Practica ecuaciones diferenciales con Matlab/Simulink 3 PDF

Preview

Summary

Ejercicios varios de ecuaciones diferenciales, resueltos utilizando Matlab y la herramienta Simulink...

Description

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA CARRERA: INGENIERÍA ELECTRÓNICA MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD 1 Practica 3 Equipo #6 ELABORADO POR: Aviña Zúñiga Mario Salvador Chávez Espinoza Gabriel Gavaldon Esparza Miguel Ángel Salgado Farfán Cristian Rene

-16212559 -16212564 -16212576 -16212604

PROFESOR: DRA. Diana Gamboa Loaiza

FECHA DE ENTREGA 16/02/2018

TIJUANA, B.C., MÉXICO

Contenido Indice de figuras

2

Objetivos

3

Fundamentos Teóricos

4

Procedimiento y descripción de actividades

6

Ejemplo 2.10 y 2.11 Ejercicio 2.3

6 8

Conclusiones

10

Referencias bibliográficas

11

1

Indice de figuras 1.1

Gráfico del ejemplo 2.10………………………………………………………………. 6

2

Objetivos

Objetivo general ● Utilizar matlab y sus herramientas para la resolución de problemas matemáticos. Objetivos específicos ● Emplear el uso del modelado matemático para trabajar con problemas de manera analitica. ● Identificar las características de un problema que permiten expresarlo de manera matemática y resolverlo.

3

Fundamentos Teóricos Ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales (ED) son como su nombre indica ecuaciones que tienen la característica de relacionar de manera no “trivial” una función desconocida con una o más derivadas con respecto a una o más variables independientes de la misma función no conocida. Por no trivial hablamos de una ecuación diferencial que cumplen la definición de ED pero son identidades que funcionan sin importar la función se conozca o no, por lo que la respuesta es no satisfactoria y por lo tanto trivial. Un claro ejemplo de esto es la identidad trigonometrica: s in2 (dy/dx) + cos2 (dy/dx) = 1 Que sin importar que sea dy/dx el resultado siempre será 1. Las ED cuentan con diversas características que nos permiten introducirlas en diversas categorías o clasificarlas, estas clasificaciones pueden depender de su orden o de su grado. El orden de una ED está dado por la derivada de mayor orden con la que cuente la ecuación ejemplo: ex d2 y/dx2 + s enx dy/dx = x

Es de segundo orden debido a d2 y/dx2

Por otro lado el grado se relaciona directamente con el orden, esto debido a que el grado de una ED depende directamente del término que indica el orden de la misma, ya que el exponente de la derivada de mayor orden indicará el grado de esta, ejemplo: ex (d3 y/dx3 )3 + s enx (dy/dx)5 = x

Es de tercer grado debido a (d3 y/dx3) 3

Un término utilizado en la realización de esta práctica con respecto a las ED es el de trayectoria inclinada,estas se podrían definir, dada la ED y ’ = f (x, y ) , se llaman curvas de nivel o inclinadas a las obtenidas a imponer la condición y ’ = k . [2]

4

Matlab Matlab es un sistema de programación y cálculo basado en la manipulación de matrices. Su nombre proviene de la abreviación MATriz LABoratoy. Este sistema considera a los objetos como matrices de forma que podamos usar álgebra matricial y otras propiedades para ahorrar tiempo de cómputo. [1] Este software cuenta con un lenguaje de programación propio (lenguaje M) con el cual se trabaja en el entorno de desarrollo integrado (IDE) en el cual se trabaja con todas las funciones que le programa provee. Además de las funciones básicas que se puede esperar de un software matemático como resolución de ecuaciones, graficas y demas cosas de esta naturaleza matlab cuenta con mas softwares dentro de él mismo, como es el caso de simulink (este es incluido con matlab a partir de su segunda versión). A continuación se describen algunos de los comandos usados en esta práctica: dsolve: Permite obtener la solución exacta de algunas ED y de los correspondientes problemas con una o varias condiciones iniciales usando el argumento > > d solve(′f(x)′, ′x′ . [2] simplify: Auxilia reduciendo el resultado, se usa con el argumento >> simplif y(ans) diff: Comando una para derivar una función con el argumento > > d if f(f(x), x, n) contour: Grafica las curvas de nivel usando el argumento >> c ontour(x, y, z (x, y), n ) int: Comando para integrar una función con el argumento >> int(f(x), x) meshgrid: Limita los ejes al momento de desplegar una gráfica usando el argumento >> meshgrid(min, salto, max)

5

Procedimiento y descripción de actividades 1.

Ejemplo 2.10 y 2.11

Ejemplo 2.10: Resolver el PVI (Problema con Valor Inicial) y ′ + y/x = y 2ln(x) , y (1) = 1 y representar la solución. El ejemplo nos da una ecuación diferencial y se nos pide resolverla. Como podemos ver, la ecuacion ya esta de la forma de Bernoulli, la podemos resolver fácilmente con el comando dsolve :

Para la gráfica de la solución obtenida se usa el comando ezplot , donde se limita en el eje x a el intervalo cerrado de [1,3]

Y la gráfica de la solución es:

Figura 1.1: Gráfico del ejemplo 2.10

6

Ejemplo 2.11: Resolver la ecuación y ′ + y/x = log (x)y 3 Se declara inicialmente x debido a que estaremos trabajando con incógnitas y al momento de declarar la función y, s e usan (‘’) para que Matlab lo detecte como una variable de tipo cadena.

Una vez con esa ecuación, se usa el comando dsolve p  ara terminar de resolver la ecuación, 2 al igual que al final se hace la sustitución de z = 1/y para presentar la solución:

7

2.

Ejercicio 2.3 3

1) Resolver la ED 3xy′ − 2y = x /y

2

Usando esta ecuación directamente en la función “dsolve()” matlab manda un aviso de error, pues no se puede resolver con el simple comando, entonces se tendrá que trabajar esta ecuación diferencial por el método de Bernoulli. Para ello se emplea una sustitución de variable donde y = z

1 1−n

. Después se sustituye en la ecuación diferencial y se hacen los

procedimientos necesarios hasta llegar a una ecuación diferencial de forma lineal

8

Una vez ya identificada la ecuación diferencial en forma lineal, esta se resuelve con el comando “dsolve()” al igual que al final se hace la sustitución de z = y 3 para presentar la solución:

y=

√(5/3)x 3

3

+ c /x

2

3

2

2) Resolver el PIV 3xy′ − 2y = x /y , y(− 1) = 1 Para encontrar la solución a esta condición inicial, es necesario retomar la ecuación diferencial en forma lineal y la ecuación z = y 3 del ejercicio anterior. Dado que el valor en y = 1 , entonces z = 1 . Teniendo esto en cuenta se utiliza el comando “dsolve()” :

La solución es: y=

√(5/3)x 3

3

+ 8/5x

2

9

Conclusiones La realización de esta práctica resultó un poco menos complicada que las realizadas anteriormente debido a que en esta ocasión se encuentra ausente el uso de simulink, lo que nos quitó un peso de encima al momento de repartir el trabajo, tambien nos ayudo a repasar los conocimientos acerca de ecuaciones que se resuelven por Bernoulli, y como utilizar el software para la realización de esto. Aprendimos la diferencia entre los comandos de matlab solve y dsolve, los cuales son identicos y parecen servir para lo mismo con la diferencia del enfoque de cada uno, dsolve se encarga de resolver ecuaciones de tipo diferencial mientras que solve abarca el resto de operaciones que pueden ser realizadas. Algo útil que cabe recalcar es que durante la entrega de la práctica hablamos de la representación gráfica de la solución de las ecuaciones cuando se tiene una condición inicial, y esto nos ayudó a comprender mejor cómo es que la condición inicial es la que nos indica cual es la familia de soluciones específicamente para el problema en cuestión, puesto que sin esta condición, puede que dicha familia de soluciones sea diferente a la que se espera o tiene.

10

Referencias bibliográficas 1. (2018). Geociencias.unam.mx. Retrieved 6 February 2018, from http://www.geociencias.unam.mx/~bole/eboletin/Matlabintro0408.pdf 2. Cachafeiro Lopez , A., & Illan GonzaleZ, J. (2009). Ecuaciones diferenciales, clases prácticas de laboratorio. Vigo, España. 3. Herman, R. (2017). Solving differential equations using simulink. R. L. Herman. 4. Qué es una ecuación diferencial ?. (2018). Tecdigital.tec.ac.cr. Retrieved 5 February 2018, from https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenci ales/EDO-Geo/edo-cap1-geo/node3.html

11...