Aplicaciones DE LAS Ecuaciones Diferenciales EN LA Hidráulica PDF

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Practica teórica de ingeniería de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la hidráulica...

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INVESTIGACIÓN DE LAS APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA HIDRÁULICA

Facultad de Ingeniería Civil

Contenido Introducción...............................................................................................................2 Etapas de resolución de un problema con ecuaciones diferenciales.......................3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la hidráulica..................................4 1. Teorema de Torricelli para vaciado de tanques.................................................4 2. Análisis de flujos unidimensionales....................................................................5 2.1. Ecuación de continuidad.............................................................................5 2.2. La ecuación de la energía...........................................................................6 2.3. La ecuación de la cantidad de movimiento.................................................6 3. Aproximación para la evaluación del Golpe de Ariete.......................................7 4. Propiedades de los fluidos.................................................................................7 Ejemplos de aplicación de ecuaciones diferenciales en hidráulica...........................8 Ejemplo 1...............................................................................................................8 Ejemplo 2.............................................................................................................10 Ejemplo 3..............................................................................................................11 Ejemplo 4.............................................................................................................13 Ejemplo 5.............................................................................................................14 Ejemplo 6.............................................................................................................15 Ejemplo 7.............................................................................................................17 Conclusiones...........................................................................................................19 Referencias..............................................................................................................20

1

Introducción Las ecuaciones diferenciales han funcionado como modelos matemáticos para el estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus inicios han contribuido de manera muy notable a solucionar muchas cuestiones y a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Este proyecto habla principalmente de las aplicaciones que se le pueden dar a las ecuaciones diferenciales para una de las muchas ramas que aborda la ingeniería civil, la hidráulica, el cual está complementado con algunos ejemplos de estas aplicaciones para su mayor comprensión. Por lo anterior, el objetivo principal al realizar este trabajo es poner en práctica todo el conocimiento adquirido en el curso y poder identificar como se utilizan las ecuaciones diferenciales para el cálculo y resolución de problemas que se nos pueden presentar cuando estemos ejerciendo. Las ecuaciones diferenciales pueden aplicarse a situaciones de la vida cotidiana, y en este caso se tienen como aplicaciones en la hidráulica algunos temas como el tiempo de vaciado de tanques por un orificio, el traspase del líquido de un recipiente a otro y el análisis del flujo unidimensional. Teniendo esto se puede decir que una de las fórmulas de las cuales se hará uso es la que ocupa el ya conocido Teorema de Torricelli, y algunos principios básicos como son la ecuación de continuidad y la Segunda Ley de Newton. La aplicación de los principios básicos de continuidad, energía y cantidad de movimiento (segunda ley de Newton) a un volumen de control, constituye los métodos de análisis en la hidráulica. A continuación se empieza a abordar la parte de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en esa área, haciendo primeramente una breve explicación de lo que son las ecuaciones diferenciales y su clasificación para posteriormente adentrarse a las aplicaciones de estas en el área de la hidráulica.

2

Definición de ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: a. Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. b. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Etapas

de

resolución

de

un

problema

con

ecuaciones

diferenciales 1. Formulación matemática del problema En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático. Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolución. 2. Solución de las ecuaciones Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. 3. Interpretación científica de la solución Con el uso de las soluciones conocidas, se puede interpretar lo que está sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer interpretaciones

3

gráficas y tablas para poder comparar la teoría con lo obtenido de los experimentos.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la hidráulica. Dentro de las aplicaciones que se les puede dar a las ecuaciones diferenciales en la rama de la hidráulica se encuentran: 1. Teorema de Torricelli para vaciado de tanques 2. Análisis de flujos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales: 2.1. Ecuación de la continuidad 2.2. Ecuación de la energía 2.3. Ecuación de la cantidad de movimiento 3. Evaluación del Golpe de Ariete 4. Propiedades de los fluidos 5. Tensión y deformación en medios continuos 6. Hidrostática 7. Flujos con viscosidad dominante 8. Sistemas de tuberías 9. Flujos no estacionarios

1. Teorema de Torricelli para vaciado de tanques Para poder aplicar las ecuaciones diferenciales debemos conocer primero que el teorema dice que la velocidad de salida del agua a través de un orificio en el fondo de un tanque lleno hasta una altura, es igual a la velocidad de un objeto que cae libremente desde la misma altura: v (t )= √ 2 gh (t). Modelación como Ecuación Diferencial Ordinaria: Se relaciona la disminución del nivel del agua h(t) con el flujo de salida. A0 = Área transversal orificio. AT = Área transversal tanque. Volumen ∆V del agua que sale con una velocidad v en un intervalo corto ∆t es: 4

∆V=A 0v ∆t

Esto produce un decremento ∆h del nivel del agua h, el cual debe ser tq el volumen correspondiente AT∆h es igual a ∆V. Así: AT ∆ h=−∆ V =− A 0 v ∆ t

Entonces sustituyendo en la ecuación se tiene: dh − A 0 = √ 2 gh dt AT En algunos modelos se considera de la siguiente forma, donde 1>k>0 depende de la forma del orificio (circular k = 0,6), y cuando no se especifica es k=1. A0 A0 dh v (t)=−k =−k √ 2 gh AT AT dt

2. Análisis de flujos unidimensionales Cuando se plantean las ecuaciones diferenciales del flujo unidimensional es común utilizar sólo los principios básicos de continuidad y la segunda ley de Newton, sin emplear el de energía, ya que este último encuentra aplicación solamente en la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado en canales. Se puede mostrar el desarrollo de dichas ecuaciones usando los tres principios, para remarcar las diferencias o afinidades entre ecuaciones de energía y cantidad de movimiento. 2.1. Ecuación de continuidad La ecuación de transporte de Reynolds permite la expresión matemática del principio de continuidad aplicado a cualquier Volumen de Control que es:

5

Ecuación 1a

Ecuación 1b

Ecuación 1c Las ecuaciones 1a, 1b y 1c son expresiones generales equivalentes de la ecuación diferencial de continuidad, las cuales adoptan alguna forma particular según el tipo de flujo que se analice. 2.2. La ecuación de la energía

La siguiente es forma general de la ecuación de la energía para el flujo unidimensional no permanente y compresible de un líquido. Y adquiere formas distintas según el tipo de flujo al que se aplique:

2.3. La ecuación de la cantidad de movimiento La segunda ley de Newton aplicada a un VC cualquiera se expresa en la forma:

La siguiente es la ecuación diferencial de cantidad de movimiento más general para un flujo unidimensional no permanente de un líquido:

6

3. Aproximación para la evaluación del Golpe de Ariete Las ecuaciones diferenciales funcionan también para calcular el Golpe de Ariete y varios autores se han apoyado en ellas para expresarlas de distintas formas. La ecuación del golpe de ariete expresada en términos de las curvas características:

La segunda ecuación del golpe de ariete según literatura actual:

4. Propiedades de los fluidos Las ecuaciones diferenciales también se pueden aplicar para el cálculo de algunas propiedades de los fluidos ya que en estas se relacionan conceptos como son la velocidad, resistencia, esfuerzo y fuerzas. Una de las propiedades de los fluidos que se puede calcular con las ecuaciones diferenciales es la de viscosidad ya que en esta la velocidad del fluido y la resistencia que este aplica a la superficie o conducto por el que pasa pueden calcularse con ayuda de las ecuaciones diferenciales.

Ecuación de distribución de velocidades Otra propiedad con la que cuentan los fluidos es la presión, está como su nombre lo indica tiene que ver con la presión que el mismo líquido opone al estar contenido en un recipiente. Esta propiedad también puede ser calculada con ecuaciones diferenciales. 7

Ecuaciones de esfuerzos cortantes en fluidos

Ejemplos de aplicación de ecuaciones diferenciales en hidráulica Ejemplo 1. Sea una esfera de radio la unidad, sumergida parcialmente en agua. Se conoce que, en la posición de equilibrio, el punto de tangencia del casquete esférico que sobresale del líquido con el eje de abscisas que pasa por el centro de la esfera forma un ángulo de 45 grados. Determine la densidad del material de que está compuesta la esfera.

Resolución El elemento diferencial de superficie empleado para determinar el empuje queda esquematizado en la figura:

❑

❑

S

S

E=−∫ d F y =−∫ dF sin θ

8

❑

E=−∫ ρgy 2 πr Rdθ sin θ S

Puesto que: r=R cos θ, y=h-Rsen θ θ

E=−∫ ρg ( h−R sin θ ) 2 π R cos θ R sin θ dθ −π 2

θ

θ

E=−∫ ρgh2 π R cos θ sin θ dθ + ∫ ρg 2 π R sin θ cos θ dθ 3

2

−π 2

2

−π 2

E=−ρgh2 π R

2

[ ] sin2 θ 2

θ

[ ]

sin 3 θ +ρg 2 π R −π 3 2 3

θ −π 2

Para θ= π/4 h=R sin

( π4 ) =R sin ( 45 ° )

E=−ρgh 2 π R 2

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

−π −π 1 1 π 3 π sin2 −sin2 −sin3 + ρg 2 π R3 sin 2 3 2 2 4 4

E=−ρgh2 π R 2

[ ]

1 1 31 −1 +ρg 2 π R [0.35355−(−1) ] 2 2 3

E= ρgh2 π R

2

E= ρg 2 π

E= ρg 2 π

[

[]

1 31 + ρg2 π R [ 1.35355 ] 3 4

[

3

h R2 R + (1.35355) 4 3

]

]

3

sin ( 45° ) R R3 + (1.35355) 4 3

E= ρg2 π R 3

[

sin ( 45 ° ) (1.35355) + 3 4

]

E= ρg2 π R 3 (0.6279) E= ρgπ R3 (1.2559) El peso de la esfera ha de ser igual a su empuje, con lo cual se ha de cumplir: w=ρesf g

4 π R3 =E= ρagua gπ R3 (1.2559) 3

9

ρesf =

ρagua (1.2559) 4 3

ρesf =941.94 Kg/m

3

Ejemplo 2. Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de 1 pulgada de diámetro, ¿En cuánto tiempo se vaciará el tanque? g=32ft/seg2

Resolución: dh − A 0 = √ 2 gh dt AT A 0=π

( )

2 π 2 1 = ft 576 24

AT =π ( 10 )2=100 π −π 100 π dh= √2 ( 32 ) h dt 576 100 dh=

−√h dt 72

−7200 dh =dt √h −7200∫

1 dh=∫ dt √h 10

−7200( 2 √ h) =t+C Para t=0, H0=20 ft −14400 √ 20=C −14400√ h=t−14400 √ 20

(

h ( t) =

−t + 20 √ 14400

)

2

h(t)=0 para encontrar tiempo de vaciado t. t=14400 √20 t=64,398.75 segundos

Ejemplo 3. Halle la potencia necesaria para mantener una velocidad angular constante de 10 rad/s en el viscosímetro cilíndrico de la figura. (Considérense los esfuerzos cortantes, en la superficie lateral y en la base.) Datos: H = 10 cm R1 = 3 cm h = 0,1 cm μ = 7x10-3 N·s/m2

Resolución: En la cara lateral se tiene: τ =μ

du dy 11

du v 1−0 R1 ω = = h h dy Los valores de la fuerza y el par laterales, FL y ML, se obtienen: F L =τ dS=μ F L =μ

ω 2 2 π R1 H h

M L =F R=μ F L =μ

R1 ω 2 π R1 H h

R1 ω 2 π R 1 H R1 h

ω 3 2 π H R1 h

El valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales será: N L =Mω=μ

ω2 3 2 π H R1 h

En la base del cilindro se tiene: du V i r i ω = = dy h h Los valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, serán: ❑

R

S

0

F B=∫ τ dS=∫ μ

[ ]

3 2 π ω ri F B=μ h 3

F B=μ 2 π

ri ω 2 π r i dr h R

0

ω R3 h 3 R

M B=∫ d F B R1=∫ μ 0

ω 2 π r i3 d r i h

[ ]

4 R

2 π ω ri M B=μ 4 h

0

4

M B=μ 2 π

ωR h 4

12

La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, será: N B =M ω=μ 2 π

4 ω2 R h 4

Con lo que la potencia total necesaria para hacer girar el cilindro será: NT =NL+ NB

N T =μ

[

4

ω2 3 R1 2 π H R1 + h 4

N T =7 x 10−3

[

]

4 102 3 0.03 2 π 0.1∗0.03 + 4 0.001

]

N T =0.0127 W

Ejemplo 4. Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeño orificio situado en el tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un escape. Si el tanque esta inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine: Cuándo está a la mitad de su capacidad, ¿En cuánto tiempo estará vacío? g=32ft/seg2

Resolución: dh − A 0 = √ 2 gh dt AT 1∈ ¿ 12 ¿ ¿ ¿ A 0=¿ AT = (12 )2=144

13

144 dh=

144 dh=

−2√ 2 (32 ) h dt 144

−8 √h dt 72

−1296 dh =dt √h −1296∫

1 dh=∫ dt √h

−1296( 2 √ h )=t+ C Para t=0, H0=

3 (12) =9 f t 4

C=−2592 √ 9=−7776 −2592√ h=t−7776

(

h ( t) =

)

2 −t +√ 9 14400

h(t)=6 ft para encontrar tiempo de vaciado t.

(

6=

)

2 −t +√9 14400

t=2592(3−√ 6) t=1425.6 segundos

Ejemplo 5. Halle la diferencia de flujo másico que entra y sale del conducto en función del tiempo si la densidad del gas que fluye a través del conducto es de sección constante S y su longitud X varía de acuerdo con la ley:

(

ρ= ρ1 1−

)

x v 1t sin 2X X

x π >t≥0 v1 2 0≤x ≤ X

14

Donde V1 y ρ1 son la velocidad y la densidad de referencia

Resolución: ❑

0=

❑

❑

d ∫ρ dV +∫ ρ v ds +∫ ρ v ds dt vc ss se

❑

❑

❑

d ∫ ρdV =−∫ ρ v ds−∫ ρ v ds dt vc ss se ❑

❑

❑

d ∫ ρdV =∫ ρ v cos θ ds−∫ ρ v cos θ ds dt vc se ss ❑

d ∫ ρdV =me −ms dt vc La variación de flujo másico se obtendrá de resolver la ecuación anterior. ❑

x

(

)

d ∫ ρdV = dtd ∫ ρ1 1− 2xX sin v X1 t S dx dt vc 0 ❑

x

(

)

d v 1t d x S∫ 1− dx ρdV = ρ1 sin ∫ dt 2X dt vc X 0

[

2 d x d ❑ v 1t ρdV = ρ1 sin S x− ∫ dt vc 4X X dt

]

x

0

❑

v 1t 3 X d ρdV = d S ρ1 sin ∫ 4 dt vc X dt 15

❑

v1 d ∫ ρdV =S X ρ 1 34 cos vX1t X dt vc

m e −m s=S ρ 1

3 v 1t v 1 cos X 4

Ejemplo 6. Sea un volumen de agua de 1m3, sometido inicialmente a una presión de 10 5 Pa y a una temperatura de 280 K. Si el proceso evoluciona de forma que al cabo de un tiempo T la temperatura y la presión del fluido son de 300 K y 3x105 Pa, determine el volumen que ocupará el líquido en estas condiciones. Datos: αt = 1,53x104 K-1 (coeficiente de expansión térmica) β=1,96x109 N/m2 (módulo de compresibilidad volumétrica) Resolución: La definición del módulo de compresibilidad y del coeficiente de expansión térmica es: β=−V

αt=

dp dV

1 dV V dT

La variación de volumen con la presión y la temperatura se define: αt=

dV dV dT dp+ dT dp

dV =

−V dp+α V dT β Tfinal

Pfinal

−dp dV + ∫ α dT =¿ ∫ β Tinicial V Pinicial Vfinal

∫

¿

Vinicial

16

ln

( )

V final −1 = ( p − p ) +α (T final−T inicial) V inicial β final inicial

1 ln V final= ln V inicial− ( p final− pinicial ) +α (T final−T inicial) β −1 (p − p ) β final inicial

V final=V inicial e

e

α (T final −T inicial )

V final=V inicial 1.0029 ∴Volumen del fluido final será ligeramente mayor al inicial

Ejemplo 7. El compresor de la figura adjunta comprime 5 kg/s de aire; las condiciones termodinámicas a la entrada del compresor son: T1= 297 K y P1= 92.000Pa (presión absoluta); las condiciones del fluido a la salida son: T2= 380 K y P2= 300.000Pa (presión absoluta). El perfil de velocidades del fluido a la entrada se considera uniforme, mientras que a la salida se considera parabólico, y está definido por la ecuación:

[ ( )]

U=U máx 1−

r R

2

Si se considera que el flujo es estacionario y la transferencia de calor es despreciable, determine la potencia requerida para accionar el compresor. Capacidad calorífica a volumen constante del aire Cv= 720 J/kg*K

Datos: m= 5 kg/s T1=297 K 17

P1=92 000 Pa R1=0.2 m T2= 380 K P2=300 000 Pa R2=0.2m Resolución La ecuación de la energía para régimen permanente y volumen de control fijo y rígido se enuncia:

(

❑

Q−W s=∮ ρ u+ sc

)

P v2 + +gz ( vn ) ds ρ 2

W s =W eje + W t se considera Q=0, W t =0 y Z 1=Z 1 no hay pérdidas

De donde:

(

❑

)

2

v −W eje =∮ ρ u+ P + +gz ( vn ) ds ρ 2 sc El signo negativo indica que trata de energía qu...