Ingeniería de Sistemas - ecuaciones diferenciales en ingenieria PDF

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Investigación acerca de las ecuaciones diferenciales en ingenieria....

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FICHA DE IDENTIFICACIÓN DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN Título Autor/es Fecha Carrera Asignatura Grupo Docente Periodo Académico Subsede

Aplicación de Ecuaciones Diferenciales en la Ingeniería Nombres y Apellidos Kevin Carrillo Tapia John Alexander Iñiguez Daniela Naddin Gonzales Arébalos 16/07/2019 Ingeniería de Sistemas Ecuaciones Diferenciales A Aldo Rodrigo Valenzuela Balcázar 3er Semestre Santa Cruz de la Sierra

Código de estudiantes 46084 50541 37421

Título: Ecuaciones Diferenciales en la Ingenieria Autor/es: Kevin carrillo, Alexander Iñiguez

RESUMEN:

El nacimiento de la ciencia de ecuaciones diferenciales se fijaría en el 11 de noviembre de 1675, cuando Leibniz asentó en un papel la ecuación Integral de y diferencial de e igual a la mitad del cuadrado de y.

Newton formuló la ley de la gravitación, resolviendo después el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente para probar que la Tierra se mueve alrededor del Sol, describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el Sol.

Maxwell concibió una relación entre corriente eléctrica y el campo magnético correspondiente. Las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las teorías de radio, radar, televisión y electricidad general.

Palabras clave: Ecuaciones diferenciales, newton, ciencia

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Título: Ecuaciones Diferenciales en la Ingenieria Autor/es: Kevin carrillo, Alexander Iñiguez

ABSTRACT:

The birth of the science of differential equations would be fixed on November 11, 1675, when Leibniz settled on a paper the Integral and differential equation of and equal to half the square of y.

Newton formulated the law of gravitation, then solving the system of corresponding differential equations to prove that the Earth moves around the Sun, describing approximately an ellipse, one of whose foci is the Sun.

Maxwell conceived a relationship between electric current and the corresponding magnetic field. Differential equations have played a prominent role in the development of radio, radar, television and general electricity theories.

Key words: Differential equations, newton, science Tabla De Contenidos

Introducción Capítulo 1. Planteamiento del Problema

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1.1. Formulación del Problema 1.2. Objetivos 1.3. Justificación Capítulo 2 Marco Teórico 2.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.2 Ecuaciones separables 2.3 Ecuaciones Homogéneas 2.4 Ecuaciones Lineales 2.5 Ecuaciones Exactas 2.6 Ecuaciones lineales de segundo orden 2.7 Ecuaciones lineales de coeficientes constantes homogéneas 2.8 Ecuaciones lineales de coeficientes constantes no homogéneas Capítulo 3. Aplicación en la Ingeniería 3.1 En la ingeniería industrial 3.2 En el área de ciencias de la salud Capítulo 4. Conclusiones Capítulo 5. Referencias

Introducción El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este

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descubrimiento fue la física aplicada, dícese, la Ingeniería. El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relación. La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función. Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una función y = f(x), su derivada xf )´( dx dy = , en forma de diferencial de una función de una sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que ≤ ≤ bca tenemos que si ∫ = x c ( )() dttfxF ≤ ≤ bxa , existe entonces en cada punto x del intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos quedando demostrado la relación entre Integral y Derivada. Antes de escribir la introducción, considere las siguientes preguntas:

1.1. Formulación del Problema Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u Observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones Diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos Encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático.

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Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso Del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolución. Si la intuición o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por Medio del modelo podremos determinar cuan útil es ese modelo 1.2. Objetivos Objetivo general • Dar a conocer información sobre Ecuaciones diferenciales • Enseñar sus aplicaciones a nivel de ingeniería • Motivar e incentivar a los estudiantes 1.3. Justificación

La mayoría de las personas no conocen como funciona y que beneficios nos traen las ecuaciones diferencias o que consecuencia nos puede ocasionar es por ello que veremos un poco acerca su funcionamiento, sus aplicaciones en la ingeniería, ventajas y desventajas que tiene esta ciencia revolucionaria, es importante conocer este tema ya que lo tenemos presente día a día y desconocer o no poder informarse un poco más del tema no podremos sacarle provecho a lo que tenemos a diario. Capítulo 2. Marco Teórico Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es: Asignatura: Página 6 de 23 Carrera:

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La variable independiente (v. i) es x La variable dependiente (v. d) es y Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

La variable independiente (v. i) es "x" y "y" La variable dependiente (v. d) es V Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar, básicamente, atendiendo a dos criterios:

1) TIPO: Si la función incógnita contiene una única variable independiente, entonces la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O. En otro caso, cuando la función incógnita contiene dos o más variables independientes, la ecuación se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales. (2) ORDEN: Es la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación diferencial. Consideremos una ecuación diferencial ordinaria: F (x, y, y0 , y00 ,.. .) = 0. Diremos que una función

es una solución de la ecuación diferencial si la ecuación

se satisface al sustituir en ella y sus derivadas por

y sus derivadas respectivas.

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La solución general de una ecuación diferencial ordinaria es una función dependiente de una o varias constantes tal que cualquier solución de la ecuación diferencial se obtiene dando valores específicos a una o más de las constantes. Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la solución general, surge una solución particular. Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas, denominadas curvas solución, una para cada valor concreto asignado a la constante arbitraria

En la práctica, la determinación de las constantes que aparecen en la solución general se realiza a partir de las condiciones iniciales del problema. Las condiciones iniciales del problema son los valores que adquiere la función solución o sus derivadas en determinados puntos. Por ejemplo, para una ecuación diferencial de primer orden.

una condición inicial se expresaría en la forma

En consecuencia

es solución si

para todo valor de x en

cierto intervalo, y

2.1-ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma: Donde F es una función que depende de las variables e . Esta clase de ecuaciones diferenciales son de las más sencillas, y su resolución se puede realizar utilizando diversas técnicas. Describimos a continuación las más importantes.

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2.2-Ecuaciones Separables: Una ecuación diferencial de primer orden se dice que es separable si puede escribirse en la forma:

Donde

es una función continua que solo depende de y

es una función

continua que sólo depende de y. Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza el procedimiento de separación de variables, que consiste en situar todos los términos que contienen

a la izquierda (o la derecha) del signo de igualdad, y todos los términos que

contienen y en el lado contrario. A continuación se integran ambos miembros de la igualdad, cada uno respecto de la variable correspondiente. En consecuencia, la solución viene dada por

2.3-Ecuaciones homogéneas: Una función

se dice que es homogénea de grado n si:

donde es un número real. Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación diferencial que se puede escribir en la forma

Donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado. La ecuación anterior puede escribirse como:

Donde la función F satisface

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Este tipo de ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones separables tras un cambio de variables. Concretamente si

es una ecuación homogénea, entonces el

cambio de variable , donde es una función derivable de , transforma la ecuación anterior en una nueva ecuación diferencial en las variables y que es separable. 2.4-Ecuaciones Lineales: Una ecuación diferencial lineal de primer orden es toda ecuación que se puede escribir en la forma:

donde P y Q son funciones continuas de La resolución de este tipo de ecuaciones se consigue utilizando la técnica de los factores integrantes. Un factor integrante es una función

tal que al multiplicarla por el lado

izquierdo de la ecuación se obtiene la derivada del producto

, es decir,

Es fácil probar que un factor integrante es la función

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Entonces la solución de la ecuación diferencial es:

Hay ecuaciones no lineales que se transforman mediante una sustitución adecuada , en una ecuación lineal. Entre estas ecuaciones debemos destacar la ecuación diferencial de Bernoulli, que puede escribirse como:

y de variables

Esta ecuac ión es lineal si

separables si

de , el cambio de variables

. Para

ecuación lineal:

otros valores transforma la ecuación anterior en la siguiente

2.5-Ecuaciones Exactas: Una ecuación de la forma:

Se dice que es una ecuación diferencial exacta si existe una función

de dos variables

e con derivadas parciales continuas, tal que:

La solución general de la ecuación es

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No toda ecuación diferencial es exacta. Entonces , ¡cómo podemos distinguir las que son de las que no lo son? El siguiente resultado nos dará la solución.

Si

tienen derivadas

diferencial

parciales continuas en un disco abierto entonces la ecuación es exacta si y solamente si:

Debemos hacer notar que la exactitud es una condición extremadamente frágil , ya que pequeñas alteraciones en una ecuación exacta pueden hacer que se pierda dicha propiedad. Por ejemplo, la ecuación diferencial.

Es exacta, pero si dividimos por x, entonces la ecuación resultante (y2 + 1)dx + xy.dy = 0 Ya NO es exacta.

2.6-ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN: Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es una ecuación diferencial que puede escribirse de la forma:

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Donde P,Q y R son funciones continuas en x en un cierto intervalo. Se dice que la ecuación es homogénea si R(x) = 0 para todo x. En otro caso se dice que es no homogénea.

La resolución de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas se apoya en dos resultados básicos: la combinación lineal de dos soluciones es otra solución, y toda solución es una combinación lineal de dos sucesiones independiente. Más concretamente, tenemos los siguientes resultados.

(1) Si e

son soluciones de una ecuación diferencial homogénea y c1 y c2

son dos constantes, entonces:

Es una solución de la misma ecuación diferencial (2) Si

son soluciones linealmente independiente (ninguna de ellas e

es un múltiplo de la otra) de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden, entonces la solución general esta dada por:

Donde c1 y c2 son dos constantes. En general encontrar las soluciones de una ecuación de segundo orden (homogénea o no homogénea) es difícil, a veces imposible. Sin embargo si las funciones P y Q son constantes, entonces siempre se pueden hallar soluciones. En los siguientes describimos como hacerlo.

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2.7-Ecuaciones lineales de coeficientes constantes homogéneas: Consideramos la ecuación de segundo orden con coeficiente constantes siguiente:

Las soluciones de dicha ecuación se determinan a partir de las raíces de la ecuación:

Denominada ecuación característica. Se pueden presentar las siguientes posibilidades:

2.8-Ecuaciones lineales de coeficientes constantes no homogéneas: Consideramos la ecuación se segundo orden con coeficientes constantes siguiente:

En la búsqueda de las soluciones de dicha ecuación, juega un papel importante la solución de la ecuación:

Denominado ecuación

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Capítulo 3. Aplicación en la Ingeniería • EN LA INGENIERÍA INDUSTRIAL: Las ecuaciones diferenciales nos ayudan en problemas cotidianos en el área de producción para un ingeniero industrial, el cual nos facilitas los cálculos para la implementación de un buen diseño de producción. EJEMPLO 1) Problema: Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la mitad

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de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos han oído hablar de él por el final de 2 años? Solución Paso # 1: Identificamos las variables que forman parte del problema p: es la cantidad de personas (clientes potenciales) t: tiempo que han escuchado del producto. (1-p): las personas que no han escuchado del producto. dp : la velocidad con la que las personas conocen el producto. dt Paso # 2: Escribimos la ecuación diferencial descripta por el problema. dp = C(1− p) dt Esta ecuación es la tasa de cambio.

Pasó # 3: Resolvemos la ecuación diferencial, por separación de variable. 1Separamos la variables

dp = c(1− p)dt dp = cdt. (1− p) 2- Integramos en ambos lados de 1:

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dp  (1− p) =cdt.

−ln1−p =ct+k1

Multiplicamos por -1) (

ln 1 −p =−ct +k1

Multiplicamos por (e)

1 − p = e −ct +k 1

Despejamos a P

−ct +k 1 −p =1 +e

Multiplicamos por -1)( Solución General de la ecuación

p =− 1 e−tc k2 Procedemos a calcular la solución partículas de problema descripto. p=0.5, t=0

Buscamos el valor de la constante k

0=1−k2e−c(0) →1=k2 Ahora mi solución queda descripta así:

p=1−e−ct

Busco mi solución particular Los valores iniciales del problema planteado son: y = 0.5 cuando t = 1 0.5 =1−e−c → 0.5−1=−e−c → 0.5 =e−c

Multiplicamos por (e) ln 0.5

=−c→c=−ln 0.5 C= 0.693 Mi solución particular es: Solución particular 0.693t

p =1−e−

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En la solución particular sustituimos a t=2, que es el número de años que ha transcurrido durante la publicación del producto.

p=1−e−0.693(2) = 0.75, también se expresa en 750,000 Respuesta En el tiempo de dos un total de 750,000 personas han escuchado del producto. En este caso vimos únicamente el área de producción en el cual se usan muchos las ecuaciones diferenciales ordinaria de primer orden, usando el método de separación. La asignatura de ecuaciones diferenciales no solo son métodos matemáticos para resolver los problemas matemáticos si no que se utilizan en la vida cotidiana en la del trabajo y teniendo estos conocimientos nos ayudan como ingeniero industrial a conocer más de nuestras áreas y los problemas que se nos puedan presentar.

• EN EL ÁREA DE CIENCIAS DE LA SALUD: A ciencia cierta, no se sabe quién descubrió las ecuaciones diferenciales, ya que la historia de las matemáticas es tan grande como el origen del universo, del cual tampoco sabemos quién es su creador. Una ecuación diferencial es una expresión que involucra derivadas de una función desconocida de una o varias variables. De las ecuaciones diferenciales, encontram...