Practica. Informática. Calculo III. Ecuaciones Diferenciales PDF

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Practica de ecuaciones diferenciales...

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    2 x2 y xy 2 x2 y 2 xy 2 2xye + y e + 1 dx + x e + 2xye − 2y dy = 0.

Z ξττo s

Docente: Dr. Mario Errol Chavez Gordillo PhD. ´ctica Preparatoria para el 1er , 2do y examen final Pra

es Universidad Mayor de San Andr´ FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES ´ Materia: MAT-274 C ALCULO III CAP CAP CAP CAP CAP

1. 2. 3. 4. 5.

Curso Regular I-2017

Contenido Introducci´on a las Ecuaciones Diferenciales CAP 6. Ecu. Dif. Lineales de Orden Superior Ecuaciones diferenciales de Primer Orden CAP 7. Transformada de Laplace Aplicaciones de las Ecuaciones de 1er Orden CAP 8. Series de Potencias Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden CAP 9. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones de las Ecuaciones de 2do Orden CAP 10. Estabilidad amenes Cronograma de Ex ´ ´ PARCIAL CAPITULOS FECHA Primer Parcial 1,2,3,4,5,6 S´abado 15 de Abril del 2017 Segundo Parcial 7,8,9,10 S´abado 03 de Junio del 2017 Examen Primer Turno Del 1 al 10 S´abado 17 de Junio del 2017 Examen Segundo Turno Del 1 al 10 Martes 20 de Junio del 2017

S

g+

+

g-

S

A

B

u W (s +)

W u(s -)

s-

W ss(s0 )

s0

1

PUNTAJE 30 Puntos 30 Puntos 25 Puntos 100 puntos

s+ W u(s0 )

-

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Dr. Mario Errol Chavez Gordillo. PhD

Bibliograf´ıa 1. “Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera”, William E. Boyce y Richard C. DiPrima, Limusa 2. Introducci´on a las ecuaciones diferenciales ordinarias Noem´ı Wolanski. 3. Ecuaciones Diferenciales Tecnicas de Solucion y Aplicaciones. Becerril 4. “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias” Earl Coddington, CECSA 5. “Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias”, Pr´ospero Garc´ıa M. y Pablo de la Lanza E., UNAM 6. “Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Hist´ oricas”, George Finlay Simmons, McGraw Hill Como buena opci´ on de consulta, con muchos ejercicios y problemas resueltos 7. “Ecuaciones Diferenciales. Teor´ıa, T´ecnica y Pr´actica”, George F. Simmons y Steven G. Krantz, McGraw Hill 8. “Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera”, R. Kent Nagle, Edward B. Saff y Arthur David Snider, Pearson/Addison Wesley 9. “Ecuaciones Diferenciales”, Daniel A. Marcus, CECSA 10. “Ecuaciones Diferenciales Elementales con Aplicaciones”, C. Henry Edwards y David E. Penney, Prentice Hall 11. “Ecuaciones diferenciales Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA”, C. Henry Edwards y David E. Penney, Prentice Hall 12. “Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera”, William Trench, Thomson 13. “Ecuaciones Diferenciales” Isabel Carmona Jover, Pearson o Alhambra 14. “Introducci´on a las Ecuaciones Diferenciales con problemas de valor de frontera”, Stephen L. Campbell y Richard Habermann, McGraw Hill 15. “Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado”, Dennis G. Zill, Tompson 16. “Ecuacioens Diferenciales. Problemas Lineales y Aplicaciones”, F. Marcell´ an, L. Casas´ us y A. Zarzo, McGraw Hill 17. “Ecuaciones Difereniciales, curso de introducci´ o n”, Rolando Castillo Caballero y Rodrigo Gonz´ alez Rojas, Trillas

´ n a las Ecuaciones Diferenciales Cap 1. Introduccio

Problema 1.: Encuentre el orden de cada una de las siguientes ecuaciones 1. y ′′ − 3y ′ + y ′′′ = 6x 2. y ′′ + (y ′ )4 − y = 0 3. y ′ − y 8 = 0 4. y ′′ y − (y ′)5 = 2

Problema 2.: Establecer el orden y grado de las ecuaciones diferenciales siguientes: [email protected]

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Dr. Mario Errol Chavez Gordillo. PhD (1) x2 dy + y dx = 0 (3) (y ′′ )1/2 = (x − y ′)1/3 (5) x4

d3 y d2 y dy − x2 2 = y 4 3 dx dt dx

(2) (y ′ )3 = 3x2 − 1  3 4  2 5 dy d y −x (4) = dx3 dx2 (6)

Problema 3.: Verifique que la funci´on dada es una soluci´on de la ecuaci´ on diferencial dada sobre alg´ un intervalo, para cualquier valor de las constantes arbitrarias que aparecen en la funci´ on. 1. y = ce2x , y ′ = 2y c x2 2. y = + ; xy ′ + y = x2 3 x 2 1 3. y = + ce−x ; y ′ + 2xy = x 2 2 −x2 /2 −1 4. y = (1 +ce−x /2 )(1 ) ; 2y ′ + x(y 2 − 1) = 0  − ce 3 x 5. y = tan + c ; y ′ = x2 (1 + y 2 ) 3 e−xy − y 6. exy + y = x − 1, y ′ = −xy e +x ′ 6xy + (y ′)3 sin y − 2(y ′)2 7. sin y + xy − x3 = 2, y ′′ = 3x2 − y R 2 x x t2 x ′ x+x 8. y = e 0 e dt + ce , y −y = e 2 Rx 2 2 9. y = e−x 0 et dt + ce−x , y ′ + 2xy = 1,

Problema 4.: Verifique que la funci´ on dada es una soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial dada. 1. y = cx2 − x, xy ′ = 2y + x 2. x2 + y 2 = r 2 , x dx + y dy = 0 3. y = A sen x + B cos x, y ′′ + y = 0 sen x 4. y = , xy ′ + y = cos x x 5. y = − cos x(ln(sec x + tan x)), y ′′ + y = tan x 6. x = y + ln y, yy ′′ + (y ′)3 − y ′ = 0 √ 7. y = x2 − cx, (x2 + y 2) dx − 3xy dy = 0 Z x sen t 8. y = x dt, xy ′ = y + x sen x t 0 Z x 2 2 et dt, y(1 + ln y )y ′′ + (y ′ )2 = 2xyex 9. y ln y = x + 0 Z x 2 2 2 et dt + ae−x , y ′ + 2xy = 1 10. y = e−x 0

Problema 5.: Encontrar la ecuaci´ o n diferencial cuya soluci´on es: 3 1. y = x + c. dr = r sec θ 2. r = a(sec θ + tan θ), R: dθ 3. y = c1 ex + c2 e−x + x [email protected]

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4. e−y − cx = 1,

R: xy ′ + 1 = ey

5. y = a ln x

6. y = c1 sen 3x + c2 cos 3x + 1, 7. x2 − y 2 = c

R: y ′′ + 9y − 9 = 0.

8. y = A(cos x + x sen x) + B(sen x − x cos x), R: xy ′′ − 2y ′ + xy = 0. 9 9. y = c1 e−3x + c2 e−x − xe−3x 2 x/7 2 10. y = c1 + c2 e − 7x − 98x, R: 7y ′′ − y ′ = 14x. 11. y = A cos 2x + B sen 2x

Problema 6.: Encontrar el campo de direcci´on para la ecuaci´ on pasa por el punto (1, 1).

dy x y dibuje la curva que =− 4y dx

Problema 7.: Encuentre todas las soluciones de la ecuaci´ on dada 5. y ′′ = 2x + sin x + ex

1. y ′ = −x2

6. y ′′′ = − cos x

2. y ′ = x ln x

7. y ′′′ = −x2 + ex

3. y ′ = −x sin x

8. y ′′′ = 7e4x

4. y ′′ = x cos x

Problema 8.: Compruebe que una familia uniparam´etrica de soluciones de y = xy ′ + (y ′)2

es

y = cx + c2

Determine un valor de k tal que y = kx2 sea una soluci´ on singular de la ecuaci´on diferencial dada. Problema 9.: Compruebe que una familia uniparam´etrica de soluciones de p √ y = xy ′ + 1 + (y ′ )2 es y = cx + 1 + c2

Demuestre que la relaci´ on x2 + y 2 = 1 define una soluci´ on singular de la ecuaci´ on diferencial en el intervalo(−1, 1).

Problema 9.: Una familia uniparam´etrica de soluciones de y ′ = y 2 − 1 es

1 + ce2x 1 − ce2x Por medio de un examen cuidadoso, determine una soluci´ o n singular de la ecuaci´ o n diferencial dada. y=

Problema 10.: Teorema de Picard. Si f (x, y) y ∂f /∂y son funciones continuas en una regi´on ℜ, entonces, por cada punto (x0 , y0 ) en el interior de ℜ, pasar´ a una curva integral u ´nica de la ecuaci´ on dy = f (x, y) dx En los problemas que siguen determine si el teorema de existencia y unicidad (Picard) implica que el problema de valor inicial dado tiene soluci´ on u ´nica. 4. y ′ − xy = sin2 x, y(π) = 5 5. y ′ + cos y = sin x, y(π) = 0 6. y ′ = x2 + y 2 , y(0) = 2

1. y ′ = x3 − y 3, y(0) = 6 2. y ′ = 3x + 2y, y(1) = 4 3. y ′ = (x − 2y)/(y − 2x), y(1) = 2 [email protected]

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Dr. Mario Errol Chavez Gordillo. PhD √ 7. y ′ = xy, 8. y ′ = x/y,

9. yy ′ − 4x = 0, 10. yy ′ − 4x = 0,

y(1) = 0 y(1) = 0

y(0) = 0 y(2) = −π

Cap 2. Ecuaciones diferenciales de Primer Orden 2.1 Ecuaciones separables Problema 2.1.1.-: En los ejercicios que siguen encuentre la soluci´ on general 1. y ′ + ay = 0

4. xy ′ + 3y = 0

2. y ′ + 3x2 y = 0

5. x2 y ′ + y = 0

3. xy ′ + y ln x = 0

6. y ′ = (64xy)1/3

Problema 2.1.2.-: En los ejercicios que siguen resuelva el problema con valor inicial   1+x ′ y = 0; y(1) = 1 1. y + x   1 ′ 2. xy + 1 + y = 0; y(e) = 1 ln x 3. xy ′ + (1 + x cot x)y = 0; y(π/2) = 2   2x ′ 4. y − y = 0; y(0) = 2 1 + x2 k 5. y ′ + y = 0, y(1) = 3 x 6. y ′ + (tan kx)y = 0; y(0) = 2

7. 8. 9. 10.

y ′ = yex ; y(0) = 2e; R. y = 2ex 2yy ′ = x(x2 − 16)−1/2 ; y(5) = 2; R. y 2 = 1 + (x2 − 16)1/2 ′ y + 1 = 2y; y(1) = 1; R. ln(2y − 1) = 2(x − 1) xy ′ − y = 2x2 y; y(1) = 1; R. ln y = x2 − 1 + ln x

Problema 2.1.3.-: Resolver las ecuaciones diferenciales de variables separables:   1. 2y x + 1 dy = xdx, R: y 2 = x − ln(x + 1) + C . dy + ty = y , y (1) = 3. dt dy = sen x(cos 2y − cos2 y), 3. dx 4. 3x2 − 2y 3y ′ = 0 2.

R: − cotg y = cos x + C.

5. y ′ = 3x + 2y + 1, R: 2(3x + 2y + 1) = ke2x − 3.   6. 1 + y + y 2 dx + x(x2 − 4)dy = 0. [email protected]

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p   1 7. (1 + y 2 ) e2x dx − ey dy − (1 + y)dy = 0, R: e2x − ey − ln 1 + y 2 − arc tg y = C . 2  2 2  2 8. x y + 1 dx + 2x dy = 0.   9. 4y + yx2 dy − (2x + xy 2 )dx = 0, R: 2 + y 2 = C(4 + x2 ).   10. 1 + x4 dy + x(1 + 4y 2 )dx = 0, y(1) = 0. 2.2 Ecuaciones homog´eneas

Problema 2.2.1.-: Resuelva los problemas siguientes: 1. (x2 + y 2 )dx + 2xydy = 0;

R. x3 + 3xy 2 = c

2. (xy + y 2 )dx − x2 dy = 0 3. (y 2 − xy)dx + x2 dy = 0;

R. y =

x c + ln x

4. (3x2 − y 2)dx + (xy − x3 y −1)dy = 0 r p 2 2 + y2 y2 y + x x 5. y ′ = ; R. 1 + 2 = c + ln x x xy x sec(y/x) + y x 2 x − y2 7. y ′ = ; R. (x2 − 4y 2)3 x2 = c 3xy 6. y ′ =

y(ln y − ln x + 1) x Problema 2.2.2.-: En los problemas que siguen resuelva cada ecuaci´ o n mediante sustituci´on lineal y racional 1 R. 3x + (x − y)3 = C 1. y ′ = 1 + (x − y)2 8. y ′ =

2. y ′ = (3x + y)2 − 1

3. y ′ = 5x + y − 2 R. x = ln(5x + y + 3) + C x−y 4. y ′ = x−y−1 5. y ′ =

(2x − y + 1)2 2x − y

R. 2x + ln[(2x − y)2 + 1] = C

6. y ′ = cos2 (x − y ) x y R. 2x2 ln x = y 2 + Cx2 7. y ′ = + y x x−y 8. y ′ = x+y 9. 2xydy = (x2 + 3y 2)dx R. x2 + y 2 = Cx3 10. (4x − y)dx − (x − 2y )dy = 0 11. x2 dy = (y 2 + xy − x2 )dx R. x2 (x + y) = C (y − x) [email protected]

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y + ey/x x Problema 2.2.3.-: Resolver las ecuaciones diferenciales homog´eneas y reducibles a homog´eneas.   1. y 2 + yx dx − x2 dy = 0, R: x + y ln x = Cy . 12. y ′ =

2. (x − y)dy = (y − x)dx. 3. (x +

4.

p

y2



x − xy)y = y ; y (1/2) = 1, R: ln y = −2 1 − y ′

y2 − x dy = dx 2xy

1/2

+

√

2.

5. (3x + y − 2) + y ′(x − 1) = 0, R: (x − 1)(3x + 2y − 1) = C .

6. (x + 2y − 3) + y ′(x − 2y − 1) = 0

3x2 y + x5 dy = , R: 3y 2 − 6yx3 − x6 = C. dx y − x3     8. x2 + 2xy − 2y 2 dx + y 2 + 2xy − 2x2 dy = 0, R: y(0) = 3. 7.

Problema 2.2.4.-: Suponga que M(x, y)dx+ N (x, y )dy = 0 es una ecuaci´ on homog´enea. Pruebe que las sustituciones x = r cos θ, y = r sen θ, reducen la ecuaci´ on a una de variables separables. Problema 2.2.5.-: Resolver la Ecuaci´on Diferencial Homog´enea

dy y(2x3 − y 3) =− dx x(2y 3 − x3 )

Problema 2.2.6.-: Ecuaciones diferenciales homog´eneas. Halar la soluci´ on general de



 x2 − y 2 dx + 3xydy = 0.

Problema 2.2.7.-: Ecuaci´on Diferencial Homog´enea. Resolver la ecuaci´ on



 xydx + 2x + 3y − 20 dy = 0, 2

2

y(0) = 1

2.3 Ecuaciones diferenciales Reducibles a Homog´eneas Problema 2.3.1.-: Resuelva los problemas siguientes: x−y−6 −2x + 4y − 6 (2) y ′ = (1) y ′ = x+y−3 x−y−2 (4) y ′ = (7) y ′ =

x−y−6 x−y−2

x+y +4 x−y−6

(5) y ′ = (8)

x−y−6 x−y−2

dy x+y−3 = dx x − y − 1

(3) y ′ =

x−y−6 x−y−2

(6) y ′ = −

2x + 3y − 1 4x + 6y + 2

(9)

Problema 2.3.2.-: Resuelva los problemas siguientes: 1. (x − 2y + 1)dx + (4x − 3y − 6)dy = 0 [email protected]

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2. (x + 2y + 3)dx + (2x + 4y − 1)dy = 0 3x − y − 9 dy = 3. dx x+y+1 4. (2x + 3y + 4)dx + (3x + 4y + 5)dy = 0 2.4 Ecuaciones exactas Problema 2.4.1.-: En los ejercicios que siguen determine que ecuaciones son exactas, y resu´elvalas     ln x ln y dy = 0; R. x + y + (ln x)(ln y) = C dx + 1 + 1. 1 + y x     1 1 2. + 2x dx + + 2y dy = 0 x y x − y cos x x2 y2 3. y ′ = − ; R. − y sin x = C y + sin x 2 2 4. (y sin xy + xy 2 cos xy)dx + (x sin xy + xy 2 cos xy)dy √ =0 2 ′ 3 2 5. (x − y)y + 2x + 2xy = 0; R. y = x ± 2x4 + C) xdx ydy =0 6. + 2 2 2 3/2 (x + y 2)3/2 (x + y ) 7. (y 3 − x2 y)y ′ − xy 2 = 0; R. y = ±[x2 ± (x4 + C)1/2 ]1/2 8. [ex (x2 y 2 + 2xy 2 ) + 6x]dx + (2x2 yex + 2)dy = 0 √ 9. (e2y − xey )y ′ − ey − x = 0; R. y = ln[x ± 2x2 + C]

10. [x2 ex

2 +y

(2x2 + 3) + 4x]dx + (x3 ex

2 +y

− 12y 2)dy = 0

Problema 2.4.2.-: Resolver las ecuaciones diferenciales exactas:     1. 3x2 + 6xy − y 2 dx + 3x2 − 2xy + 3y 2 dy = 0, R: x3 + 3x2 y − xy 2 + y 3 = C.   2. (sen x + sen y)dx + x cos y + cos y dy = 0.   x y 3. (cos x + ln y)dx + − e dy = 0, R: sen x + x ln y + ey = 0. y     4. 4x − 2y + 3 dx + 5y − 2x + 7 dy = 0; y(1) = 2.     5. r cos2 ϕ − sen ϕ dr − r cos ϕ r cos ϕ + 1 dϕ = 0. Respuesta: r 2 cos2 ϕ − 2r sen ϕ = 0.

Problema 2.4.3.-: Obtenga los valores de C y K de modo que la ecuaci´ o n sea exacta:  2 y   3 y  3 y Cx ye + 2 cos y dx + x e y + x e + Kx sen y dy = 0

Problema 2.4.4.-: Obtenga una funci´on M(x, y ) de modo que la ecuaci´ on diferencial sea exacta:   1 M(x, y)dx + xexy + 2xy + dy = 0 x Problema 2.4.5.-: Obtenga una funci´on M(x, y ) de modo que la ecuaci´ on diferencial

  M (x, y)dx + 3x2y 2 + sen x dy = 0

Luego resuelva la ecuaci´ on diferencial resultante. [email protected]

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Problema 2.4.6.-: Dada la ecuaci´ o n diferencial exacta M(x, y)dx + x2 sen y dy = 0, encontrar una funci´ on f (x) distinto de 1 de manera que la ecuaci´ o n diferencial

M (x, y)dx + x2f (x) sen ydy = 0 tambi´en sea exacta. Problema 2.4.7.-: Resolver la Ecuaci´on Diferencial Exacta   1 = 2. con y 2



   1 1 xy xy + ye dx + + xe dxy = 0 x y

2.5 Factor integrante Problema 2.5.1.-: En los ejercicios que siguen encuentre un factor de integraci´on y resuelva la ecuaci´ on dada. 1. r cos θdθ + (r − sin θ)dr = 0; 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

R.

µ = r −2 ,

ln r + r −1 sin θ = C

(xy + x + 2y + 1)dx + (x + 1)dy = 0 (1 − xy)y ′ + y 2 + 3xy 3 = 0; R. µ = y −3 , y = [x ± (4x2 + C)1/2 ]−1 2 2 (6xy + 2y)dx + (12x y + 6x + 3)dy = 0 y (x − 4x2 y 3 )y ′ + 3x4 − y = 0; R. µ = x−2 , + y3 − y4 = C x −ydx + (x4 − x)dy = 0 (2y sin x − cos3 x)dx + cos xdy = 0; R. µ = cos−3 x, y cos−2 x = C + x cos x cos ydx + (sin x cos y − sin x sin y + y)dy = 0 x (2y 3 − x)y ′ + 3x2 y 2 + y = 0); R. µ = y −2 , + y 2 + x3 = C y y sin ydx + x(sin y − y cos y)dy = 0.

Problema 2.5.2.-: Resolver las ecuaciones diferenciales reducibles a exactas (factor integrante).     1. 2y 2x − 3 dx + 2yx2 + 4 dy = 0, R: x2 y 2 − 3x + 4y = C .

2. xdy + ydx = x2 y 2 dx     3. y y 2 + 1 dx + x y 2 − 1 ln x dy = 0, cuyo factor integrante sea de la forma xm y n . Respuesta: (y 3 + y) ln x = Cy 2 .     4. 2y + 3x2 y 3 dx + 3x + 5x3 y 2 dy = 0, cuyo factor integrante sea de la forma xm y n .     5. Demostrar que xm y n es un factor integrante para ay + bxi y j dx + cx + rxi+1 y j−1 dy = 0.     6. Mostrar que exy ; (x + y)e2xy son factores integrantes de: 1 + xy + y 2 dx + x2 + xy + 1 dy = 0.   7. x2 + y 2 + 1 dx − 2xy dy = 0, cuyo factor integrante es de la forma µ = f (x2 − y 2). Respuesta 1 + y 2 − x2 = cx     8. 3y 2 − x dx + 2y 3 − 6xy dy = 0, cuyo factor integrante es de la forma µ = f (x + y 2 ).

Problema 2.5.3.-: En los ejercicios que siguen encuentre un factor de integraci´ on de la forma µ(x, y) = P (x)Q(y) y resuelva la ecuaci´ on dada. R. µ = x4 y 3;

1. y(1 + 5 ln |x|)dx + 4x ln |x|dy = 0; [email protected]

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x5 y 4 ln x = c R ξτ τo s

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2. (y + 3ex )dx + (1 + y −1ex )dy = 0 3. (3x2 y 3 − y 2 + y)dx + (2x − xy)dy = 0; R. µ = x−2 y −3 ; 3x2 y 2 + y = 1 + cxy 2 4. (a cos xy − y sin xy)dx + (b cos xy − x sin xy )dy = 0; R. µ = eax eby ; eax eby cos xy = c 5. (2x2 + e−y )dx + (x3 + xy)dy = 0; R. µ = x−1 ey , (x2 + y − 1)ey + ln x = c

Problema 2.5.4.-: En los problemas que siguen encuentre un factor de integraci´on de la forma µ = xm y n y resu´elvalas √ 1. (x2 + xy 2 )y ′ − 3xy + 2y 3 = 0; R. µ = xy −2 , y = x−2 [C ± C 2 + x5 ] 2. (x2 y 5 + y 3 )dx + (x3 y 4 + x)dy = 0; R. µ = x−1 y −3, x2 y 2 + 2 ln x − y −2 = C 3. (y 2 + 2xy + 3y)dx + (x2 + xy + 2x)dy = 0 4. (xy + y ln y)dx + (x + y + x ln x)dy = 0; R. µ = x−1 y −1 2 2 5. (y + 2xy + 3y)dx + (x + xy + 2x)dy = 0 Problema 2.5.5.-: Resuelva las Siguientes Ecuaciones por el m´etodo de Ec. Exactas (Podr´ıa ser necesario usar factor integrante). ′

(1) y = ′

(4) y = ′

(7) y =

−6xy 4y + 9x2

(2) y =

y2 x2 + xy

(5) y =

1 + ln(x) + y/x 1 − ln(x)

(8)

′

′

x4 − x + y x

(3) y =

xy sin(x) − 2y cos(x) 2x cos(x)

(6) y =

′

′

y 2 + 2xy x2 cos(x + y ) sin(x + y )

(9)

Problema 2.5.6.-: Determine el valor de N (x, y) de modo de que la siguiente ecuaci´ on diferencial 2 2

−(x + y ) N (x, y) Problema 2.5.7.-: Calcula la soluci´ n general dela siguiente ecuaci´ on diferencial buscando un factor  op 2 2 y 2 + 1 y ′ = −2xy ln y integrante adecuado x + y resulte exacta.

′

y =

Problema 2.5.8.-: Mediante integrante adecuado resuelva las siguiente ecuaci´ on diferencial  un factor

1 (1 + ln xy)dx + y2

x − 3 dy = 0. y2

Problema 2.5.9.-: Factor Integrante. Resolver la siguiente ecuaci´on



   y 1 2 3 + cos xy + 2 sen xy + 3y dx + cos xy + 3xy dy = 0 x x

Problema 2.5.10.-: Aplicar el m´etodo del factor integrante para hallar la soluci´ on general de la 3 x ′ ecu.dif xy − 2y = √ sen2 x 4 cotg x [email protected]

I − 2017

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R ξτ τo s

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Dr. Mario Errol Chavez Gordillo. PhD

Problema 2.5.11.-: Determine el valor de las constantes m y n de manera que la funci´ on µ(x, y) = xm y n pueda ser un factor integrante de la ecuaci´on diferencial



   2 y 6 x dy = 0 +3 3x + dx + x y y

Luego obtenga la soluci´on.

Problema 2.5.12.-: Resolver on diferencial mediante un factor integrante (adec-trig)   la ecuaci´   2x tan y sec x + y 2 sec y dx + 2y tan x sec y + x2 sec x dy = 0.     y x Problema 2.5.13.-: Resolver la siguiente ecuaci´ on diferencial 2x + 2 dx+ 2y − 2 dy = x + y2 x + y2 0.   Problema 2.5.14.-: Dada la ecuaci´on diferencial p(x) + q(x)y dx Z+ y dy = ...