, es la constante de proporcionalidad Como la fuerza neta F se descompone como: F = Fimpulso + Fresistencia se tiene que: F = mg – kv

(2)

De acuerdo a (1) y (2) se tiene que: dv = mg – kv m dt La cual simplificada conduce a:

dv k  vg dt m

(3)

(Ecuación del movimiento)

Cuando no se conoce la masa del cuerpo, sino más bien su peso, entonces (3) se puede expresar así: w dv (4)  w - kv g dt Si la resistencia del aire es despreciable o no existe, entonces k = 0, y la ecuación del movimiento se reduce a: dv g dt Notas: a. En las ecuaciones anteriores se supone que el sistema de medidas es el CGS (centímetros, gramos, y segundos) aunque los resultados son válidos para el sistema PLS (pie, libra y segundos) y para el sistema MKS( metro, kilogramo, segundo). b. En el sistema CGS, la gravedad viene dada por g = 980cm/seg2. En el sistema PLS, la gravedad viene dada por g = 32pies/seg2. En el sistema MKS, la gravedad viene dada por g = 9,8 mts/seg2.

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4. Problemas de soluciones químicas Considérese un tanque, el cual inicialmente contiene V0 galones de solución salina y a libras netas de sal. Otra solución salina que contiene b libras de sal por galón, se vierte en el tanque a razón de e galones por minuto, mientras que simultáneamente, la solución mezclada sale a una razón de f galones por minuto. Problema: Encontrar la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante. Sea: Q: cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t. dQ : razón de cambio de Q con respecto al tiempo. dt

V0 + et - ft: volumen de la solución salina en cualquier tiempo t. fQ : razón de cambio a la cual sale la sal al tanque (cantidad de sal que sale V0  et  ft por minuto).

be: razón de cambio a la cual entra la sal en el tanque (cantidad de sal que entra al tanque por minuto). Por lo que:

dQ fQ con la condición Q(0) = a  be dt V0  et  ft

O sea:

dQ fQ   be , con la condición Q(0) = a dt V0  et  ft

5. Circuitos eléctricos I. Términos Generales: a. Tensión Es la expresión más utilizada para designar la presión eléctrica existente entre dos puntos y que es capaz de provocar la circulación de una corriente al cerrar el mecanismo de conexión entre ambos. Las expresiones fuerza electromotriz, potencial, diferencia de potencial y caída de voltaje se usan como sinónimos de tensión. Actúa como una fuente de energía, tal como una batería. 3

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b. Inductancia. Propiedad de un circuito o elemento de éste que se opone a la variación de la corriente. La inductancia determina, por tanto, variaciones de corriente retrasadas respecto a las variaciones de tensión. c. Inductor Un determinado número de vueltas de alambre enrollados en forma de espiral, el cual es utilizado para aportar inductancia a un circuito eléctrico y para producir flujo magnético, o para reaccionar mecánicamente ante una variación del flujo magnético. d. Corriente. Circulación de electricidad de un punto a otro. La corriente consiste por lo general de un desplazamiento de electrones. La corriente eléctrica en un hilo (mediante electrones) va desde el polo negativo al positivo, aunque en algunos contextos se usa una dirección “convencional”. e. Carga eléctrica Cantidad de electricidad que circula en una corriente eléctrica. Cantidad de energía eléctrica almacenada en un condensador. Las cargas eléctricas pueden ser positivas o negativas. f. Resistencia Propiedad de los circuitos o componentes de éste, que transforman la energía eléctrica en energía calorífica (como una bombilla, tostador, etc). g. Capacitancia Propiedad de un condensador que determina cuánta carga es capaz de almacenar, para una tensión determinada entre sus terminales.

II. Símbolos y Unidades Término Voltaje, fem, tensión Resistencia Inductancia Capacitancia Corriente Carga

Símbolo EoV R L C I Q

Unidad Voltio Ohmio Henrio Faraday Amperio Coulomb

La unidad de corriente el amperio, corresponde a una carga de un coulomb que pasa por un punto dado del circuito por segundo. III. Planteo del problema 4

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La corriente es la razón de cambio de la carga con respecto al tiempo, esto es: I

dQ dt

Ley de Kirchhoff La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero. Otra manera de enunciar esta ley, es que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de las caídas de voltaje. Caso 1: Circuito RL (resistencia-inductor) Considérese un circuito eléctrico que consiste de una fuente de voltaje E (batería o generador), una resistencia R, un inductor L (bobina) como se indica en siguiente figura:

Donde se conviene que la corriente fluye del lado positivo (+) de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo (-). Bajo las condiciones anteriores, se tiene según la Ley de Kirchhoff que: L

dI  RI  E dt

con I la corriente que fluye a través de la resistencia, y además: L

dI : denota la caída del voltaje a través del inductor dt

RI: denota la caída del voltaje a través de la resistencia. Caso 2: Circuito RC (resistencia-condensador) Suponga que se tiene un circuito eléctrico que consiste de una batería o generador de E voltios en serie, con una resistencia de R ohmios y un condensador de C faradios, tal y como se muestra en la siguiente figura:

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Bajo las condiciones anteriores se cumple que: dQ Q R  E dt C donde Q es la carga eléctrica en el condensador en el instante t, y además: R

dQ : denota la caída del voltaje a través de la resistencia. dt

Q : denota la caída del voltaje a través dl condensador. C

PROBLEMAS RESUELTOS 1. La fuerza de resistencia del agua sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea, y es tal que a 20 pies/seg. la resistencia del agua es de 40 lb. El bote pesa 320 libras y el único pasajero 160 libras y el motor puede ejercer una fuerza estable de 50 libras en la dirección del movimiento. Si se asume que el bote parte del reposo, encuentre la distancia x(t) y velocidad v(t) del bote en cualquier tiempo t. Solución: Ecuación a utilizar:

w dv  Fimpulso  kv . Sistema de medidas: PLS g dt

Condiciones iniciales: v(0) = 0 ; x(0) = 0 i.Cálculo de la constante de proporcionalidad k. Como FR = kv, entonces 40 = k20, o sea que k = 2 ii. Fuerza de impulso: FR = 50 iii. Problema a resolver: 480 dv  50  2v 32 dt dv  15  50  2v dt

480 dv  50  2v , con v(0) = x(0) = 0 32 dt

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

15dv  dt 50  2v  15  ln 50  2v  t  c1 2  2t 2  ln 50  2v   c1 15 15  50  2v  e 2t 15  e 2c1 15  50  2v  ce 2t 15 c  v(t )  25  e 2t 15 , v(0) = 0 2 c  0 = 25  , por lo que c = 50, o sea que v(t )  25  25e2t 15 2

Como v(t) = x’(t) , entonces integrando v(t) se tiene que x(t )  25t  Usando el hecho de que x(0) = 0 se tiene que c2 = De donde x(t )  25t 

375  2t 15 375 e  2 2

 375 2

375  2t 15  c2 e 2

2. Un tanque con capacidad para 70 galones contiene inicialmente 50 galones de solución salina y 0.2 libras de sal por galón. Para t = 0, otra solución que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en el tanque a una razón de 2 galones por minuto, mientras que la solución bien mezclada sale a una razón de 3 galones por minuto. Determine: a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t. b. La cantidad de sal presente cuando el tanque contenga la mitad de la solución original, y la concentración de sal en ese instante. Solución: dQ fQ Ecuación a utilizar:   be , con la condición : Q(0) = a. dt V0  et  ft Para este caso V0 = 50, a = 10, b = 1, e = 2, f = 3 Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, obtenemos: (*)

dQ 3Q   2 , con la condición Q(0) = 10 dt 50  t

La cual es una ecuación diferencial lineal con factor integrante:  3dt 

u(t) = e 50t  e

 3 ln 50 t

 eln(50t )  (50  t )3 3

Multiplicando la ecuación (*) por el factor integrante u(t) se tiene que: 7

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dQ (50  t ) 3  3(50  t )  4 Q  2(50  t ) 3 dt





 Q(t )  (50  t )3  2(50  t )3 '

 Q(t )(50  t )3  2 (50  t )3 dt

 (50  t )2 c 2  Q(t )(50  t )3  (50  t )2  c  Q(t )  50  t  c(50  t )3 ,  Q(t )(50  t ) 3  2

Como Q(0) = 10 , entonces Q(0) = 50 + c(50)3 = 10, de donde c  Así: Q(t )  50  t  0.00032(50  t )3

 40  0.00032 (50)3

Para determinar la cantidad de sal en el tanque para cuando este contenga la mitad de la solución original determinemos el tiempo t, para el cual 50 – t = 25, esto se logra cuando t = 25. Por lo que Q(25) = (50 – 25) –0.00032(25)3 = 25 – 5 = 20 La concentración cuando t = 25 se obtiene calculando el cociente

Q(25) 20   0.8 50  25 25

3. Un tanque con capacidad para 70 galones contiene inicialmente 50 galones de solución salina y 0.2 libras de sal por galón. Para t = 0, otra solución que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en el tanque a una razón de 3 galones por minuto, mientras que la solución bien mezclada sale a una razón de 2 galones por minuto. Determine: a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t. b. La cantidad de sal presente cuando el tanque este lleno, y la concentración de sal en ese instante. 2000 Respuestas: a. Q(t )  2(50  t )  (50  t ) 2 b. El tanque se llena cuando t = 20. ¿Porqué? y la concentración en Q(20) . Justifique ese instante se obtiene calculando el cociente 70 4. Un cuerpo con una masa de 10 slugs se suelta a una altura de 1000 pies, sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad instantánea. Si la velocidad límite vl es de 320 pies/seg. , determine: a. La velocidad v(t) y posición x(t) del cuerpo en cualquier tiempo t mg Nota: vl  k 8

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Solución: Para resolver este problema utilizaremos la ecuación: m

dv  w  kv dt

(*)

La información dada es m = 10, g = 32, vl = 320. Como w = mg entonces w = (10)(32) = 320 mg 320 se tiene que 320  , de donde k = 1 Además de vl  k k Realizando las correspondientes sustituciones en (*) se obtiene: dv 10  (10)(32)  v dt dv 10  (10)(32)  v dt dv 1   v  32 , ecuación lineal, con factor integrante u(t )  et 10 dt 10 dv t 10 1 t 10  e  e v  32et 10 dt 10





 vet 10  32et 10  vet 10  320et 10  c  v(t )  320  ce t 10 , como v(0) = 0, se tiene que c = -320 De donde v(t )  320  320et 10 Integrando v(t) se tiene que: x(t )  320t  3200et 10  c , usando que x(0) = 0 x(0) = 0 + 3200 + c = 0, por lo que c = -3200 Por consiguiente x(t )  320t  3200et 10  3200 . '

5. La velocidad de desintegración del radio (elemento químico) es proporcional a la cantidad presente. Si el radio tiene una vida media de 2000 años. ¿Qué tiempo tomará para que su masa inicial se reduzca en un 30%? Solución: N(t): denota la cantidad de radio presente en el tiempo t. N0 : masa inicial del radio Condición inicial N(0) = N0 1 Información: N(2000) = N 0 2 dN Ecuación diferencial:  kN dt Solución general de la ecuación diferencial: N (t )  ce kt o N (t )  N0ekt Calculemos el valor de k:

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Instituto Tecnológico de Costa Rica Ecuaciones Diferenciales MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor Como N (2000) 

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1 N 0 entonces 2

1 N 0  N 0e2000k 2 1  ln( 2)   e 2000k , de donde ln(1 2)  k (2000) , o sea k  2 2000 Por lo que N (t )  N0et ln 2 2000

Se debe determinar t, tal que N (t )  N0  0.3N0  0.7 N0 0.7 N0  N0et ln 2 2000

 0.7  et ln 2 2000  ln 2  ln(0.7)  t 2000 (2000)ln(0.7) t  1029  ln2 6. Se sabe que un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si después de una hora se observa que el 10% del material se ha desintegrado, hallar la vida media del material. Respuestas: N (t )  N0e0.105t ; Vida Media: 6.6 hrs. 1 de libra de sal por 8 galón. Para t = 0, otra solución salina que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en el tanque a una razón de 4 gal/min. Mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a una razón de 8 gal/min. Determine: a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t. b. La cantidad de sal en el tanque cuando éste contiene exactamente 40 gal. de solución salina 7 Respuestas: a. Q(t )  (20  t )2  4(20  t ) 40 b. Primero verificar que el tanque contiene 40 galones de solución salina en t = 10 y que en este tiempo el tanque contiene 22.5 libras

7. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con

8. Un cuerpo cuya temperatura inicial se desconoce es colocado 10:00 am en un refrigerador el cual tiene una temperatura constante de 00. Si a las 10:10 am la temperatura del cuerpo es de 300F y a las 10:25 am la temperatura del cuerpo es de 200F. Determine la temperatura inicial del cuerpo. Solución: Para simplificar el trabajo con las horas, digamos que las 10:00 am dentro del problema corresponde a t = 0, las 10:10 a t = 10 y las 10:25 a t = 25. T(t): corresponde a la temperatura del cuerpo en el tiempo t. 10

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Tm : temperatura del refrigerador. dT  k (T  Tm ) dt Solución general: T (t )  ce  kt  Tm Información: Tm = 0; T(10) = 30; T(25) = 20

Ecuación diferencial:

Como Tm = 0, se obtiene que T (t )  ce  kt Además: T (10)  ce 10k  30 , por lo que ce 10k  30 (*) T (25)  ce 25k  20 , por lo que ce 25k  20 (**) 30 De (*) se tiene que c  10k  30e10k y sustituyendo este valor de c en (**) obtenemos: e 25k 10k 25k ce  25  30e e  20 20 2  e 15k  = 30 3 ln2 3   15k  ln(2 3) , o sea que k   0.027031  15 Como c  30e10k entonces c  30e10(0.027031)  39.31112 Así T (t)  39.31112e0.027031t De donde T(0) = 39.31112 (temperatura inicial).

9. Se sabe que la población de un estado crece a una razón proporcional al número de habitantes que viven actualmente en el estado. Si después de 10 años la población se ha triplicado y después de 20 años la población es de 150 000 habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en el estado. Respuesta: N (t )  16.620e0.11t , N0 = 16.620 10. Un paracaidista y su paracaídas pesan 200 libras. En el instante en que el paracaídas se abre, él está viajando verticalmente hacia abajo a 40 pies/seg. Si la resistencia del aire varía directamente proporcional a la velocidad instantánea y la resistencia del aire es de 80 libras cuando la velocidad es de 20 pies/seg. Encuentre la distancia recorrida y la velocidad de caída del paracaidista en el tiempo t. Solución: Ecuación:  F  m  a ; donde  F  FPROPULSIÓN  FRESISTENCIA  En este problema nos dan el peso, usemos que W  mg para calcular m

W 200 25 m m m g 32 4  En este caso la fuerza de propulsión la da el peso W del cuerpo, donde W  200

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 Fuerza de resistencia: FR  k  v

Como FR  80 cuando v  20

 80  k  20

k  4

Ecuación diferencial 25 dv   200  4v , con la condición v(0) = 40, x(0) = 0 4 dt 25 dv   200  4v 4 dt dv  25  800  16v dt dv dt   800  16v 25 1 1 ln 800  16v   t C 16 25  16  ln 800  16v  t  16C 25  800  16v  e

16 t 25

800  640  e 16C  800  16v  e



16 t 25

16

 e 16C , como v(0)  40 se tiene que_ 1  160  e 16C  ln 160  C 16 e

16

1 ln 160 16

 800  16v  e 25  160

 50  v  e



16 t 25

t

 10

Por lo que la velocidad viene dada por

16 t 25