Tema 1-Introducción a las ecuaciones diferenciales PDF

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TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICIÓN Una ecuación diferencial es una ecuación en la que hay una o varias variables independientes de las que dependen otras variables dependientes, y en la que intervienen derivadas. Generalmente, a la variable independiente se la llamará x y a la variable dependiente y. Ejemplo:   = Orden

  



El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de derivada que aparece en la ecuación. Tipos Si una ecuación diferencial depende de una sola variable independiente se denomina ecuación diferencial ordinaria. Si depende de más de una, se llama ecuación en derivadas parciales. Solución Una solución de una ecuación diferencial es una función que al ser sustituida en la ecuación resulta la identidad. En general, las ecuaciones diferenciales tienen infinitas soluciones. Por tanto, vamos a obtener una solución general que dependerá de un número de constantes igual al orden de la ecuación diferencial. Forma normal Una ecuación diferencial está en forma normal si está escrita de este modo:  = , ,  ,   , … ,   

Esta forma puede no ser única. Esto se ve en el siguiente ejemplo:    −  +   +  = 0  =

 +  ± − −   − 4  +  ±   +   + 2 − 4  +  ±   +   − 2 = = = 2 2 2

++−   +  ±  −     +  ±  −  2  =   ⟹    =   = = =  +−+  = 2 2 2

Sistemas Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es un sistema de ecuaciones del tipo:   =  , ,  , … ,  

Toda ecuación diferencial se puede escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales: Sea la ecuación diferencial ordinaria en forma normal:   = , ,   ,  , … ,    Definimos ! = ; ! =  ; !# =   ; … ; ! = 

Entonces obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales: ! = ! ⋮   ! = !  % $ ! =   &

En resumen: una ecuación diferencial de orden n se puede expresar como un sistema de n ecuaciones diferenciales. Ejemplo:

! =  !  = ! ! = !    − 4 + 5 = 0 ⟹  ! = ′′ ⟹    ⟹   ! = 4 − 5 !  = 4!  − 5 

Con esto hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Hagamos ahora el proceso inverso: obtener una sola ecuación diferencial a partir de un sistema: 

!

! = !   ⟹ *+,-.*/: ! = 4!  ⟹ ! = 4!  ⟹ ! − 4!  = 0 ⟹   − 4 = 0 = 4! − 5

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Sea la ecuación diferencial ordinaria:

23 24

= , .

Supongamos que ,  está definida en un cierto intervalo abierto 5 ⊂ ℝ  . Si ,  es continua en A:

1. ∀ 9 , 9  ∈ 5 existe una solución  = ; definida en un cierto intervalo  que ; 9 = 9 Si además

 9 . Entonces ;  = > ∀ en

Es decir: si exijo que f sea continua garantizo la existencia de solución. Si además exijo que su derivada parcial también sea continua, garantizo la unicidad.  9 , 9  se denominan condiciones iniciales....