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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la Ingeniería civil: Sistema masa resorte y deflexión de vigas I.

INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales se usan para obtener resultados aproximados en distintos campos, uno de ellos es la Ingeniería Civil y la Física (que están ligadas estrechamente). En el presente trabajo presentamos un sistema masa – resorte, cuya masa estará conformada por una viga unida a dos resortes, en cuyo centro le aplicaremos una masa para que esta viga se deflexione, y el resorte adopte una postura de fuerza de restitución. Generalmente, este tipo de sistemas se dan en los sistemas antisísmicos (amortiguadores y aisladores de energía), por lo que son muy usados en la construcción de edificios.

II.

OBJETIVOS 

Determinar experimentalmente el coeficiente de restitución del resorte



Obtener la ecuación del movimiento del resorte



Obtener la ecuación de la curva elástica y su máxima deflexión vertical (flecha)



Relacionar el curso de Ecuaciones Diferenciales con la vida real.

III.

MARCO TEÓRICO a) Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura 5.1 (b), una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza m1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F = Ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este está caracterizado esencialmente por su número k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte f de pie. Segunda ley de Newton. Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de restauración AZS. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura 5.2 (b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:

Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en la figura 5.6, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre. En mecánica se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

(I)

Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces m1 y m2 son complejas:

Entonces, la solución general de la ecuación (l) es:

b) Deflexión de vigas La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:

Donde:

Representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas. La abscisa (eje X) sobre la viga. El momento flector sobre la abscisa . El segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal. El módulo de elasticidad del material. La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):

La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:

IV.

Procedimiento y resultados. a) Para hallar el coeficiente de restitución K del resorte en forma experimental: Se midió la longitud inicial del resorte, la cual es de 11.7 cm ó 0.117 m, luego se colocaron distintas pesos que elongaron el resorte, como K = F / X, siendo F la fuerza colocada y X la longitud del resorte elongada, se obtuvieron los siguientes resultados:

fuerza (N) 29.43 66.22 39.54

Lo resorte (m)

0.117

Lf resorte (m) 0.172 0.243 0.191

X (m) 0.055 0.126 0.074

K (N/m) K promedio 535.09 525.56 531.66 534.32 N/m

b) Para determinar la ecuación del movimiento del resorte

Consideramos el coeficiente de amortiguamiento del aire 3 N. s/m, y el coeficiente de restitución K = 531.66 N/m (valor obtenido experimentalmente). Como es un movimiento amortiguado libre, F(t) = 0. La ecuación diferencial planteada es: 7.05 y '' +3 y ' + 531.66 y =0 La ecuación característica: 7.05 r 2+3 r+531.66=0 Como b^2-4ac = -14983.81 r1 = -0.213 + 122.41 i 

,

r2 = -0.213 – 122.41 i

y ( t )=e−0.213t (a cos ( 122.41 t ) + b sen ( 122.41 t) ) R= √ a 2+ b2

δ = arc tan (b/a) y ( t )=R . e−0.213 t (cos ( 122.41t )+b sen (122.41 t−δ ))

C) Para la viga:

∑ Fy = 0 2 F = 69.163 → F = 34.58 N

Tramo A – B (0 ≤ X ≤ 0.51)

M + 2.9 X (X/2) = 34.58 X M = 34.58 X – 1.45 X2 E . I . y’’ = 34.58 x – 1.45 x2

 E . I . y’ = 17.29 x2 – 0. 48 x3 + C1

 E. I. y = 5.76 x3 - 0.12x4 + C1 x + C2 Como y’ (0.51) = 0 = 17.29 (0.51)2 – 0. 48 (0.51)3 + C1 Ensconces C1 = -4.43 Como y (0) = 0 → C2 = 0  E. I. y = 5.76 x3 - 0.12x4 -4.43 x

FLECHA MAXIMA:

y ( 0.51) =

−1 ( −1.5) E.I

y ( 0.51) =

1 ( 1.5 ) E.I

V.

0 . 51 ¿ 3 5 .76 (0 . 51 ) −0 . 12(¿¿ 4 −4 . 43 ( 0 . 51 ) ) 1 ¿ − y ( 0 . 51 )= E.I

CONCLUSIONES

 Se obtuvo las ecuación del movimiento del resorte  Se obtuvo las ecuación de la curva elástica de la viga, y la flecha máxima  Se obtuvo el valor del K del resorte experimentalmente. VI.

BIBLIOGRAFÍA 

Prof. CASTILLO T., Dionel C. “Movimiento de una masa unida a un resorte”. http://www.slideshare.net/dionel11/oscilaciones-12541296#btnLast

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Apuntes de clase....