ECUACIONES DIFERENCIALES con aplicaciones en Maple PDF

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as atic ECUACIONES atem DIFERENCIALES eM con aplicaciones en Maple ept o. d 1 Jaime Escobar A. a, D qui tio An de dad ersi iv Un 1 Profesor Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en Matemáticas de la Universidad Nacional. Texto en la página Web: http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/ ...

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1

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de A

ntio

qui

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Jaime Escobar A.

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ECUACIONES DIFERENCIALES con aplicaciones en Maple

1 Profesor

Titular de la Universidad de Antioquia, Matem´aticas de la Universidad Nacional. Texto en la http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/

Magister en p´agina Web:

ii

Un

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eM

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as

´INDICE GENERAL

ept

o. d

1. INTRODUCCION 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . ´ DE CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . 1.2. ECUACION

rsid

ad

de A

ntio

qui

a, D

´ ´ 2. METODOS DE SOLUCION 2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . . . . . . . . ´ 2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS . . . . . . . . . . 2.3. E.D. CON COEFICIENTES LINEALES . . . . . 2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . . . . . . . . . ´ 2.5. FACTORES DE INTEGRACION . . . . . . . . . 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN . . . . . . . 2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN . . 2.9. OTRAS SUSTITUCIONES . . . . . . . . . . . . . 2.10. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . .

Un

ive

3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN ´ 3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS . . . . . . 3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales . 3.1.2. Problemas de Persecuci´ on: . . . . . . . . 3.1.3. Aplicaciones a la geometr´ıa anal´ıtica . ´ 3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION . . 3.2.1. Desintegraci´ on radioactiva . . . . . . . . iii

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1 5 6

. . . . . . . . . .

7 7 10 14 15 20 26 31 33 42 45

. . . . . .

49 49 49 51 54 55 56

iv

´INDICE GENERAL 3.2.2. Ley de enfriamiento de Newton 3.2.3. Ley de absorci´ on de Lambert . . 3.2.4. Crecimientos poblacionales . . . ´ 3.3. PROBLEMAS DE DILUCION . . . . . 3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . . . . . 3.5. APLICACIONES A LA FISICA . . . .

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57 57 58 59 68 73

ad

de A

ntio

qui

a, D

ept

o. d

eM

atem

atic

as

4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES 81 4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ´ DEL ESP. VECT. SOL. DE UNA E.D.O. 90 4.2. DIMENSION ´ ´ DE ORDEN . . . . . . . 97 4.3. METODO DE REDUCCION 4.4. E.D. LINEALES CON COEFICIENTES CONST. . . . 101 4.4.1. E.D. LINEALES DE ORDEN DOS . . . . . . . . 101 4.4.2. E.D. LINEALES DE ORDEN MAYOR QUE DOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.5. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.6. COEFICIENTES INDETERMINADOS . . . . . . . . . 109 ´ DE PARAMETROS ´ 4.7. VARIACION . . . . . . . . . . . . . 112 ´ ´ 4.7.1. GENERALIZACION DEL METODO DE ´ DE PARAMETROS ´ VARIACION . . . . . . . . . 120 4.8. OPERADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.9. OPERADORES INVERSOS . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.10. E.D.O. DE EULER - CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . 137 4.11. APLICAC. DE LA E.D. DE SEGUNDO ORDEN . . . 141 ´ 4.11.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE . . . . . 141 4.11.2. MOVIMIENTO AMORTIGUADO . . . . . . . . 143 4.11.3. MOVIMIENTO FORZADO. . . . . . . . . . . . . 146 4.12. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 160

Un

ive

rsid

5. SOLUCIONES POR SERIES 165 5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS . . . . . . . . 167 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 178 5.3.1. CASO II: r1 − r2 = entero positivo . . . . . . . . . 184 ´ GAMMA: Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . 187 5.3.2. FUNCION 5.3.3. CASO III: r1 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 ´ DE BESSEL DE ORDEN p : . . . . 194 5.3.4. ECUACION 5.3.5. PUNTO EN EL INFINITO . . . . . . . . . . . . . 202 5.4. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 208

´INDICE GENERAL

v

6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 211 6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE . . . . . 215 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE . . 218 6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D. 234 6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC . . . . . 239 6.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 242

eM

atem

atic

as

7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 247 7.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 ´ 7.2. CONJUNTOS FUND. Y SIST. HOMOGENEOS . . . 250 ´ 7.3. METODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS . 251 ´ DE PARAMETROS ´ 7.4. VARIACION . . . . . . . . . . . . . 271 7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS276 7.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 279

de A

. . . .

. . . .

. . . .

ad

. . . .

rsid

A. F´ ormulas A.1. F´ ormulas Aritm´ eticas . A.2. F´ ormulas Geom´ etricas A.3. Trigonometr´ıa . . . . . . A.4. Tabla de Integrales . .

ntio

qui

a, D

ept

o. d

8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. 281 ´ 8.1. SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO DE FASE . . 281 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. . . 286 8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. . . . . . . . . . 287 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTAB. . . 296 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV . 309 8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES . . 318 ´ 8.6. CICLOS LIMITES: TEOREMA DE POINCARE-BENDIXSON 339 8.7. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 350 . . . .

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355 . 355 . 356 . 358 . 359

Un

ive

B. TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 363 B.1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 B.2. TEOREMA LOCAL DE EXIST. Y UNICID., CASO UNIDIMENSIONAL 365 B.3. TEOREMAS LOCAL Y GLOBAL PARA SISTEMAS DE E. D. LINEALES 372 C. EXPONENCIAL DE OPERADORES

377

´ D. TEOREMA DE LIENARD

381

vi

´INDICE GENERAL

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Un

ive

rsid

ad

de A

ntio

qui

a, D

ept

o. d

eM

atem

atic

as

E. FRACCIONES PARCIALES E.1. Factores lineales no repetidos. . . E.2. Factores Lineales Repetidos. . . . E.3. Factores Cuadr´ aticos. . . . . . . . E.4. Factores Cuadr´ aticos Repetidos.

. . . .

. . . .

387 . 387 . 388 . 390 . 391

as

CAP´ITULO 1

eM

atem

atic

INTRODUCCION

ept

o. d

Definici´ on 1.1. Si una ecuaci´on contiene las derivadas o las diferenciales de una o m´as variables dependientes con respecto a una o m´as variables independientes, se dice que es una ecuaci´on diferencial (E.D.).

qui

a, D

Si la ecuaci´on contiene derivadas ordinarias de una o m´as variables dependientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaci´on se dice que es una ecuaci´on diferencial ordinaria (E.D.O.).

ntio

dy + 4y = 5 Ejemplo 1. 3 dx

de A

Ejemplo 2. (x2 − y)dx + 5 sen y dy = 0

ad

dv Ejemplo 3. u du + v dx =x dx

∂u ∂y

Ejemplo 5.

∂2u ∂x∂y

∂v = − ∂x

Un

Ejemplo 4.

ive

rsid

Si la ecuaci´on contiene derivadas parciales de una o m´as variables dependientes con respecto a una o m´as variables independientes, se dice que es una ecuaci´on en derivadas parciales.

=y−x

Definici´ on 1.2. (Orden). La derivada o la diferencial de m´as alto orden determina el orden de la E.D. 1

CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

2

Ejemplo 6.

d3 y dx3

2

dy d y + x2 dx 2 + x dx = ln x, es de orden 3.

Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒

dy dx

= xy , la cual es de orden 1.

Definici´ on 1.3 (E.D.O. lineal). Una E.D. es lineal si tiene la forma: n

n−1

as

d y d y dy an (x) dx n + an−1 (x) dxn−1 + . . . + a1 (x) dx + a0 (x)y = g(x)

atem

atic

Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente uno y cada coeficiente a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g(x), depende solo de x. Si no se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal. 2

3

eM

d y dy d y 2 x Ejemplo 8. x2 dx es lineal de orden 3. 3 + cos x dx2 + sen x dx + x y = e 3

2

o. d

d y 2 Ejemplo 9. sen x dx 3 + xy = 0 no es lineal.

a, D

ept

dy d y Ejemplo 10. y 2 dx 2 + y dx + xy = x no es lineal.

ntio

qui

Definici´ on 1.4. . Se dice que una funci´on f con dominio en un intervalo I es soluci´on a una E.D. en el intervalo I, si la funci´on satisface la E.D. en el intervalo I.

de A

Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´on de y ′ (x + y) = y

(ln(cy) + 1), luego

dy dx

=

dy ln(cy) + y cy1 c dx

1 ln(cy)+1

rsid

dy dx

dy dx

ive

1=

ad

En efecto, derivando impl´ıcitamente: 1 =

Un

Sustituyendo en la ecuaci´on diferencial: y(ln (cy) + 1) y ln(cy) + y = = y, ln (cy) + 1 ln (cy) + 1 luego y = y por tanto x = y ln (cy) es soluci´on.

3 Una E.D. acompa˜ nada de unas condiciones iniciales se le llama un problema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un problema de valor inicial tiene soluci´on y tambi´en deseamos saber si esta soluci´on es u ´nica, aunque no podamos conseguir expl´ıcitamente la soluci´on. El siguiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este teorema lo enunciamos y demostramos con m´as profundidad en el Ap´endice al final del texto.

atem

atic

as

Teorema 1.1. (Picard) Sea R una regi´on rectangular en el plano XY definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior. son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cenSi f (x, y) y ∂f ∂y tro en x0 y una u ´nica funci´on y(x) definida en I que satisface el problema de valor inicial y ′ = f (x, y), y(x0 ) = y0 .

a, D

ept

o. d

eM

Ejemplo 12. Para la E.D. y ′ = x2 + y 2 , se tiene que f (x, y) = x2 + y 2 = 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier y ∂f ∂y punto (x0 , y0 ) del plano XY pasa una y solo una soluci´on de la E.D. anterior. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´on expl´ıcita; s´olo con m´etodos num´ericos se puede hallar la soluci´on.

0

sen t t

de A

Rx

Rx

0

2

2

et dt + c1 e−x es soluci´on de

dt es soluci´on de

ad

Ejercicio 3. Demostrar que y = x xy ′ = y + x sen x.

2

ntio

Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x ′ y + 2xy = 1.

qui

Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluci´on de y ′′ + 25y = 0.

x

ive

rsid

Ejercicio 4. Demostrar que y = e− 2 es soluci´on de 2y ′ + y = 0, tambi´en y = 0 es soluci´on.

Un

Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0 en un intervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1 , . . . , Cn ) mediante valores apropiados de Ci , entonces a G se le llama la soluci´ on general; una soluci´on que no contenga los par´ametros Ci se le llama la soluci´ on particular; una soluci´on que no pueda obtenerse a partir de la soluci´on general se le llama soluci´ on singular. Veremos m´as adelante que la soluci´on general a una E.D. lineal de orden n

CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

4

tiene n par´ametros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener expl´ıcitamente una soluci´on general. Ejemplo 13. y = Cx4 es soluci´on general de xy ′ − 4y = 0. Con C = 1 entonces la soluci´on particular es y = x4 . Tambi´en

x4 −x4

x≥0 x with(DEtools): DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black, {[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);

qui

a, D

2

y(x)0 -1

0

rsid

ad

x

ive

-1

Un

-2

de A

ntio

1

-2

Figura 1.1

1

2

6

1.2.

CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

´ DE CONTINUIDAD ECUACION

atic

as

Para finalizar este Cap´ıtulo, es importante hacer un corto comentario sobre la ecuaci´on de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´omenos en diferentes ´areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´on de continuidad nos dice que la tasa de acumulaci´on de una variable x en un recipiente (el cual puede ser un tanque, un ´organo humano, una persona, una ciudad, un banco, una universidad, un sistema ecol´ogico, etc.) es igual a su tasa de entrada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida pueden ser constantes o variables.

atem

Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t) entonces la tasa de acumulaci´on es

o. d

eM

dx = E(t) − S(t). dt

ntio

qui

a, D

ept

Ejemplo 15. La concentraci´on de glucosa en la sangre aumenta por ingesta de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una raz´on constante R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina a una tasa proporcional a la concentraci´on presente de glucosa. Si C(t) representa la concentraci´on de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´on de continuidad, la Ecuaci´on Diferencial que rige este fen´omeno es

Un

ive

rsid

ad

de A

dC(t) = E(t) − S(t) = R − kC(t). dt

as

CAP´ITULO 2

VARIABLES SEPARABLES

g(x) dy = es separable dx h(y)

ept

Definici´ on 2.1. Se dice que una E.D. de la forma:

o. d

2.1.

eM

atem

atic

´ ´ METODOS DE SOLUCION

a, D

o de variables separables.

h(y) dy =

Z

ntio

Z

g(x) dx + C,

de A

do:

qui

La anterior ecuaci´on se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-

ad

obteni´endose as´ı una familia uniparam´etrica de soluciones.

Ejemplo 1. Soluci´on:

dy dx

= e3x+2y

Un

ive

rsid

Nota: la constante o par´ametro C, a veces es conveniente escribirla de otra manera, por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o logaritmos de constantes o exponenciales de constantes o si aparece la suma de varias constantes reunirlas en una sola constante.

dy = e3x+2y = e3x e2y dx 7

´ ´ CAP´ITULO 2. METODOS DE SOLUCION

8

separando variables dy = e3x dx 2y e e integrando 1 e3x − e−2y + C = 2 3

atic

as

la soluci´on general es

dy dx

1

= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1

eM

Ejemplo 2.

atem

e3x e−2y + =C 3 2

o. d

Soluci´on: separando variables

a, D

ept

2x y −3 dy = √ dx 2 1 + x2

½ u = 1 + x2 haciendo du = 2xdx

ntio

obtenemos 1 du √ 2 u

de A

=

qui

1 d(1 + x2 ) = √ 2 1 + x2

1

−

√ 1 1 + x2 + C. = 2y 2

Un

soluci´on general

ive

rsid

ad

1 (1 + x2 ) 2 y −2 = +C e integrando 1 −2 2 2

Cuando x = 0, y = 1 −

√ 1 = 1 + 02 + C 2×1

2.1. VARIABLES SEPARABLES

9

luego C = −3 2 La soluci´on particular es 3 −1 √ = 1 + x2 − 2 2y 2 Resolver los siguientes ejercicios por el m´etodo de separaci´on de variables:

as

Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0 (Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))

atem

atic

Ejercicio 2. y ′ + y 2 sen x = 0 (Rta. y = − cos 1x+c )

¡π¢ 2

=e

o. d

Ejercicio 4. y ′ sen x = y ln y, si y (Rta. ln y = csc x − cot x)

ept

dy xy + 3x − y − 3 = dx xy − 2x + 4y − 8 y+3 5 ) = Cey−x ) ( x+4

qui

a, D

Ejercicio 5. (Rta.

eM

Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0 (Rta. (2 − ex )3 = C tan y)

ntio

Ejercicio 6. x2 y ′ = y − xy, si y(−1) = −1 (Rta. ln |y| = − x1 − ln |x| − 1)

rsid

ad

de A

dy − y 2 = −9 y luego Ejercicio 7. Hallar la soluci´on general de la E.D. dx hallar en cada caso una¡ soluci´ ¢ on particular que pase por: 1 a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1 y−3 (Rta. a) y+3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 12 e−2 e6x ) y+3

Un

ive

Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´on de protozoarios a una raz´on constante µ. Se ha observado que las bacterias son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en funci´on de c(0); ¿cu´al es la concentraci´on de equilibrio de las bacterias, es decir, cuando c′ (t) = 0√? √ √ √ √ p µ+ kc(t) µ+ kc(0) (Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e2 kµt ; concentraci´on de equilibrio c = µk )

´ ´ CAP´ITULO...